题外话
我知你深浅,你却不知我长短
今天正式进入二叉树
正题
树型结构概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
它具有以下的特点：
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。
注意子树不能相交
除了根节点外每个节点有且只有一个父节点
一颗N个节点的树有N-1条边
二叉树概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合： 1. 或者为空 2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
原则:
-
二叉树不存在度大于2的结点
-
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
二叉树的组成概念(如上图)
根节点:一棵树没有双亲的节点如A
节点的度:一个节点含有子树的个数称为该节点的度,如A有两个子树,A的度为2
树的度;一棵树拥有节点度的最大值,上图树的度为2
叶子结点或终端节点:叶子节点就是度为0的节点,该节点没有子树,如E,F,G,H
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：B,C,D等节点为分支结点
双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,那么该节点就是子节点的父节点,A是B的父节点
孩子节点或子节点:一个节点有根节点,则该节点为根节点的孩子节点,D是B的孩子节点
节点的层次:从根节点开始为第一层,往下逐次加1
树的高度或深度:树的节点最大层次,如上图树的高度为4
兄弟节点:具有相同父节点的节点为兄弟节点,如DE是兄弟节点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
树的表示形式
树有很多种表示方式，常见的有：双亲表示法， 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。
两种特殊二叉树
- 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k-1，则它就是满二叉树。(如上图)
- 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。(如上图)
要注意满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树性质
- 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(k-1 )(i>0)个结点,如上图第三层为4个节点
-
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0),如上图,深度为3的二叉树,最大节点数为2^k-1=2^3-1=7
-
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
(叶子数等于度为2的节点数+1)
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为
上取整,如上图,
,深度为3
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从1开始编号，则对于序号为i 的结点有： 若i>1，双亲序号：i/2；i=1，i为根结点编号，无双亲结点
若2i<n，左孩子序号：2i，否则无左孩子
若2i+1>n，右孩子序号：2i+1，否则无右孩子
二叉树基础练习题
大家只要掌握了二叉树,完全二叉树的性质,这几道题很简单,而且很有趣味
- 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（B）
A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199
解析:二叉树中叶子树等于结点数+1
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A）
A n B n+1 C n-1 D n/2
解析:完全二叉树中,第2n个结点父节点为2n/2=n,第2n-1个结点的父节点是n-1,也就是说从n+1到2n都是叶子结点,也就是2n-(n+1)+1=n个
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（B）
A 383 B 384 C 385 D 386
解析:如果上一道题没理解,那这道题你一定会懂,同样是完全二叉树,第767结点的父结点为767/2=383
而766结点的父结点为766/2=383
而765结点的父结点为382
从767开始往前的结点是有父结点的
从384开始往后的结点是没有孩子结点的
所以从384到767全是叶子节点,767-384+1=384(记得要把第384结点算上所以+1)
4.一棵完全二叉树的结点数为531个，那么这棵树的高度为（B）
A 11 B 10 C 8 D 12
解析:完全二叉树中,除去最后一层,每层的结点数一定是该层最大值,所以要利用
算出结果为9,第9层为512个结点,剩下531-512=19个结点在第10层
小结
这篇文章就到此结束了,都是我个人作题作词作图,喜欢的朋友请多多关注哦!!