数据结构和算法：搜索

二分查找

二分查找（binary search） 是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

给定一个长度为 𝑛 的数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 −1 。

先初始化指针 𝑖 = 0 和 𝑗 = 𝑛 − 1 ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 [0, 𝑛 − 1] 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。

接下来，循环执行以下两步：

1.计算中点索引 𝑚 = ⌊(𝑖 + 𝑗)/2⌋ ，其中 ⌊ ⌋ 表示向下取整操作；

2. 判断 nums[m] 和 target 的大小关系，分为以下三种情况：

1.当 nums[m] < target 时，说明 target 在区间 [𝑚 + 1, 𝑗] 中，因此执行 𝑖 = 𝑚 + 1 。

2.当 nums[m] > target 时，说明 target 在区间 [𝑖, 𝑚 − 1] 中，因此执行 𝑗 = 𝑚 − 1 。

3.当 nums[m] = target 时，说明找到 target ，因此返回索引 𝑚 。

若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 −1 。

值得注意的是，由于 𝑖 和 𝑗 都是 int 类型，因此 𝑖 + 𝑗 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界，通常采用公式 𝑚 = ⌊𝑖 + (𝑗 − 𝑖)/2⌋ 来计算中点。

/**
 * File: binary_search.cpp
 * Created Time: 2022-11-25
 * Author: Krahets (krahets@163.com)
 */

#include "../utils/common.hpp"

/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = nums.size() - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}

时间复杂度为 𝑂(log 𝑛) ：在二分循环中，区间每轮缩小一半，因此循环次数为 log2 𝑛 。
空间复杂度为 𝑂(1) ：指针 𝑖 和 𝑗 使用常数大小空间。

区间表示方法

除了上述双闭区间外，常见的区间表示还有"左闭右开"区间，定义为 [0, 𝑛) ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 [𝑖, 𝑗) 在 𝑖 = 𝑗 时为空。

可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法：

/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(vector<int> &nums, int target) {
    // 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    int i = 0, j = nums.size();
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}

在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。

由于"双闭区间"表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此通过指针 𝑖 和指针 𝑗 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错，因此一般建议采用"双闭区间"的写法。

优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能：
二分查找的时间效率高 ：在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。
二分查找无须额外空间：相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。

然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。
二分查找仅适用于有序数据 ：若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 𝑂(𝑛 log 𝑛) ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 𝑂(𝑛) ，也是非常昂贵的；
二分查找仅适用于数组 ：二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构；
小数据量下，线性查找性能更佳 ：在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 𝑛 较小时，线性查找反而比二分查找更快。

二分查找插入点

二分查找不仅可用于搜索目标元素，还可用于解决许多变种问题，比如搜索目标元素的插入位置。

无重复元素的情况

给定一个长度为 𝑛 的有序数组 nums 和一个元素 target ，数组不存在重复元素。现将 target 插入数组 nums 中，并保持其有序性。若数组中已存在元素 target ，则插入到其左方。请返回插入后 target 在数组中的索引。

如果想复用上一节的二分查找代码，则需要回答以下两个问题。

问题一：当数组中包含 target 时，插入点的索引是否是该元素的索引？

要求将 target 插入到相等元素的左边，这意味着新插入的 target 替换了原来 target 的位置。也就是说，当数组包含 target 时，插入点的索引就是该 target 的索引 。

问题二：当数组中不存在 target 时，插入点是哪个元素的索引？

进一步思考二分查找过程：当 nums[m] < target 时 𝑖 移动，这意味着指针 𝑖 在向大于等于 target 的元素靠近。同理，指针 𝑗 始终在向小于等于 target 的元素靠近。

因此二分结束时一定有：𝑖 指向首个大于 target 的元素，𝑗 指向首个小于 target 的元素。易得当数组不包含target 时，插入索引为 𝑖 。

/* 二分查找插入点（无重复元素） */
int binarySearchInsertionSimple(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i;
}

存在重复元素情况

假设数组中存在多个 target ，则普通二分查找只能返回其中一个 target 的索引，而无法确定该元素的左边和右边还有多少 target。

所以需要查找数组中最左一个 target 的索引：

1.执行二分查找，得到任意一个 target 的索引，记为 𝑘 。

2.从索引 𝑘 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 target 时返回。

此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 𝑂(𝑛) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方法效率很低。

现考虑拓展二分查找代码，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 𝑚 ，再判断 target 和 nums[m] 的大小关系，分为以下几种情况：

1.当 nums[m] < target 或 nums[m] > target 时，说明还没有找到 target ，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，从而使指针 𝑖 和 𝑗 向 target 靠近。

2.当 nums[m] == target 时，说明小于 target 的元素在区间 [𝑖, 𝑚 − 1] 中，因此采用 𝑗 = 𝑚 − 1 来缩

小区间，从而使指针 𝑗 向小于 target 的元素靠近。

3.循环完成后，𝑖 指向最左边的 target ，𝑗 指向首个小于 target 的元素，因此索引 𝑖 就是插入点。

/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
int binarySearchInsertion(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入点 i
    return i;
}

总的来看，二分查找无非就是给指针 𝑖 和 𝑗 分别设定搜索目标，目标可能是一个具体的元素（例如 target ），也可能是一个元素范围（例如小于 target 的元素）。

在不断的循环二分中，指针 𝑖 和 𝑗 都逐渐逼近预先设定的目标。最终，它们或是成功找到答案，或是越过边界后停止。

二分查找边界

查找左边界

给定一个长度为 𝑛 的有序数组 nums ，其中可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 target 的索引。若数组中不包含该元素，则返回 −1 。

二分查找插入点的方法，搜索完成后 𝑖 指向最左一个 target ，因此查找插入点本质上是在查找最左一个target 的索引。

考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意，数组中可能不包含 target ，这种情况可能导致以下两种结果：

1.插入点的索引 𝑖 越界；

2.元素 nums[i] 与 target 不相等。

当遇到以上两种情况时，直接返回 −1 即可。

/* 二分查找最左一个 target */
int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
    // 等价于查找 target 的插入点
    int i = binarySearchInsertion(nums, target);
    // 未找到 target ，返回 -1
    if (i == nums.size() || nums[i] != target) {
        return -1;
    }
    // 找到 target ，返回索引 i
    return i;
}

查找右边界

查找最右一个 target 最直接的方式是修改代码：替换在 nums[m] == target 情况下的指针收缩操作。

1.复用查找左边界

可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素

具体方法为：将查找最右一个 target 转化为查找最左一个 target + 1。

查找完成后，指针 𝑖 指向最左一个 target + 1（如果存在），而 𝑗 指向最右一个 target ，因此返回 𝑗 即可。

返回的插入点是 𝑖 ，因此需要将其减 1 ，从而获得 𝑗 ：

/* 二分查找最右一个 target */
int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
    // 转化为查找最左一个 target + 1
    int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
    // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
    int j = i - 1;
    // 未找到 target ，返回 -1
    if (j == -1 || nums[j] != target) {
        return -1;
    }
    // 找到 target ，返回索引 j
    return j;
}

转化为查找元素

当数组不包含 target 时，最终 𝑖 和 𝑗 会分别指向首个大于、小于 target 的元素。

因此，可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界。

给定数组不包含小数，这意味着无须关心如何处理相等的情况。

因为该方法引入了小数，所以需要将函数中的变量 target 改为浮点数类型。

哈希优化策略

经常通过将线性查找替换为哈希查找来降低算法的时间复杂度。

给定一个整数数组 nums 和一个目标元素 target ，请在数组中搜索"和"为 target 的两个元素，并返回它们的数组索引。返回任意一个解即可。

线性查找：以时间换空间

考虑直接遍历所有可能的组合。

开启一个两层循环，在每轮中判断两个整数的和是否为 target ，若是，则返回它们的索引。

/* 方法一：暴力枚举 */
vector<int> twoSumBruteForce(vector<int> &nums, int target) {
    int size = nums.size();
    // 两层循环，时间复杂度为 O(n^2)
    for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
        for (int j = i + 1; j < size; j++) {
            if (nums[i] + nums[j] == target)
                return {i, j};
        }
    }
    return {};
}

此方法的时间复杂度为 𝑂(𝑛^2) ，空间复杂度为 𝑂(1) ，在大数据量下非常耗时。

哈希查找：以空间换时间

考虑借助一个哈希表，键值对分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组：

1.判断数字 target - nums[i] 是否在哈希表中，若是，则直接返回这两个元素的索引。

2.将键值对 nums[i] 和索引 i 添加进哈希表。

/* 方法二：辅助哈希表 */
vector<int> twoSumHashTable(vector<int> &nums, int target) {
    int size = nums.size();
    // 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
    unordered_map<int, int> dic;
    // 单层循环，时间复杂度为 O(n)
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (dic.find(target - nums[i]) != dic.end()) {
            return {dic[target - nums[i]], i};
        }
        dic.emplace(nums[i], i);
    }
    return {};
}

此方法通过哈希查找将时间复杂度从 𝑂(𝑛^2) 降至 𝑂(𝑛) ，大幅提升运行效率。

由于需要维护一个额外的哈希表，因此空间复杂度为 𝑂(𝑛) 。尽管如此，该方法的整体时空效率更为均衡，因此它是本题的最优解法。

重识搜索算法

搜索算法（searching algorithm）用于在数据结构（例如数组、链表、树或图）中搜索一个或一组满足特定

条件的元素。

搜索算法可根据实现思路分为以下两类：

1.通过遍历数据结构来定位目标元素，例如数组、链表、树和图的遍历等；

2.利用数据组织结构或数据包含的先验信息，实现高效元素查找，例如二分查找、哈希查找和二叉搜索树

查找等。

暴力搜索

暴力搜索通过遍历数据结构的每个元素来定位目标元素。
线性搜索 适用于数组和链表等线性数据结构。它从数据结构的一端开始，逐个访问元素，直到找到目标元素或到达另一端仍没有找到目标元素为止。

**"广度优先搜索"和"深度优先搜索"**是图和树的两种遍历策略。广度优先搜索从初始节点开始逐层搜索，由近及远地访问各个节点。深度优先搜索从初始节点开始，沿着一条路径走到头，再回溯并尝试其他路径，直到遍历完整个数据结构。

暴力搜索的优点是简单且通用性好，无须对数据做预处理和借助额外的数据结构。

然而，此类算法的时间复杂度为 𝑂(𝑛) ，其中 𝑛 为元素数量，因此在数据量较大的情况下性能较差。

自适应搜索

自适应搜索利用数据的特有属性（例如有序性）来优化搜索过程，从而更高效地定位目标元素。

"二分查找" 利用数据的有序性实现高效查找，仅适用于数组。
"哈希查找" 利用哈希表将搜索数据和目标数据建立为键值对映射，从而实现查询操作。
"树查找" 在特定的树结构（例如二叉搜索树）中，基于比较节点值来快速排除节点，从而定位目标元素。

此类算法的优点是效率高，时间复杂度可达到 𝑂(log 𝑛) 甚至 𝑂(1) 。

然而，使用这些算法往往需要对数据进行预处理。例如，二分查找需要预先对数组进行排序，哈希查找和树查找都需要借助额外的数据结构，维护这些数据结构也需要额外的时间和空间开销。

自适应搜索算法常被称为查找算法，主要用于在特定数据结构中快速检索目标元素。

搜索方法选取

给定大小为 𝑛 的一组数据，可以使用线性搜索、二分查找、树查找、哈希查找等多种方法从中搜索目标元素。

线性搜索

1.通用性较好，无须任何数据预处理操作。假如仅需查询一次数据，那么其他三种方法的数据预处理的时间比线性搜索的时间还要更长；

2.适用于体量较小的数据，此情况下时间复杂度对效率影响较小；

3.适用于数据更新频率较高的场景，因为该方法不需要对数据进行任何额外维护。

二分查找

1.适用于大数据量的情况，效率表现稳定，最差时间复杂度为 𝑂(log 𝑛) ；

2.数据量不能过大，因为存储数组需要连续的内存空间；

3.不适用于高频增删数据的场景，因为维护有序数组的开销较大。

哈希查找

1.适合对查询性能要求很高的场景，平均时间复杂度为 𝑂(1) ；

2.不适合需要有序数据或范围查找的场景，因为哈希表无法维护数据的有序性；

3.对哈希函数和哈希冲突处理策略的依赖性较高，具有较大的性能劣化风险；

4.不适合数据量过大的情况，因为哈希表需要额外空间来最大程度地减少冲突，从而提供良好的查询性

能。

树查找

1.适用于海量数据，因为树节点在内存中是分散存储的；

2.适合需要维护有序数据或范围查找的场景；

3.在持续增删节点的过程中，二叉搜索树可能产生倾斜，时间复杂度劣化至 𝑂(𝑛) 。

4.若使用 AVL 树或红黑树，则各项操作可在 𝑂(log 𝑛) 效率下稳定运行，但维护树平衡的操作会增加额

外的开销。

学习地址

学习地址：https://github.com/krahets/hello-algo

重新复习数据结构，所有的内容都来自这里。