莫队算法学习笔记

爱编程的pyy2024-04-01 16:52

Part.1 引入

当你遇到一个区间询问但是难以用线段树等 log 算法维护的时候怎么办？那就是------莫队！

莫队这个东西能支持区间修改、区间查询的操作，但是这种算法要求离线。莫队有很多种，详细请看下文。

Part.2 普通莫队

我们先来看一道例题（P1972 的削弱版）：

给你一个长度为 n n n 的序列 a a a， m m m 次查询，询问区间 [ l , r ] [l,r] [l,r] 有多少个不同的数。

数据范围： 1 ≤ n , m ≤ 1 0 5 , 1 ≤ a i ≤ 1 0 5 1\le n,m\le 10^5,1\le a_i\le 10^5 1≤n,m≤105,1≤ai≤105。

普通的暴力就是每次遍历这个区间，拿个桶记一下，每次需要清空桶。

发现每次清空桶十分浪费，所以可以考虑从上一次的询问区间伸缩过来。就是记一个 t l , t r tl,tr tl,tr，初始为 t l = 1 , t r = 0 tl=1,tr=0 tl=1,tr=0。每次把 t l tl tl 往 l l l 上靠，把 t r tr tr 往 r r r 上靠。代码如下：

cpp 复制代码 
//add(x) 是加入下标为 x 的数，del(x) 是减去下标为 x 的数，这两个函数视情况而定
while(tl>l) add(--tl);
while(tr<r) add(++tr);
while(tl<l) del(tl++);
while(tr>r) del(tr--);

当然这不是莫队，他是可以被卡的（大小区间交替询问，移动的量级就变成 n m nm nm）。

莫队，就是通过离线后对询问左右端点排序，达到降低复杂度的目的。

先讲做法，记一个块长 B = n B = \sqrt n B=n ，然后以 ⌊ l B ⌋ \lfloor\frac{l}{B}\rfloor ⌊Bl⌋ 为第一关键字， r r r 为第二关键字，从小到大排序。这样处理完所有询问的时间复杂度上界为 O ( n n ) O(n\sqrt n) O(nn )。

为啥这样能保证时间复杂度呢？为了方便，我们定义点 i i i 在编号为 ⌊ i B ⌋ \lfloor{\frac{i}{B}}\rfloor ⌊Bi⌋ 的块内。不妨设 n , m n,m n,m 同阶。考虑两种情况：

  1. 上一个左端点和当前处理的左端点在一个块内：那么左端点最多移动 B B B 次，总共就只有 n B nB nB 次；询问左端点在一个块内的右端点是单调递增的，所以一个块内至多移动 n n n 次，而最多有 ⌈ n B ⌉ \lceil\frac{n}{B}\rceil ⌈Bn⌉ 个块，所以总询问次数是 ⌈ n B ⌉ n \lceil\frac{n}{B}\rceil n ⌈Bn⌉n；
  2. 上一个左端点和当前处理的左端点不在一个块内：左端点最多移动 2 B 2B 2B 次，右端点也只移动 n n n 次，所以这部分的移动次数就只有 2 B ⌈ n B ⌉ + ⌈ n B ⌉ n 2B\lceil\frac{n}{B}\rceil+\lceil\frac{n}{B}\rceil n 2B⌈Bn⌉+⌈Bn⌉n。

平均一下，当 B B B 取 n \sqrt n n 时，时间复杂度就是 O ( n n ) O(n\sqrt n) O(nn )。

给出上面例题的代码：

cpp 复制代码 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+5;
int n,m,a[N],cnt[N],res,ans[N],B;
struct node{
    int l,r,id;
    inline void init(int x){cin>>l>>r,id = x;}
    inline bool friend operator < (node x,node y)//重载运算符，相当于写一个 cmp
    {
        if(x.l/B!=y.l/B) return x.l<y.l;
        return x.r<y.r;
    }
}q[N];
inline void add(int x)
{
    x = a[x];
    cnt[x]++;
    if(cnt[x]==1) res++;
}
inline void del(int x)
{
    x = a[x];
    cnt[x]--;
    if(!cnt[x]) res--;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;
    B = sqrt(n);
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    cin>>m;
    for(int i = 1;i<=m;i++)
        q[i].init(i);
    sort(q+1,q+m+1);
    int l = 1,r = 0;
    for(int i = 1;i<=m;i++)
    {
        while(l>q[i].l) add(--l);
        while(r<q[i].r) add(++r);
        while(l<q[i].l) del(l++);
        while(r>q[i].r) del(r--);
        ans[q[i].id] = res;
    }
    for(int i = 1;i<=m;i++)
        cout<<ans[i]<<'\n';
    return 0;
}

当然，上述算法还能优化，比如奇偶排序（优化常数）、二次离线（去掉一只 log）。感兴趣的可以自己学习。

Part.3 带修莫队

普通莫队是不支持修改的，如果有修改操作的话，就可以请出带修莫队了！

先给一道例题：P1903，其实就是在普通莫队的例题基础上加一个单点修改。

其实就是给普通莫队加一个时间戳，即之前有多少个修改操作，排序时以其作为第三关键字。处理答案时就多记一个当前时间戳 t t t。每次把 t t t 移动到询问的时间戳，进行修改，并把在询问区间内的修改加入贡献。

当 B B B 取到 n 2 3 n^{\frac{2}{3}} n32 时，有最优复杂度 O ( n 5 3 ) O(n^{\frac{5}{3}}) O(n35)。我太弱了，不会证明。

贴上例题代码：

cpp 复制代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 133333+5,M = 1e6+5;
int qsize;
struct que{
	int id,t,l,r;
	inline friend bool operator < (que x,que y)
	{
		if(x.l/qsize!=y.l/qsize) return x.l/qsize<y.l/qsize;
		if(x.r/qsize!=y.r/qsize) return x.r/qsize<y.r/qsize;
		return x.t<y.t;
	}
}q[N];
struct op{
	int p,x;
}o[N];
int n,m,ans,mp[M],a[N],qcnt,ocnt,out[N];
inline void add(int x)
{
	mp[x]++;
	if(mp[x]==1) ans++;
}
inline void del(int x)
{
	mp[x]--;
	if(!mp[x]) ans--;
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	qsize = pow(n,2.0/3.0);
	for(int i = 1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	for(int i = 1,x,y;i<=m;i++)
	{
		char op;
		cin>>op>>x>>y;
		if(op=='Q') q[++qcnt] = {qcnt,ocnt,min(x,y),max(x,y)};
		else o[++ocnt] = {x,y};
	}
	sort(q+1,q+qcnt+1);
	int l = 1,r = 0,las = 0;
	for(int i = 1;i<=qcnt;i++)
	{
		while(r<q[i].r) add(a[++r]);
		while(r>q[i].r) del(a[r--]);
		while(l>q[i].l) add(a[--l]);
		while(l<q[i].l) del(a[l++]);
		while(las<q[i].t)
		{
			las++;
			if(o[las].p>=l&&o[las].p<=r) del(a[o[las].p]),add(o[las].x);
			swap(a[o[las].p],o[las].x);
		}
		while(las>q[i].t)
		{
			if(o[las].p>=l&&o[las].p<=r) del(a[o[las].p]),add(o[las].x);
			swap(a[o[las].p],o[las].x);
			las--;
		}
		out[q[i].id] = ans;
	}
	for(int i = 1;i<=qcnt;i++)
		cout<<out[i]<<'\n';
	return 0;
}

Part.4 回滚莫队

回滚莫队解决的问题就是加入一个数很好维护，但是删除这个数不好维护（比如区间最值之类的）。其思想就是每次右端点慢慢加，左端点到目标点时计算答案再回到原来的点。

仍然甩出一道例题：SP20644。让你统计区间中和为零的区间最大长度。

先把问题转化成前缀和，相当于在问你区间中前缀和相同的地方最大的长度，然后就变成了P5906。

我们还是按照普通莫队的方式排序。回滚莫队由以下几部分组成：

  1. 左右端点在一个块内，直接暴力做；
  2. 左端点的块和上一个的不同，设这个块的右端点为 r t rt rt，那么 n o w l now_l nowl 就要移动到 r t + 1 rt+1 rt+1， n o w r now_r nowr 就要移动到 r t rt rt，并把当前答案清零；
  3. n o w r now_r nowr 移动到当前询问的右端点，一边移动一边计算答案；
  4. n o w l now_l nowl 移动到当前询问的左端点，注意移动完之后需要回到原来的位置，所以记录原来的答案以便复原，其余的正常计算贡献；
  5. n o w l now_l nowl 移动回去，我们只需要把这段区间的贡献消掉就行，这是难点。然后把答案还原。

需要注意的是，回滚莫队不支持奇偶排序！

回到这道例题，考虑如何消掉贡献。我们计算答案的时候维护一个 m x i mx_i mxi 表示 i i i 最先出在那个位置，而 m x i mx_i mxi 小于原来 n o w i now_i nowi​ 的就会消掉贡献。

放代码：

cpp 复制代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e4+5;
int n,m,a[N],b[N],blk,lt[N],rt[N];
struct node{
	int l,r,id;
	inline void init(int x){cin>>l>>r,l--,id = x;}
	inline friend bool operator < (node x,node y)
	{
		if(b[x.l]!=b[y.l]) return x.l<y.l;
		return x.r<y.r;
	}
}q[N];
int mn[N<<1],mx[N<<1],ans[N];
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
	blk = sqrt(n);
	a[0] = n,b[0] = 1;
	for(int i = 1;i<=n;i++)
		cin>>a[i],b[i] = (i-1)/blk+1,a[i]+=a[i-1];
	for(int i = 1;i<=b[n];i++)
		rt[i] = i*blk;
	rt[b[n]] = n;
	for(int i = 1;i<=m;i++)
		q[i].init(i);
	sort(q+1,q+m+1);
	int l = 0,r = 0,las = 0,tmp = 0;
	for(int i = 1;i<=m;i++)
	{
		if(b[q[i].l]==b[q[i].r])
		{
			for(int j = q[i].l;j<=q[i].r;j++)
				mx[a[j]] = 0;
			tmp = 0;
			for(int j = q[i].r;j>=q[i].l;j--)
				if(!mx[a[j]]) mx[a[j]] = j;
				else tmp = max(tmp,mx[a[j]]-j);
			ans[q[i].id] = tmp;
			for(int j = q[i].l;j<=q[i].r;j++)
				mx[a[j]] = 0;
			continue;
		}
		if(b[q[i].l]!=las)
		{
			while(l<rt[b[q[i].l]]+1) mx[a[l]] = mn[a[l]] = 0,l++;
			while(r>rt[b[q[i].l]]) mx[a[r]] = mn[a[r]] = 0,r--;
			r = l-1;
			tmp = 0,las = b[q[i].l];
		}
		while(r<q[i].r)
		{
			r++;
			if(!mn[a[r]]) mn[a[r]] = mx[a[r]] = r;
			else tmp = max(tmp,r-mn[a[r]]),mx[a[r]] = r;
		}
		int _l = l,res = tmp;
		while(_l>q[i].l)
		{
			_l--; 
			if(!mx[a[_l]]) mx[a[_l]] = _l;
			else res = max(res,mx[a[_l]]-_l); 
		}
		ans[q[i].id] = res;
		while(_l<l)
		{
			if(mx[a[_l]]==_l) mx[a[_l]] = 0;
			_l++;
		}
	}
	for(int i = 1;i<=m;i++)
	    cout<<ans[i]<<'\n';
	return 0;
}

另外推荐一道回滚莫队好题：AT_joisc2014_c。

Part.5 树上莫队

还是先给一道例题：SP10707。

我们考虑对树进行 DFS，求出其欧拉序。

给个例子：

这颗树的欧拉序为 1 , 2 , 4 , 4 , 2 , 3 , 5 , 7 , 7 , 8 , 8 , 5 , 6 , 6 , 3 , 1 1,2,4,4,2,3,5,7,7,8,8,5,6,6,3,1 1,2,4,4,2,3,5,7,7,8,8,5,6,6,3,1。我们记节点 i i i 第一次出现的位置为 s t i st_i sti，第二次出现的位置为 e d i ed_i edi。

考虑询问 u u u 到 v v v 这条路径，不妨设 s t u < s t v st_u<st_v stu<stv，分两种情况讨论：

  1. v v v 在 u u u 的子树中，我们只需要去掉 v v v 的子树，询问区间就是 s t u ∼ s t v st_u\sim st_v stu∼stv；
  2. 否则，我们需要去掉 u , v u,v u,v 的子树，那么询问 e d u ∼ s t v ed_u\sim st_v edu∼stv 即可。但是发现走到 s t v st_v stv 时还没有退出 l c a ( u , v ) lca(u,v) lca(u,v) 的子树，所以还要单独算上 l c a ( u , v ) lca(u,v) lca(u,v)。

其他的和普通莫队都是一样的，但注意要开两倍空间！

上代码：

cpp 复制代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
int n,m,idx,ans[N],a[N],b[N],tt,cnt[N],res,st[N],ed[N],pre[N],son[N],dep[N],top[N],sz[N],f[N],qsize;
vector<int> g[N];
bool vis[N];
void dfs1(int u,int fa)
{
	f[u] = fa,dep[u] = dep[fa]+1,sz[u] = 1,st[u] = ++idx,pre[idx] = u;
	for(auto v:g[u])
	{
		if(v==fa) continue;
		dfs1(v,u);
		sz[u]+=sz[v];
		if(sz[v]>sz[son[u]]) son[u] = v;
	}
	ed[u] = ++idx,pre[idx] = u;
}
void dfs2(int u,int tp)
{
	top[u] = tp;
	if(!son[u]) return;
	dfs2(son[u],tp);
	for(auto v:g[u])
	{
		if(v==f[u]||v==son[u]) continue;
		dfs2(v,v);
	}
}
inline int Lca(int x,int y)
{
	while(top[x]!=top[y])
	{
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
		x = f[top[x]];
	}
	if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
	return x;
}
struct node{
	int l,r,lca,id;
	inline void init(int x)
	{
		id = x;
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		if(st[u]>st[v]) swap(u,v);
		lca = Lca(u,v);
		if(lca==u) l = st[u],r = st[v],lca = 0;
		else l = ed[u],r = st[v];
	}
	inline friend bool operator < (node x,node y)
	{
		if(x.l/qsize==y.l/qsize) return x.r<y.r;
		return x.l<y.l;
	}
}q[N];
inline void add(int x)
{
	cnt[x]++;
	if(cnt[x]==1) res++;
}
inline void del(int x)
{
	cnt[x]--;
	if(cnt[x]==0) res--;
}
inline void work(int x)
{
	x = pre[x];
	vis[x]^=1;
	if(vis[x]) add(a[x]);
	else del(a[x]);
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
	for(int i = 1;i<=n;i++)
	    cin>>a[i],b[++tt] = a[i];
	sort(b+1,b+tt+1),tt = unique(b+1,b+tt+1)-b-1;
	for(int i = 1;i<=n;i++)
		a[i] = lower_bound(b+1,b+tt+1,a[i])-b;
	for(int i = 1,u,v;i<n;i++)
		cin>>u>>v,g[u].push_back(v),g[v].push_back(u);
	dfs1(1,0),dfs2(1,1);
	for(int i = 1;i<=m;i++)
		q[i].init(i);
	qsize = sqrt(n);
	sort(q+1,q+m+1);
	int l = 1,r = 0;
	for(int i = 1;i<=m;i++)
	{
		while(l>q[i].l) work(--l);
		while(r<q[i].r) work(++r);
		while(l<q[i].l) work(l++);
		while(r>q[i].r) work(r--);
		if(q[i].lca) work(st[q[i].lca]);
		ans[q[i].id] = res;
		if(q[i].lca) work(st[q[i].lca]);
	}
	for(int i = 1;i<=m;i++)
	    cout<<ans[i]<<'\n';
	return 0;
}

Part.6 总结

莫队是个非常好的数据结构，建议深度学习！

码字不易，给个赞吧～
THE END \text{\textbf{THE\ END}} THE END

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