[蓝桥杯 2017 省 AB] 包子凑数

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[蓝桥杯 2017 省 AB] 包子凑数

题目描述

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有 N N N 种蒸笼，其中第 i i i 种蒸笼恰好能放 A i A_i Ai 个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买 X X X 个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有 X X X 个包子。比如一共有 3 3 3 种蒸笼，分别能放 3 3 3 、 4 4 4 和 5 5 5 个包子。当顾客想买 11 11 11 个包子时，大叔就会选 2 2 2 笼 3 3 3 个的再加 1 1 1 笼 5 5 5 个的（也可能选出 1 1 1 笼 3 3 3 个的再加 2 2 2 笼 4 4 4 个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有 3 3 3 种蒸笼，分别能放 4 4 4 、 5 5 5 和 6 6 6 个包子。而顾客想买 7 7 7 个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入格式

第一行包含一个整数 N N N。

以下 N N N 行每行包含一个整数 A i A_i Ai。

输出格式

一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出 INF。

输入输出样例

输入

2  
4  
5

输出

输入

2  
4  
6

输出

INF

数据范围

1 ≤ N ≤ 100 1 \leq N \leq 100 1≤N≤100
1 ≤ A i ≤ 100 1 \leq A_i \leq 100 1≤Ai≤100

解法：裴蜀定理 + 完全背包

对于 A = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , . . . , A n } A = \{ A_1, A_2, A_3, A_4, ..., A_n\} A={A1,A2,A3,A4,...,An}，如果我们令 g g g 为其所有元素的最大公约数 ，即 g = g c d ( A ) g = gcd(A) g=gcd(A)。

那么我们就可以利用 A A A 中的元素凑出 g g g 的倍数，对于不是 g g g 的倍数的数，我们就无法凑出来。

参考：裴蜀定理

1.那么如果 g > 1 g > 1 g>1，我们凑不出来的数的个数就是无限个 ，返回 INF。

2.如果 g = 1 g = 1 g=1，我们就使用完全背包。

参考：完全背包

我们定义 f ( i ) f(i) f(i) 表示 i i i 是否能够被凑出来， f ( i ) = 1 f(i) = 1 f(i)=1 表示能够被凑出来，反之就是不能被凑出来。我们最终要返回的就是 f ( i ) = 0 f(i) = 0 f(i)=0 的个数。

由于所有元素的总和不会超过 1 0 4 10^4 104，所以背包的容量直接定义为 M = 10000 + 10 M = 10000 + 10 M=10000+10 (为了保险起见，一般都要多定义几个)。

初始时 f ( 0 ) = 1 f(0) = 1 f(0)=1。

时间复杂度： O ( N × M ) O(N \times M) O(N×M)

C++代码：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <deque>
#include <vector>

using namespace std;
using LL = long long;

const int N = 1e5 + 10;

int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

void solve(){
    int n;
    cin>>n;
    
    vector<int> a(n);
    for(int i = 0;i < n;i++) cin>>a[i];
    
    int g = 0;
    for(auto x:a)
    {
        g = gcd(g, x);
    }
    
    if(g > 1)
    {
        cout<<"INF"<<'\n';
        return;
    }
    
    vector<int> f(N);
    f[0] = 1;
    
    for(auto x:a)
    {
        for(int j = x;j < N;j++)
        {
            f[j] |= f[j - x];
        }
    }
    
    int ans = 0;
    for(int i = 0;i < N;i++)
    {
        if(!f[i]) ans++;
    }
    
    cout<<ans<<'\n';
}

int main(){
    int t = 1;
    //cin>>t;
    
    while(t--)
    {
        solve();
    }
    
    return 0;
}

Java代码：

java 复制代码

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main
{
    static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    static final int N = 10010;

    public static int gcd(int a, int b)
    {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }
    
    public static void main(String[] args) throws Exception
    {
        int n = Integer.parseInt(in.readLine().trim());
        int[] a = new int[n];
        
        for(int i = 0;i < n;i++)
        {
             a[i] = Integer.parseInt(in.readLine().trim());
        }
        
        int g = 0;
        for(var x: a) g = gcd(g, x);
        
        if(g > 1)
        {
            System.out.println("INF");
            return;
        }
        
        int[] f = new int[N];
        f[0] = 1;
        
        for(var x: a)
        {
            for(int j = x;j < N;j++) f[j] |= f[j - x];
        }
        
        int ans = 0;
        for(int i = 0;i < N;i++)
        {
            if(f[i] == 0) ans++;
        }
        
        System.out.println(ans);
    }
}