数组理论基础
数组是存放在连续内存空间上的相同类型数据的集合。
数组可以方便的通过下标索引的方式获取到下标下对应的数据。
举一个字符数组的例子，如图所示：
需要两点注意的是
数组下标都是从0开始的。
数组内存空间的地址是连续的。
正是因为数组的在内存空间的地址是连续的，所以我们在删除或者增添元素的时候，就难免要移动其他元素的地址。
例如删除下标为3的元素，需要对下标为3的元素后面的所有元素都要做移动操作，如图所示：
而且大家如果使用C++的话，要注意vector 和 array的区别，vector的底层实现是array，严格来讲vector是容器，不是数组。
数组的元素是不能删的，只能覆盖。
那么二维数组在内存的空间地址是连续的么？
不同编程语言的内存管理是不一样的，以C++为例，在C++中二维数组是连续分布的。
我们来做一个实验，C++测试代码如下：
void test_arr() {
int array23 = {
{0, 1, 2},
{3, 4, 5}
};
cout << &array00 << " " << &array01 << " " << &array02 << endl;
cout << &array10 << " " << &array11 << " " << &array12 << endl;
}
int main() {
test_arr();
}
测试地址为
0x7ffee4065820 0x7ffee4065824 0x7ffee4065828
0x7ffee406582c 0x7ffee4065830 0x7ffee4065834
注意地址为16进制，可以看出二维数组地址是连续一条线的。
0x7ffee4065820 与 0x7ffee4065824 差了一个4，就是4个字节，因为这是一个int型的数组，所以两个相邻数组元素地址差4个字节。
0x7ffee4065828 与 0x7ffee406582c 也是差了4个字节，在16进制里8 + 4 = c，c就是12。
如图：
所以可以看出在C++中二维数组在地址空间上是连续的。
像Java是没有指针的，同时也不对程序员暴露其元素的地址，寻址操作完全交给虚拟机。
所以看不到每个元素的地址情况，这里我以Java为例，也做一个实验。
public static void test_arr() {
int\[\]\[\] arr = {{1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}, {9,9,9}};
System.out.println(arr0);
System.out.println(arr1);
System.out.println(arr2);
System.out.println(arr3);
}
输出的地址为：
[I@7852e922
[I@4e25154f
[I@70dea4e
[I@5c647e05
这里的数值也是16进制，这不是真正的地址，而是经过处理过后的数值了，我们也可以看出，二维数组的每一行头结点的地址是没有规则的，更谈不上连续。
所以Java的二维数组可能是如下排列的方式：
二分查找
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例 1:
输入: nums = -1,0,3,5,9,12, target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
示例 2:
输入: nums = -1,0,3,5,9,12, target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
提示：
你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
n 将在 1, 10000之间。
nums 的每个元素都将在 -9999, 9999之间。
思路
这道题目的前提是数组为有序数组 ，同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的，这些都是使用二分法的前提条件，当大家看到题目描述满足如上条件的时候，可要想一想是不是可以用二分法了。
二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但就是写不好。例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？
大家写二分法经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。
写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即left, right，或者左闭右开即[left, right)。
二分法第一种写法
第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是left, right （这个很重要非常重要）。
区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在left, right区间，所以有如下两点：
while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
if (numsmiddle > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个numsmiddle一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1
例如在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：
代码如下：（详细注释）
// 版本一
class Solution {
public:
int search(vector& nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，left, right
while (left <= right) { // 当left==right，区间left, right依然有效，所以用 <=。
举例：1,1是合法区间，里面只有一个元素1。
int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (numsmiddle > target) {
right = middle - 1; // target 在左区间，所以left, middle - 1
} else if (numsmiddle < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，所以middle + 1, right
} else { // numsmiddle == target
return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
// 未找到目标值
return -1;
}
};
时间复杂度：O(log n)
空间复杂度：O(1)
二分法第二种写法
如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。
有如下两点：
while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的，[1,1)是不合法区间。
if (numsmiddle > target) right 更新为 middle，因为当前numsmiddle不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较numsmiddle
在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：（注意和方法一的区别 ）
代码如下：（详细注释）
// 版本二
class Solution {
public:
int search(vector& nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)
while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
int middle = left + ((right - left) >> 1);
if (numsmiddle > target) {
right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中
} else if (numsmiddle < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中
} else { // numsmiddle == target
return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
// 未找到目标值
return -1;
}
};
时间复杂度：O(log n)
空间复杂度：O(1)
总结
Java：
（版本一）左闭右闭区间
class Solution {
public int search(int\[\] nums, int target) {
// 避免当 target 小于nums0 numsnums.length - 1时多次循环运算
if (target < nums0 || target > numsnums.length - 1) {
return -1;
}
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + ((right - left) >> 1);
if (numsmid == target)
return mid;
else if (numsmid < target)
left = mid + 1;
else if (numsmid > target)
right = mid - 1;
}
return -1;
}
}
（版本二）左闭右开区间
class Solution {
public int search(int\[\] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = left + ((right - left) >> 1);
if (numsmid == target)
return mid;
else if (numsmid < target)
left = mid + 1;
else if (numsmid > target)
right = mid;
}
return -1;
}
}