python:根据旋转平移矩阵求取原始点云或者转换后点云

根据旋转平移矩阵求取原始点云或者转换后点云

原始点云进行旋转平移
- [示例 1](#示例 1)
- [示例 2](#示例 2)
- [示例 3](#示例 3)
- [示例 4](#示例 4)
根据转换后点云及转换矩阵求原始点云
- [示例 1](#示例 1)
- [示例 2](#示例 2)
- [示例 3](#示例 3)
- [示例 4](#示例 4)

原始点云进行旋转平移

转换前的点云可以表示为一个N行3列的矩阵，每一行代表一个点的坐标。我们定义一个旋转矩阵 R 和一个平移矩阵 T。假设转换矩阵为RT，要求转换后的点云，可以通过以下公式推导得到：

新的点云坐标 = R * 原始点云坐标 + T

或者：

转换后点云 = 转换矩阵 * 转换前点云

具体推导过程如下：

定义转换矩阵T

RT = [R | t]

其中R是一个3x3的旋转矩阵，t是一个3x1的平移向量。

如给定三维空间旋转平移矩阵4*4：
```
| r11 r12 r13 tx |
| r21 r22 r23 ty |
| r31 r32 r33 tz |
|  0   0   0  1 |
```
其中，r11到r33为旋转矩阵的元素，tx、ty、tz为平移向量的元素。

假设点云中的点为P = (x, y, z, 1)，将其转换到B坐标系中的点为P' = (x', y', z', 1)。

转换公式为：
```
x' = r11*x + r12*y + r13*z + tx
y' = r21*x + r22*y + r23*z + ty
z' = r31*x + r32*y + r33*z + tz
```
其中，x、y、z为点P的坐标，x'、y'、z'为点P'的坐标。
转换前点云矩阵表示

转换前点云矩阵表示为N行3列的矩阵P。
转换后点云计算

转换后点云可以通过矩阵相乘得到：

转换后点云 = P * T

示例 1

下面是Python代码实现：

python 复制代码

import numpy as np

def transform_points(points, transform_matrix):
    """
    将点云坐标系为A的点云通过转换矩阵转换为坐标系为B的点云
    :param points: 点云坐标系为A的点云，形状为(n, 4)，其中n为点的个数，每个点为(x, y, z, 1)
    :param transform_matrix: 转换矩阵，形状为(4, 4)
    :return: 坐标系为B的点云，形状为(n, 4)
    """
    # 添加最后一列，将点云表示为齐次坐标形式
    points_homogeneous = np.concatenate((points, np.ones((points.shape[0], 1))), axis=1)
    # 转换点云坐标
    transformed_points_homogeneous = np.dot(points_homogeneous, transform_matrix.T)
	```
    # 或者也可以写成下面形式
    # transformed_points_homogeneous = np.dot(transform_matrix.T, points_homogeneous).T
    # 可以将RT矩阵拆开成R、t；可写成
    # transformed_points_homogeneous = np.dot(points_homogeneous, R) + t   # 推荐
    # 或者transformed_points_homogeneous = np.dot(R, points_homogeneous.T).T + t  # 会有误差
    # 
    ```
    # 归一化处理，将齐次坐标转换为三维坐标
    transformed_points = transformed_points_homogeneous[:, :3] / transformed_points_homogeneous[:, 3:]
    return transformed_points

使用示例：

python 复制代码

points_A = np.array([[1, 0, 0, 1],
                    [0, 1, 0, 1],
                    [0, 0, 1, 1],
                    [1, 1, 1, 1],
                    [2, 2, 2, 1]])

transform_matrix = np.array([[1, 0, 0, 1],
                             [0, 1, 0, 1],
                             [0, 0, 1, 1],
                             [0, 0, 0, 1]])

points_B = transform_points(points_A, transform_matrix)
print(points_B)

输出结果：

[[2. 1. 1.]
 [1. 2. 1.]
 [1. 1. 2.]
 [2. 2. 2.]
 [3. 3. 3.]]

示例 2

首先，假设点云的坐标为 (x, y, z) 和齐次坐标 w，即点云的坐标可以表示为 (x, y, z, w)。

然后，我们定义一个旋转矩阵 R 和一个平移矩阵 T。点云的转换可以表示为：

新的点云坐标 = R * 原始点云坐标 + T

其中，旋转矩阵 R 是一个 3x3 的矩阵，平移矩阵 T 是一个 3x1 的矩阵。对于每个点云坐标 (x, y, z, w)，我们得到转换后的坐标 (x', y', z', w')：

x' = R11 * x + R12 * y + R13 * z + T1

y' = R21 * x + R22 * y + R23 * z + T2

z' = R31 * x + R32 * y + R33 * z + T3

w' = w

现在，我们需要将这个公式转换为代码实现。

首先，导入必要的库：

python 复制代码

import numpy as np

然后，定义一个函数来进行点云的转换：

python 复制代码

def transform_point_cloud(points, rotation_matrix, translation_matrix):
    # 添加齐次坐标 w
    points = np.hstack((points, np.ones((points.shape[0], 1))))

    # 点云转换
    transformed_points = np.dot(rotation_matrix, points.T).T + translation_matrix

    return transformed_points

在这个函数中，我们首先将点云添加齐次坐标 w。然后，使用矩阵乘法进行点云的转换，并添加平移矩阵。最后，返回转换后的点云。

使用这个函数，我们可以对点云进行转换。假设我们有一个点云矩阵 points，旋转矩阵 rotation_matrix 和平移矩阵 translation_matrix，我们可以这样调用函数：

python 复制代码

transformed_points = transform_point_cloud(points, rotation_matrix, translation_matrix)

这样，我们就得到了转换后的点云 transformed_points。

示例 3

要将三维点云通过旋转和平移转换到另一个坐标系，可以使用齐次坐标表示点云和转换矩阵。齐次坐标是将三维坐标和平移合并到一个4维向量中的一种方法。

点云的齐次坐标表示为 [x, y, z, 1]T，其中T表示转置。转换矩阵是一个4*4的矩阵，将点云从一个坐标系转换到另一个坐标系。转换矩阵的形式如下：

R11 R12 R13 T1
R21 R22 R23 T2
R31 R32 R33 T3
0   0   0   1

其中R表示旋转矩阵，T表示平移矩阵。

点云的转换公式如下：

p_new = M * p

其中p_new是转换后的点云，M是转换矩阵，p是原始点云。

下面是Python代码实现：

python 复制代码

import numpy as np

# 原始点云
point_cloud = np.array([[x1, y1, z1], [x2, y2, z2], [x3, y3, z3], [x4, y4, z4], [x5, y5, z5]])

# 转换矩阵
transform_matrix = np.array([[R11, R12, R13, T1],
                             [R21, R22, R23, T2],
                             [R31, R32, R33, T3],
                             [0,   0,   0,   1]])

# 添加齐次坐标
point_cloud_homo = np.hstack((point_cloud, np.ones((point_cloud.shape[0], 1))))

# 转换点云
transformed_point_cloud_homo = np.dot(transform_matrix, point_cloud_homo.T).T

# 去除齐次坐标
transformed_point_cloud = transformed_point_cloud_homo[:, :3]

print(transformed_point_cloud)

这样就可以得到转换后的点云 transformed_point_cloud。

示例 4

假设点云为N * 4的矩阵，每行表示一个点的坐标[x, y, z, 1]，旋转矩阵为R，平移向量为T。

公式推导

将点云矩阵与旋转平移矩阵相乘，得到转换后的点云矩阵：

P' = P * [R | T]

其中，P为原始点云矩阵，P'为转换后的点云矩阵，[R | T]为旋转平移矩阵。
代码实现

可以使用NumPy库来进行矩阵运算。

python 复制代码

import numpy as np

def transform_point_cloud(point_cloud, rotation_matrix, translation_vector):
    # 将点云矩阵扩展为N * 4矩阵
    point_cloud = np.hstack((point_cloud, np.ones((point_cloud.shape[0], 1))))
    
    # 转换点云
    transformed_point_cloud = np.dot(point_cloud, np.vstack((rotation_matrix, translation_vector)))
    
    return transformed_point_cloud

# 示例点云
point_cloud = np.array([[1, 2, 3],
                       [4, 5, 6],
                       [7, 8, 9]])

# 示例旋转平移矩阵
rotation_matrix = np.array([[1, 0, 0],
                            [0, 1, 0],
                            [0, 0, 1]])
translation_vector = np.array([0, 0, 0])

# 转换点云
transformed_point_cloud = transform_point_cloud(point_cloud, rotation_matrix, translation_vector)

print(transformed_point_cloud)

这样，通过传入点云矩阵、旋转矩阵和平移向量，就可以得到转换后的点云矩阵。

根据转换后点云及转换矩阵求原始点云

要求原始点云N3，已知转换后的点云N3和转换矩阵，可以通过反向计算得到原始点云。

假设转换矩阵为T，原始点云为P，转换后的点云为P'，则有以下关系：

P' = T * P

其中P和P'都是列向量，T是一个4x4的齐次变换矩阵。

要求原始点云P，可以通过反向计算得到：

P = inverse(T) * P'

其中inverse(T)表示T的逆矩阵。

假设旋转平移矩阵为R，平移向量为T，转换后点云为P_transformed。则可以使用以下代码求得原始点云P_original：

python 复制代码

import numpy as np

# 旋转平移矩阵
R = np.array([[r11, r12, r13],
              [r21, r22, r23],
              [r31, r32, r33]])

# 平移向量
T = np.array([tx, ty, tz])

# 转换后点云
P_transformed = np.array([[x1, y1, z1],
                          [x2, y2, z2],
                          [x3, y3, z3],
                          [x4, y4, z4]])

# 求逆矩阵
R_inv = np.linalg.inv(R)

# 原始点云
P_original = np.dot(P_transformed - T, R_inv)  # 推荐

print(P_original)

其中，r11, r12, r13, r21, r22, r23, r31, r32, r33为旋转矩阵的元素，tx, ty, tz为平移向量的元素，x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, x4, y4, z4为转换后点云的坐标。将上述代码中的矩阵元素和坐标值替换为实际的数值，并运行代码，即可得到原始点云P_original。

示例 1

在Python中，可以使用numpy库来进行矩阵运算。具体代码如下：

python 复制代码

import numpy as np

def calculate_original_points(transform_matrix, transformed_points):
    inverse_transform_matrix = np.linalg.inv(transform_matrix)
    original_points = np.dot(inverse_transform_matrix, transformed_points.T).T # 会有误差
    return original_points

示例数据

python 复制代码

transform_matrix = np.array([[1, 0, 0, 1],
                             [0, 1, 0, 2],
                             [0, 0, 1, 3],
                             [0, 0, 0, 1]])

transformed_points = np.array([[2, 3, 4],
                               [3, 4, 5],
                               [4, 5, 6]])

original_points = calculate_original_points(transform_matrix, transformed_points)
print(original_points)
输出结果为：
[[-1.  0.  1.]
 [-2. -1.  0.]
 [-3. -2. -1.]]

这样就可以得到原始点云的坐标了。

示例 2

要根据旋转平移矩阵及转换后的点云求得原始点云，需要进行逆运算。

假设有旋转矩阵 R 和平移向量 t，以及转换后的点云 P'。那么原始点云 P 可以通过以下公式计算得到：

P = R^(-1) * (P' - t)

其中，R^(-1) 表示 R 的逆矩阵。

在 Python 中，可以使用 NumPy 库来进行矩阵操作。下面是一个示例代码：

python 复制代码

import numpy as np

# 定义旋转矩阵 R 和平移向量 t
R = np.array([[1, 0, 0],
              [0, 1, 0],
              [0, 0, 1]])  # 假设为单位矩阵
t = np.array([0, 0, 0])  # 假设为零向量

# 定义转换后的点云 P'
P_prime = np.array([[1, 2, 3],
                    [4, 5, 6],
                    [7, 8, 9]])

# 计算旋转矩阵的逆
R_inv = np.linalg.inv(R)

# 计算原始点云 P
P = np.dot(R_inv, (P_prime - t).T).T
# 或者
# P = np.dot((P_prime - t), R_inv)

# 打印原始点云 P
print(P)

这个示例代码中，旋转矩阵 R 被定义为单位矩阵，平移向量 t 被定义为零向量。转换后的点云 P' 被定义为一个 3x3 的矩阵。

可以根据实际情况修改旋转矩阵 R、平移向量 t 和转换后的点云 P' 来计算对应的原始点云 P。

示例 3

要根据旋转平移矩阵和转换后的点云，求得原始点云，可以使用以下步骤：

首先，计算旋转平移矩阵的逆矩阵。假设旋转平移矩阵为R，平移向量为T，则逆矩阵为R_inv。
然后，对于转换后点云的每个点P'，将其转换为齐次坐标形式，即将其表示为一个3维向量[P'x, P'y, P'z, 1]。
接下来，利用逆矩阵R_inv将齐次坐标形式的点P'转换为原始点P，即P = R_inv * P'。
最后，将原始点P去除齐次坐标形式，即将其表示为一个3维向量[Px, Py, Pz]。

以下是一个示例代码：

python 复制代码

import numpy as np

# 转换后的点云，shape为(4, 3)
transformed_points = np.array([[1, 2, 3],
                               [4, 5, 6],
                               [7, 8, 9],
                               [10, 11, 12]])

# 旋转平移矩阵，shape为(3, 3)
rotation_matrix = np.array([[0.866, -0.5, 0],
                            [0.5, 0.866, 0],
                            [0, 0, 1]])

# 平移向量，shape为(3, 1)
translation_vector = np.array([[1],
                               [2],
                               [3]])

# 计算逆矩阵
rotation_matrix_inv = np.linalg.inv(rotation_matrix)

# 转换后点云的齐次坐标形式
homogeneous_transformed_points = np.hstack((transformed_points, np.ones((4, 1))))

# 原始点云
original_points = np.dot(rotation_matrix_inv, homogeneous_transformed_points.T)
original_points = original_points.T - np.dot(rotation_matrix_inv, translation_vector)

# 去除齐次坐标形式
original_points = original_points[:, :3]

print(original_points)

这样，原始点云就被计算出来了。注意，这里使用的是3x3的旋转平移矩阵，如果你的矩阵不是这个形式，需要适当修改代码。

示例 4

要根据旋转平移矩阵及转换后的点云来求得原始点云，需要使用逆变换操作。

首先，我们假设旋转平移矩阵为R，平移向量为t，转换后的点云为P_transformed，原始点云为P_original。

逆变换操作可以用以下公式表示：

P_original = R_inv * (P_transformed - t)

其中，R_inv表示矩阵R的逆矩阵。

以下是使用Python代码实现这个操作的示例：

python 复制代码

import numpy as np

# 定义旋转平移矩阵R和平移向量t
R = np.array([[1, 0, 0],
              [0, 1, 0],
              [0, 0, 1]])
t = np.array([[1],
              [2],
              [3]])

# 定义转换后的点云P_transformed
P_transformed = np.array([[2, 3, 4],
                          [5, 6, 7],
                          [8, 9, 10],
                          [11, 12, 13]])

# 计算矩阵R的逆矩阵R_inv
R_inv = np.linalg.inv(R)

# 进行逆变换操作，求得原始点云P_original
P_original = np.dot(R_inv, P_transformed.T - t).T

# 打印结果
print(P_original)

这样，就可以根据旋转平移矩阵及转换后的点云求得原始点云。