数据结构-二叉树-堆

一、物理结构和逻辑结构

在内存中的存储结构，逻辑结构为想象出来的存储结构。

二、完全二叉树的顺序存储结构

parent = (child - 1)/2

leftchild = 2*parent + 1;

rightchild = 2*parent +2

上面的顺序结构只适合存储完全二叉树。如果存储，会浪费很多的空间。

三、堆

1、堆的分类

小根堆：树中所有的父亲都小于或等于孩子。

大根堆：树中所有的父亲都大于或等于孩子。

接下来我们需要定义一个堆。定义过程如下：

创建堆的时候会涉及到一个向上调整的算法：我们可以画图表示这一过程

void UpAdjust(HPDataType* a, int child)
{
	assert(a);
	int parent = (child - 1) / 2;
	//建立大堆
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			//交换两个数字
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

删除堆顶数据需要涉及到向下调整

这里不能挪动数据。原因有两个，效率低下，父子兄弟关系全乱了。

思路就是：把头部数据和尾部数据交换。删除尾部数据，然后进行向下调整

这样删除的优点是 效率高，保持了大部分堆的父子关系。

向下调整的过程中我们需要和儿子中最大的进行比较。这样才能保证堆的关系不变。

没有孩子时结束，转换一下就是child < size。

void DownAdjust(HPDataType* a,int parent,int size)
{
	int child = 2 * parent + 1;

	while (child < size)
	{	
		//选出最大的那一个孩子
		if (child + 1 < size && a[child] < a[child + 1])
		{
			child++;
		}

		if (a[child] > a[parent])
		{
			//交换两个数字
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

整体实现

#include "heap.h"

void HeapInit(HP* hp)
{
	assert(hp);
	hp->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * SIZE);
	hp->size = 0;
	hp->capacity = SIZE;
}

void AddCapacity(HP* hp)
{
	assert(hp);
	if (hp->size == hp->capacity)
	{
		HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * hp->capacity * 2);
		if (temp == NULL)
		{
			perror("realloc failed");
			return;
		}
		hp->a = temp;
		hp->capacity *= 2;
	}
}
void Swap(int* left, int* right)
{
	int temp = *left;
	*left = *right;
	*right = temp;
}
//除了child的位置，前面的数据构成堆
void UpAdjust(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	//建立大堆
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			//交换两个数字
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPush(HP* hp, HPDataType x)
{
	//考虑扩容的问题
	AddCapacity(hp);
	//插入数据
	hp->a[hp->size++] = x;
	//还需要考虑向上调整的问题。
	UpAdjust(hp->a, hp->size - 1);
}

void DownAdjust(HPDataType* a,int parent,int size)
{
	int child = 2 * parent + 1;

	while (child < size)
	{	
		//选出最大的那一个孩子
		if (child + 1 < size && a[child] < a[child + 1])
		{
			child++;
		}

		if (a[child] > a[parent])
		{
			//交换两个数字
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//删除头部的数据
void HeapPop(HP* hp)
{
	assert(hp);
	assert(!HeapEmpty(hp));
	//首先交换头和尾的数字
	Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size-1]);
	//然后删除尾的数字
	hp->size--;
	//向下调整恢复堆的原型 向下调整的左右子树一定是堆
	DownAdjust(hp->a, 0, hp->size);
}

HPDataType HeapTop(HP* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->a[0];
}
bool HeapEmpty(HP* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->size == 0;
}
int HeapSize(HP* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->size;
}

四、堆排

对数组进行排序。我们可以把它直接搞成一个堆，建堆操作

1、向上调整建堆

（1）把第一个数看成一个堆中的数。后来的数进行向上调整建立堆。 O(nlogn)

（2）排升序需要建大堆，减小堆关系就都乱了

利用向上调整建大堆时我们可以交换堆头和堆尾的值。然后在进行向下调整选出次小的值，如此往复。

堆排的过程如下

堆排代码：

void HeapSort(int* a,int n)
{
	//首先建立大堆
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		UpAdjust(a, i);
	}

	//交换堆头和堆尾的数字选出最大的数字放到堆尾
	//然后向下调整
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[end], &a[0]);
		DownAdjust(a, 0, end);
		end--;
	}
}