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系列专栏:分治算法
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问题描述
- 将正整数 n n n表示成一系列正整数之和, n = n 1 + n 2 + ⋯ + n k ( n 1 ≥ n 2 ≥ ⋯ ≥ n k ≥ 1 , k ≥ 1 ) n = n_{1} + n_{2} + \cdots + n_{k} (n_{1} \geq n_{2} \geq \cdots \geq n_{k} \geq 1 , k \geq 1) n=n1+n2+⋯+nk(n1≥n2≥⋯≥nk≥1,k≥1)
- 正整数 n n n的这种表示称为正整数 n n n的划分,正整数 n n n的不同的划分个数称为正整数 n n n的划分数,记为 p ( n ) p(n) p(n)
分治算法
- 在正整数 n n n的所有划分中,将最大加数 n 1 n_{1} n1不大于 m m m的划分个数记作 q ( n , m ) q(n , m) q(n,m),可以建立 q ( n , m ) q(n , m) q(n,m)的递归关系
q ( n , m ) = { 1 , n = 1 , m = 1 q ( n , n ) , n < m q ( n , n − 1 ) + 1 , n = m q ( n , m − 1 ) + q ( n − m , m ) , n > m > 1 q(n , m) = \begin{cases} 1 , & n = 1 , m = 1 \\ q(n , n) , & n < m \\ q(n , n - 1) + 1 , & n = m \\ q(n , m - 1) + q(n - m , m) , & n > m > 1 \end{cases} q(n,m)=⎩ ⎨ ⎧1,q(n,n),q(n,n−1)+1,q(n,m−1)+q(n−m,m),n=1,m=1n<mn=mn>m>1
Python实现
python
def integer_partition(n, m):
if n < 1 or m < 1:
return 0
if n == 1 or m == 1:
return 1
if n < m:
return integer_partition(n, n)
if n == m:
return integer_partition(n, n - 1) + 1
return integer_partition(n, m - 1) + integer_partition(n - m, m)
n = 6
res = integer_partition(n, n)
print(f'The number of partitions for {n} is: {res}')
shell
The number of partitions for 6 is: 11