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- [第二门课: 改善深层神经网络：超参数调试、正 则 化 以 及 优 化 (Improving Deep Neural Networks:Hyperparameter tuning, Regularization and Optimization)](#第二门课: 改善深层神经网络：超参数调试、正 则 化 以 及 优 化 (Improving Deep Neural Networks:Hyperparameter tuning, Regularization and Optimization))
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- [第一周：深度学习的 实践层面 (Practical aspects of Deep Learning)](#第一周：深度学习的 实践层面 (Practical aspects of Deep Learning))
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- [1.13 梯度检验（Gradient checking）](#1.13 梯度检验（Gradient checking）)
第二门课: 改善深层神经网络：超参数调试、正 则 化 以 及 优 化 (Improving Deep Neural Networks:Hyperparameter tuning, Regularization and Optimization)
第一周：深度学习的 实践层面 (Practical aspects of Deep Learning)
1.13 梯度检验（Gradient checking）
梯度检验帮我们节省了很多时间，也多次帮我发现 backprop 实施过程中的 bug，接下来，我们看看如何利用它来调试或检验 backprop 的实施是否正确。
假设你的网络中含有下列参数， W 1 W^{1} W1和 b 1 b^{1} b1...... W l W^{l} Wl和 b l b^{l} bl，为了执行梯度检验，首先要做的就是，把所有参数转换成一个巨大的向量数据，你要做的就是把矩阵𝑊转换成一个向量，把所有𝑊矩阵转换成向量之后，做连接运算，得到一个巨型向量𝜃，该向量表示为参数𝜃，代价函数𝐽是所有𝑊和𝑏的函数，现在你得到了一个𝜃的代价函数𝐽（即𝐽(𝜃)）。接着，你得到与𝑊和𝑏顺序相同的数据，你同样可以把 d W 1 dW^{1} dW1和 d b 1 db^{1} db1...... d W l dW^{l} dWl和 d b l db^{l} dbl转换成一个新的向量，用它们来初始化大向量𝑑𝜃，它与𝜃具有相同维度。
同样的，把 d W 1 dW^{1} dW1转换成矩阵， d b 1 db^{1} db1已经是一个向量了，直到把 d W l dW^{l} dWl转换成矩阵，这样所有的𝑑𝑊都已经是矩阵，注意 d W 1 dW^{1} dW1与 W 1 W^{1} W1具有相同维度， d b 1 db^{1} db1与 b 1 b^{1} b1具有相同维度。经过相同的转换和连接运算操作之后，你可以把所有导数转换成一个大向量𝑑𝜃，它与𝜃具有相同维度，现在的问题是𝑑𝜃和代价函数𝐽的梯度或坡度有什么关系？
这就是实施梯度检验的过程，英语里通常简称为"grad check"，首先，我们要清楚𝐽是超参数𝜃的一个函数，你也可以将𝐽函数展开为𝐽(𝜃1, 𝜃2, 𝜃3, ... ... )，不论超级参数向量𝜃的维度是多少，为了实施梯度检验，你要做的就是循环执行，从而对每个𝑖也就是对每个𝜃组成元素计算𝑑𝜃approx𝑖的值，我使用双边误差，也就是
d θ a p p r o x i = J ( θ 1 , θ 2 , . . . . . . θ i + ε , . . . ) − J ( θ 1 , θ 2 , . . . . . . θ i − ε , . . . ) 2 ε dθ_{approx}i =\frac{J(θ_1,θ_2,......θ_i+ε,...) - J(θ_1,θ_2,......θ_i-ε,...)}{2ε} dθapproxi=2εJ(θ1,θ2,......θi+ε,...)−J(θ1,θ2,......θi−ε,...)
只对 θ i θ_i θi增加𝜀，其它项保持不变，因为我们使用的是双边误差，对另一边做同样的操作，只不过是减去𝜀，𝜃其它项全都保持不变。
从上节课中我们了解到这个值（ d θ a p p r o x i dθ_{approx}i dθapproxi）应该逼近𝑑𝜃𝑖=𝜕𝐽/𝜕𝜃𝑖，𝑑𝜃𝑖是代价函数的偏导数，然后你需要对𝑖的每个值都执行这个运算，最后得到两个向量，得到𝑑𝜃的逼近值 d θ a p p r o x dθ_{approx} dθapprox，它与𝑑𝜃具有相同维度，它们两个与𝜃具有相同维度，你要做的就是验证这些向量是否彼此接近。
具体来说，如何定义两个向量是否真的接近彼此？我一般做下列运算，计算这两个向量的距离，𝑑𝜃approx𝑖 − 𝑑𝜃𝑖的欧几里得范数，注意这里（||𝑑𝜃approx − 𝑑𝜃||2）没有平方，它是误差平方之和，然后求平方根，得到欧式距离，然后用向量长度归一化，使用向量长度的欧几里得范数。分母只是用于预防这些向量太小或太大，分母使得这个方程式变成比率，我们实际执行这个方程式，𝜀可能为 1 0 − 7 10^{−7} 10−7，使用这个取值范围内的𝜀，如果你发现计算方程式得到的值为 1 0 − 7 10^{−7} 10−7或更小，这就很好，这就意味着导数逼近很有可能是正确的，它的值非常小。
如果它的值在 1 0 − 5 10^{−5} 10−5范围内，我就要小心了，也许这个值没问题，但我会再次检查这个向量的所有项，确保没有一项误差过大，可能这里有 bug。
如果左边这个方程式结果是 1 0 − 3 10^{−3} 10−3，我就会担心是否存在 bug，计算结果应该比 1 0 − 3 10^{−3} 10−3小很多，如果比 1 0 − 3 10^{−3} 10−3大很多，我就会很担心，担心是否存在 bug。这时应该仔细检查所有𝜃项，看是否有一个具体的𝑖值，使得𝑑𝜃approx𝑖与𝑑𝜃𝑖大不相同，并用它来追踪一些求导计算是否正确，经过一些调试，最终结果会是这种非常小的值（ 1 0 − 7 10^{−7} 10−7），那么，你的实施可能是正确的。
在实施神经网络时，我经常需要执行 foreprop 和 backprop，然后我可能发现这个梯度检验有一个相对较大的值，我会怀疑存在 bug，然后开始调试，调试，调试，调试一段时间后，我得到一个很小的梯度检验值，现在我可以很自信的说，神经网络实施是正确的。
现在你已经了解了梯度检验的工作原理，它帮助我在神经网络实施中发现了很多 bug，希望它对你也有所帮助。