导读\]：超平老师的Scratch蓝桥杯真题解读系列在推出之后，受到了广大老师和家长的好评，非常感谢各位的认可和厚爱。作为回馈，超平老师计划推出《Python**蓝桥杯真题解析100讲》，**这是解读系列的第74讲。 **扎气球最高分，**本题是2021年11月27日举办的第13届蓝桥杯青少组Python编程选拔赛真题编程部分第5题。题目要求对于给定的n个排成一排的气球，将所有气球扎破能够得到的最高分数。 先来看看题目的要求吧。 ### 一.题目说明 **编程实现：** 小明去游乐场玩飞镖扎气球的游戏，一共有n个气球，依次排成一行，每个气球上有一个数字，表示这个气球的分值。 游戏计分规则： 1、戳破1个气球，将获得其本身及左右相邻气球，共三个分值相乘的分数； 2、如果戳破的气球左边或右边没有气球，则获得其本身及相邻气球，共两个分值相乘的分数；如果被戳破的气球左边和右边都没有气球（是最后一个被戳破的气球），则这个气球本身的分值作为分数； 3、已经被戳破的气球不再计算。 飞镖数量不限，可以任意选择顺序戳破气球，根据计分规则，争取使得游戏最后得分最高。 例如：一共有3个气球，分值分别为2，4，6。 若想获得最高得分： 1). 先戳破4，得分为2 x 4 x 6 = 48； 2). 再戳破2，得分为2 x 6 = 12，累计得分60； 3). 再戳破6，得分为6，累计得分66； 最后总得分为66，为最高得分。 **输入描述：** 输入n个正整数，表示气球的分值，且正整数之间以一个英文逗号隔开 **输出描述：** 输出正整数，表示戳破所有气球后获得的最高得分 **样例输入：** 2,4,6 **样例输出：** 66 ### 二.思路分析 这是一道动态规划算法题，涉及的知识点包括循环、列表和动态规划等。 这是一个求最值问题，对于最值问题，常见的实现方案有枚举算法、贪心算法、递归算法、回溯算法和动态规划等。 那么你知道本题属于哪种类型呢？ 实际上，这是典型的区间DP问题，区间DP问题通常涉及一个列表或数组，需要对其某些子区间进行操作，并通过这些操作的结果来求解整个列表或数组的某些性质或最优值。 区间DP的基本思想是通过定义二维的DP状态数组dp\[i\]\[j\]，表示从序列的第i个元素到第j个元素（即区间\[i, j\]的最优解，例如最小/最大的某个值）。然后，通过考虑如何将大区间分解成较小的区间，并利用这些较小区间的最优解来构造大区间的最优解，来进行状态转移。 对于动态规划问题，核心点有如下4个： * 定义dp数组 * 初始状态 * 状态转移方程 * 遍历顺序 接下来，我们逐一分析这4个核心要素。 **1. 定义dp数组** 由于这是一个区间DP问题，因此dp数组是一个二维列表，即dp\[i\]\[j\]，表示扎破从i到j之间所有的气球的最高得分。 此时，有一个问题需要明确，这里的i和j是否也包含呢？ 我们看一组实际的数据，假设有4个气球，分值为3, 2, 4, 6，如图：  在计算最高分的时候，还需要考虑气球是否处于最左边和最右边，代码比较繁琐。 可以考虑在左右两边增加两个虚拟气球，其分值为1，如图：  如此一来，所有的黄色气球都处于中间位置，再也不需要考虑边界问题了。 当然，这也让我们进一步明确了dp\[i\]\[j\]的含义，它表示的是扎破i到j之间所有气球的最高得分。 对于上面的4个气球来说，最后的结果是dp\[0\]\[5\]，表示从0\~5之间所有的气球，不包括0和5本身，因为这两个气球是虚拟的，根本不存在。 可以绘制表格如下：  最右上角的单元格dp\[0\]\[5\]就是最终要计算的结果，实际上，所谓的动态规划，其实就是一个填表的过程。 **2. 初始状态** 所谓初始状态就是最简单的情况，对于戳气球问题而言，最简单的情况就是没有气球，此时得分为0。 对应到dp\[i\]\[j\]数组，就是当j - i \<= 1，即i和j两者之间没有气球可扎了，当然也就没有分数了。 对应的dp表格如下：  这里将处在对角线偏右上的单元格设置为0，即： dp[0][1] = dp[1][2] = dp[2][3] = dp[3][4] = dp[4][5]= 0 对于dp表格，我们要计算的是右上方的单元格，左下方的单元格可以忽略不计。 **3. 状态转移方程** 对于动态规划问题，状态转移方程是重点，也是难点，这里的状态转移方程又该如何确定呢？ 还是以上面的数据为例，我们只需要分析最后戳破哪个气球的过程，4只气球可以分四种情况来考虑。 1). 最后戳第一只气球 最后戳破的气球分值为3，如图所示：  这相当于把dp\[0\]\[5\]拆分成两个子区间，分别是dp\[0\]\[1\]和dp\[1\]\[5\]，戳破当前气球的得分为1 \* 3 \* 1，所以： dp[0][5]= dp[0][1] + dp[1][5] + 3 2). 最后戳第二只气球 最后戳破的气球分值为2，如图所示：  这相当于把dp\[0\]\[5\]拆分成两个子区间，分别是dp\[0\]\[2\]和dp\[2\]\[5\]，戳破当前气球的得分为1 \* 2 \* 1，所以： dp[0][5]= dp[0][2] + dp[2][5] + 2 3). 最后戳第三只气球 最后戳破的气球分值为4，如图所示：  这相当于把dp\[0\]\[5\]拆分成两个子区间，分别是dp\[0\]\[3\]和dp\[3\]\[5\]，戳破当前气球的得分为1 \* 4 \* 1，所以： dp[0][5]= dp[0][3] + dp[3][5] + 4 4). 最后戳第四只气球 最后戳破的气球分值为6，如图所示：  这相当于把dp\[0\]\[5\]拆分成两个子区间，分别是dp\[0\]\[4\]和dp\[4\]\[5\]，戳破当前气球的得分为1 \* 6 \* 1，所以： dp[0][5]= dp[0][4] + dp[4][5] + 6 到底哪一种情况得分最高呢，其实就是取最大值的问题了。 你看到这其中的规律了吗？ 实际上就是在i和j之间找分割点k，将dp\[i\]\[j\]拆分成两个子区间dp\[i\]\[k\]和dp\[k\]\[j\]，如图所示：  对于每个分割点来说，左边区间的最大分值是dp\[i\]\[k\]，右边区间的最大分值是dp\[k\]\[j\]，加上本次戳破气球的分数p\[i\] \* p\[k\] \* p\[j\]，这里的列表p保存的是每个气球的分值，包括左右两端的虚拟气球。 因此，状态转移方程如下： dp[i][j] = max( dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + p[i] * p[j] * p[k]) 这意味着，我们需要使用循环枚举i到j之间的每个分割点k，计算其最大分值，然后将最大值作为dp\[i\]\[j\]的结果。 **4. 遍历顺序** 对于二维列表dp\[i\]\[j\]来说，常见的遍历顺序是从上到下，从左到右。但是对于区间DP来说，不能采取这种遍历顺序。 我们还是看图说话吧，以计算dp\[2\]\[5\]为例，它的分割点k有两个。 当k = 3时，计算如下： dp[2][5] = dp[2][3] + dp[3][5] + p[2]* p[3] * p[5] 对应的DP表格如图：  当k= 4时，计算如下： dp[2][5] = dp[2][4] + dp[4][5] + p[2]* p[4] * p[5] 对应的DP表格如图：  相信你已经发现了，在计算dp\[2\]\[5\]的时候，它可以通过dp\[2\]\[3\] + dp\[3\]\[5\]计算出来，也可以通过dp\[2\]\[4\] + dp\[4\]\[5\]计算出来。 很显然，dp\[2\]\[3\]、dp\[3\]\[5\]、dp\[2\]\[4\]、dp\[4\]\[5\]这些单元格都在dp\[2\]\[5\]的左方和下方，这就意味着不能使用传统的从上到下、从左到右。 针对这种情况，我们可以有两种遍历方式，一是斜线遍历，如图：  二是从下到上，从左到右，如图：  相对来说，使用第二种遍历方式更为简单一些。 思路有了，接下来，我们就进入具体的编程实现环节。 ### 三.编程实现 根据上面的思路分析，我们编写程序如下：  代码不多，说明4点： 1). pts表示输入的气球分值，左右各增加了一个分值为1的气球，这里直接使用列表相加的运算，非常方便； 2). 二维dp列表行和列都是n + 2，初始值为0，这里使用了列表推导式； 3). i表示行，从下到上，初始值是n -1，终点是0，j表示列，自左至右，初始值是i + 1，终点是n + 1； 4). k表示分割点，起始值是k+1，终点是j - 1。 至此，整个程序就全部完成了，你可以输入不同的数据来测试效果啦。 ### 四.总结与思考 本题代码在10行左右，涉及到的知识点包括： * 循环语句，尤其是嵌套循环； * 列表的操作； * 动态规划算法； 作为本次测评的最后一题，代码虽然不多，但是难度较大。关键点有两个，一是理解区间DP的算法思想，二是彻底弄清填充DP表格的方法和过程。 估计你已经发现了，最终的代码并不多，难的是过程分析，动态规划说难也难，说简单也简单。 动态规划说白了，就是根据题目意思定义一个表格，可能是一维的，也可能是二维的，然后找到规律，也就是状态转移方程，不断地计算并填充每一个单元格。 因此，在学习动态规划算法的时候，一定要亲自动手绘制并填充表格，这个过程会有些繁琐，但是效果非常好，写代码反倒是最简单的事情了。 超平老师给你留两道思考题： 1). 如何使用递归算法，计算最大分值？ 2). 如果使用斜线遍历的顺序，代码又该怎么写呢？ 你还有什么好的想法和创意吗，也非常欢迎和超平老师分享探讨。 如果你觉得文章对你有帮助，别忘了点赞和转发，予人玫瑰，手有余香😄 需要源码的，可以移步至"超平的编程课"gzh。