2024/5/28 P1247 取火柴游戏

取火柴游戏

题目描述

输入 k k k 及 k k k 个整数 n 1 , n 2 , ⋯ , n k n_1,n_2,\cdots,n_k n1,n2,⋯,nk，表示有 k k k 堆火柴棒，第 i i i 堆火柴棒的根数为
n i n_i ni；接着便是你和计算机取火柴棒的对弈游戏。取的规则如下：每次可以从一堆中取走若干根火柴，也可以一堆全部取走，但不允许跨堆取，也不允许不取。

谁取走最后一根火柴为胜利者。

例如： k = 2 k=2 k=2， n 1 = n 2 = 2 n_1=n_2=2 n1=n2=2，A 代表你，P 代表计算机，若决定 A 先取：

A： ( 2 , 2 ) → ( 1 , 2 ) (2,2) \rightarrow (1,2) (2,2)→(1,2)，即从第一堆中取一根。

P： ( 1 , 2 ) → ( 1 , 1 ) (1,2) \rightarrow (1,1) (1,2)→(1,1)，即从第二堆中取一根。

A： ( 1 , 1 ) → ( 1 , 0 ) (1,1) \rightarrow (1,0) (1,1)→(1,0)。

P： ( 1 , 0 ) → ( 0 , 0 ) (1,0) \rightarrow (0,0) (1,0)→(0,0)。P 胜利。

如果决定 A A A 后取：

P： ( 2 , 2 ) → ( 2 , 0 ) (2,2) \rightarrow (2,0) (2,2)→(2,0)。

A： ( 2 , 0 ) → ( 0 , 0 ) (2,0) \rightarrow (0,0) (2,0)→(0,0)。A 胜利。

又如 k = 3 k=3 k=3， n 1 = 1 n_1=1 n1=1， n 2 = 2 n_2=2 n2=2， n 3 = 3 n_3=3 n3=3， A A A 决定后取：

P： ( 1 , 2 , 3 ) → ( 0 , 2 , 3 ) (1,2,3) \rightarrow (0,2,3) (1,2,3)→(0,2,3)。

A： ( 0 , 2 , 3 ) → ( 0 , 2 , 2 ) (0,2,3) \rightarrow (0,2,2) (0,2,3)→(0,2,2)。

A 已将游戏归结为 ( 2 , 2 ) (2,2) (2,2) 的情况，不管 P 如何取 A 都必胜。

编一个程序，在给出初始状态之后，判断是先取必胜还是先取必败，如果是先取必胜，请输出第一次该如何取。如果是先取必败，则输出 lose。

输入格式

第一行，一个正整数 k k k。

第二行， k k k 个整数 n 1 , n 2 , ⋯ , n k n_1,n_2,\cdots,n_k n1,n2,⋯,nk。

输出格式

如果是先取必胜，请在第一行输出两个整数 a , b a,b a,b，表示第一次从第 b b b 堆取出 a a a

个。第二行为第一次取火柴后的状态。如果有多种答案，则输出 ⟨ b , a ⟩ \lang b,a\rang ⟨b,a⟩ 字典序最小的答案（即 b b b 最小的前提下，使
a a a 最小）。

如果是先取必败，则输出 lose。

样例 #1

样例输入 #1

3 3 6 9

样例输出 #1

4 3 3 6 5

样例 #2

样例输入 #2

4 15 22 19 10

样例输出 #2

lose

提示

数据范围及约定

对于全部数据， k ≤ 500000 k \le 500000 k≤500000， n i ≤ 1 0 9 n_i \le 10^9 ni≤109。

又是参加学校每日题的一天，熟练的点开了题目的算法标签，想看看这个题我有没有一点点涉猎（又是及时放弃的一天（bushi））一看：博弈论。瞬间想起了之前在b站刷到过却放在收藏夹吃灰，于是决定好好看看而不是直接放弃（

让我们分析分析这道题。经典的Nim游戏 P2197 【模板】Nim 游戏

首先我们需要认识到，仅有一堆棋子存在时，出现胜负决断

n=1: 先手全拿，先手必胜。

n=2:有两种情况，一种可能相同，一种情况一堆比另一堆少（多）
    (m,m) 按照"有一学一，照猫画猫"法，先手必输。

    (m,M)先手先从多的一堆中拿出(M-m)个，此时后手面对(m,m)的局面先手必胜。
术语:正经人称(m,m)的局面为奇异局势

n=3:(m,m,M)先手必胜局，先手可以先拿M,之后变成了(m,m,0)的局面，是不是很熟悉~

(a1,a2,a3)的话，举个例子(1,2,3),先手取完之后可能的局面为(0,2,3),(1,1,3),(1,0,3),(1,2,2),(1,2,1),(1,2,0)都是之前讲过的，情况如下：

这些的结果可以总结为：异或均为0

这块的异或到底是怎么蹿出来的，我觉得洛谷题解有一篇说的挺有意思

异或有一个特殊的规律，就是一堆数异或时，若在同一个二进制位上1的个数是偶数，那么这一位异或起来以后是0，否则为1

二进制的话就是可以使用0/1表示所有数字

我们来看上一个游戏，我们将这两堆的剩余的火柴数转变成二进制。

发现我们先手取走一个数，就是改变其二进制为上的1的个数（只考虑奇偶性），而后手再去取的话就是将其奇偶性再变回来

然后我们再回去看为什么异或和是0时先手必输，因为先手拿走了某些火柴时，我们可以根据其拿走火柴的二进制表示，在其他一堆中拿走一些一些数字，使得其异或和重新为0；

怎么搞呢？我们可以拿走一些数，也就是减某一个数，使得先手拿完后，（啰嗦警告）

所有堆中的每个二进制上的一的个数的和，我们总可以通过加减一个数，达到在某一个二进制位的1的个数进行加一or减一的效果

使得某一位二进制上的1的个数变为偶数。

从而使得游戏又恢复到了一开始的局面
题解

先手必胜，即先手可以拿走一些火柴，使得后手必败，而必败态是火柴堆的异或和为零；那么我们求的，就是先手拿走一些火柴后，新的火柴堆异或和为零的方案。设原异或和为X

当(a2 xor X)<a2时，能取走火柴。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include<algorithm>


using namespace std;
int k, n[500100], x;

int main()
{
	cin >> k;
	for (int i = 1; i <= k; i++)
	{
		cin >> n[i];
		x ^= n[i];
	}
	if (x == 0) { cout << "lose"; return 0; }
	for (int i = 1; i <= k; i++)
	{
		if ((n[i] ^ x) < n[i])
		{
			cout << n[i] - (n[i] ^ x) << " " << i << endl;
			n[i] = n[i] ^ x;
			break;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= k; i++)
	{
		cout << n[i] << " ";
	}
	return 0;
}