文章目录
- 前言
- 一、线性方程组的求解
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- [1.1 直线的交点](#1.1 直线的交点)
- [1.2 向量的加权求和](#1.2 向量的加权求和)
- 二、线性组合的表示范围
- 三、线性方程组的解的分析
- 总结
前言
有段时间没更新了，准备开个新坑，写点数学基础相关的内容，计划先过一遍线性代数，再扩展到矩阵论，后续可能再写点凸优化的东西，看情况吧哈哈哈。
线性代数应该是理工科本科时期的必修课，到研究生阶段会进一步学习矩阵论。线性代数与概率论是我认为非常重要的两部分数学基础，其中的概念理论广泛存在应用于通信与AI的各个方面。因此学好线性代数是非常重要的。
------本系列参考B站的MIT线性代数视频课。
一、线性方程组的求解
1.1 直线的交点
让我们回到线性代数最初的问题------线性方程组的求解的思考上。对于一个简单的线性方程组，如下所示，由两个未知数两个方程组成：（为了省事，省去大括号了）
2 x + y = 1 2x+y=1 2x+y=1
x − y = 2 x-y =2 x−y=2
初等数学中我们学习过如何理解这个方程组的解，从行来看，可以认为两个方程分别表示了二维平面上的一条直线，那么只要这两个直线不平行，那就必然有交点，那个这个交点就会同时在两个直线上，也就是同时会满足两个直线方程。同时，由于直线只有一个交点，我们也能知道该方程组只有一个解。
现在，我们改变一下，我们可以往这个方程组中再加入几个方程，那解就变成了多条直线的交点，此时便难以直接通过平行关系来判断是否有解了。如果我们更进一步，增加几个新的变量进去，三维我们还有平面，但是更高维度呢？我们没有办法再获取像直线的交点这样形象的理解方式了。
1.2 向量的加权求和
如果我们换一个角度，从列去看这组方程呢？上述方程组会变成这样：（这里简单写成这种形式）
x ⋅ [ 2 , 1 ] + y ⋅ [ 1 , − 1 ] = [ 1 , 2 ] x\cdot[2,1]+y\cdot[1,-1]=[1,2] x⋅[2,1]+y⋅[1,−1]=[1,2]
我们来看看这个方程的左边，它是对两个向量 [ 2 , 1 ] , [ 1 , − 1 ] [2,1],[1,-1] [2,1],[1,−1]做了一个加权求和，通过适当选取每个向量的权重 x , y x,y x,y，使得和向量等于右边的向量。这种对向量的加权求和，就称为向量的线性组合。
由此，我们就得到了线性方程组的另一种理解，求解线性方程组就是找到一组加权系数------组合系数，用它们来把所有的向量（方程组中的每一列，即列向量）进行组合，使得他们组合的结果可以等于右边的向量。这种解释的好处在于，它是适配于任何情况的，无论增加方程的个数还是未知数的个数，这种解释仍然成立，并且足够直观。（固然用超平面也能解释其意义，但不太直观）
二、线性组合的表示范围
我们回到原本的二元方程组，从直线的交点我们知道有解的等价条件是直线不平行。那么换成列向量的线性组合的话，什么情况下一定有解呢？
高中物理与高中数学，我们都学过向量的基底，我们知道两个不共线的向量可以表示平面上的任意一个向量，这两个向量可以称为一组基底。而这种表示的方法，我们现在知道其实就是对这两个基底向量进行线性组合。那么，我们自然就有该二元方程组有解的等价条件就是两个列向量不共线。（零向量与任意向量共线）
其实我们就是在说这样一件事：这组列向量能够表示二维向量中的任意一个向量，自然也能表示等号右边的这个向量，所有方程组一定有解。而如果两个列向量共线呢？那么其实就相当于两个列向量只能起到一个列向量的效果，此时方程可以改写为：
( x + λ y ) [ a , b ] = [ c , d ] (x+\lambda y)[a,b]=[c,d] (x+λy)[a,b]=[c,d]
其中 λ \lambda λ就是两个列向量的之间变换的因子，那么这种情况是不一定有解的，只有刚好右边的向量与左边的向量共线时，才能有解。
三、线性方程组的解的分析
上述分析我们用到了高中的向量知识，如果我们再一次把方程组的未知数与方程数扩大的话，那么列向量的长度和个数也都会变化，此时我们不能再只通过两个向量的共线与否来判断了。这就是我们接下来要继续学习的知识。通过对这些列向量的分析，我们想要知道方程组什么时候有解，什么时候无解，什么时候有无穷多解，什么时候有唯一解。
总结
本文先简单从线性方程组求解的分析中，引入了线性组合的概念，提供了从列去看待线性方程组求解的全新视角。下一篇将具体地去做线性方程组的求解， 所用的便是我们一直以来所学的消元法。