运筹学_7.博弈论(对策略)

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引言

对策论又称博弈论(The Games Theory)是运筹学学科的一个重要分支。具有竞争或对抗性质的行为称为对策行为,对策论就是研究对策行为中,斗争各方是否存在最合理的行动方案,以及如何找到这个合理方案的理论和方法。

近代对于博弈论的研究,开始于策梅洛(Zermelo),波莱尔(Borel)及冯·诺依曼(von Neumann)。

1928年,冯·诺依曼证明了博弈论的基本原理,从而宣告了博弈论的正式诞生。1944年,冯·诺依曼和摩根斯坦共著的划时代巨著《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统地应用于经济领域,从而奠定了这一学科的基础和理论体系。

1950~1951年,约翰·福布斯·纳什(John Forbes Nash Jr)利用不动点定理证明了均衡点的存在,为博弈论的一般化奠定了坚实的基础。纳什的开创性论文《n人博弈的均衡点》(1950),《非合作博弈》(1951)等等,给出了纳什均衡的概念和均衡存在定理。此外,莱因哈德·泽尔腾、约翰·海萨尼的研究也对博弈论发展起到推动作用。今天博弈论已发展成一门较完善的学科。

7.1 博弈论(对策论)的基本概念

对策论有三个基本假设

  • 参与人是理性的
  • 他们有这些理性的共同知识
  • 他们知道对策规则

对策论的三个要素

  1. 局中人
    在一个对策行为中,有权决定自己行动方案的对策参加者,称为局中人。
    一般要求一个对策中至少要有二个局中人,如在"齐王赛马"例子中,局中人是齐王与田忌。
    对策中关于局中人的概念是具有广义性的,局中人除了可以理解为个人外,还可以理解为某一集体。
    在对策中总是假定每一个局中人都是理智的。
  2. 策略集
    • 定义:对策中,一个实际可行的行动方案,称为一个策略,所有策略组成的集合称为策略集。一般,每一局中人的策略集中至少应包括两个策略
    • 有限对策和无限对策:如果在一局对策中,各个局中人只有有限的策略,我们称之为有限对策;否则称为无限对策。
    • 局势:在一局对策中,各个局中人选定的策略构成的一个策略组。
  3. 赢得函数
    • 定义:局中人确定了所采取的策略后,会获得相应的收益或损失,收益或损失的值

零和对策

  • 定义:对于一个对策问题,如果在每一个局势中,全体局中人的得失相加都是零,则称此对策为零和对策,否则称为非零和对策。
  • 举例:
    • 下棋:两个人下棋,一方赢得比赛,另一方就输了比赛。胜方的得分和败方的失分加起来正好是零。
    • 扑克游戏:在一局扑克牌游戏中,一个人赢了多少钱,其他人就输了多少钱,所有人的得失相加等于零。

二人有限零和对策

在众多对策模型中,占有重要地位的是二人有限零和对策,即在对策只有两个局中人,各自的策略集只含有限个策略,每局中两个局中人的得失总和为零(即一个局中人的赢得恰为另一个局中人所输掉的值),这类对策又称为矩阵对策

7.2 矩阵对策

矩阵对策数学模型


7.3 最优纯策略基本定理和性质

最优纯策略基本定理




最优纯策略基本性质


7.4 混合策略定义和性质

混合策略的定义




混合策略的性质


7.5 矩阵对策的基本定理

混合策略基本定理





2×2对策公式法




7.6 矩阵对策解法

图解法

线性方程组法

线性规划法

7.7 矩阵对策的应用

优超原则


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