4.1 环与子环 （理解）
4.2 整环、除环、域 （熟练）
4.3 环的同态、理想 （掌握）
4.1 环与子环
定义：设R是一非空集合，在R上定义了加法和乘法两种代数运算， 分别记为a+b和ab．如果R具有如下性质：
-
R对于加法是一个交换群；
-
R对于乘法是封闭的；
-
乘法满足结合律，即对于任意a，b，c∈R，有 a(bc) = (ab)c；
-
分配律成立，即对于任意a，b，c∈R，有 a(b+c) = ab+ac，(b+c)a = ba+ca； 则称R为一个环。
如果环R关于乘法还满足交换律，即对于任意a，b∈R，总有ab = ba，则称R为交换环。
例：全体有理数、全体实数、全体复数和全体整数集合对于普通的加法和乘法构成交换环，其中全体整数集合Z构成的环比较重要，称为整数环。
例：模m的剩余类集合
上的乘法如下：
，则剩余类集合对于剩余类加法和乘法构成一个交换环，称为模m剩余类环。
零元：加法群的单位元称为零元，记为0。
负元：元素的加法逆元称为负元，记为-a。
单位元：乘法单位元称为单位元，记为1。
逆元：乘法逆元，记为a^(-1)。
环不一定存在单位元和逆元。但如果环中存在单位元和逆元，则它们一定是唯一的。
有理数、实数、复数和整数环都有单位元1；有理数、实数和复数环的非零元都有逆元； 但整数环Z除±1外，其他元素都没有逆元。
环的计算规则：
假设R是一个环，a，b，c∈R
-
0+a = a+0 = a
-
a+(-b) = a-b
-
(-a)+a = a-a = 0
-
- (-a) = a
-
如果a+b = c，则 b = c-a
-
-(a+b) = -a-b，-(a-b) = -a +b
-
对于任意正整数n，有 (-n)a = - (na)，0a = 0
-
对于任意整数n，m，有 (n＋m)a = na+ma，n(ma) = (nm)a，n(a+b) = na+nb
-
对于任意正整数n，m，有
注意在R中一般不能定义a^0和a^(-n)，因为环中不一定存在单位元和逆元。
-
(a-b)c = ac-bc，c(a-b) = ca-cb
-
0a = a0 = 0（这里的0是R的零元）
-
(-a)b = a(-b) = -ab，(-a)(-b) = ab
-
更一般地，
或表示为
- 对于任意整数n，有 (na)b = a(nb) = n(ab)
定义：如果在环里 a≠0，b≠0，但 ab = 0， 则称a是这个环的一个左零因子，b是这个环的一个右零因子。
(1)交换环里每个左零因子同时又是右零因子。如果一个左零因子同时又是右零因子，则称为零因子。
(2) 非交换环里的左零因子或右零因子也可能成为零因子。
例：模12剩余类环中的全部零因子是：
一个环里可以没有任何零因子。例如整数环Z。 在没有任何零因子存在的环里，如果ab=0，则必有a=0或b=0。
例：当m是素数时，模m剩余类环无零因子。
定理：在没有任何零因子的环里消去律成立，即如果a≠0，则 ab = ac⇒b=c，ba=ca⇒b=c。反之，如果上面的消去律中的任一个成立，则环里没有零因子。
定义：如果一个环R的子集S对于R中的运算也构成环，则称S为R的子环，R为S的扩环。
子集S构成一个子环的充要条件：
-
S对于加法构成一个子群。
-
S对于乘法封闭。
判定：对于任意a，b∈S，有 a-b∈S，ab∈S
例：全体偶数集合构成一个环，是整数环Z的子环，而Z是它的扩环。
例：整数环Z中任意整数的倍数nZ={rn|r∈Z}是Z的子环。
4.2 整环、除环、域
定义：如果一个环R满足下列条件：
-
是交换环；
-
存在单位元，且1≠0（等价于A≠{0});
3）没有零因子。
则R称为整环。
如整数环、全体有理数环、全体实数环和全体复数环都是整环。
定义：如果一个环R存在非零元，而且全体非零元构成一个乘法群，则R称为除环。
除环的来历是由于每个非零元都有逆元，可以做"除法"。
定义：一个交换除环称为一个域。
该定义等价于如果一个环F存在非零元，而且全体非零元构成 一个乘法交换群，则F称为一个域。
例：全体有理数、全体实数和全体复数对于普通的加法和乘法都是除环，且是可交换的除环。故他们是域，统称为 数域。但整数环由于不是每个元素都有逆元，所以不是除环。
例：当p是素数时，模p剩余类集合对于剩余类加法和乘法构成一个域，记为GF(p) 。
已证明GF(p)是一个模p剩余类环，是交换环，现在证明GF(p)非零元集合，GF*(p)构成一乘法交换群，从而GF(p)是一个域。GF(p)非零元集合GF*(p)，
乘法结合律和交换律显然满足。
任意0<i，j≤p-1，由于(p, i) = 1，(p, j) = 1，则(p , ij) = 1，ij≠0(mod p)，于是
乘法封闭。
3)
是乘法单位元。
- 对于任意
∈GF*(p)，与GF*(p)中的每个元素相乘得
这p-1个结果两两不同。否则假设如果
p|(ia-ib) = i(a-b)。 而(p, i) = 1，则只有p|(a-b)，这与
矛盾。
上述的p-1个不同的结果跑遍GF*(p)的全部元素，当然也包括单位元
，所以
存在逆元。故GF*(p)是乘法交换群。GF(p)是域。
当p不是素数时，它可以分解为两个或更多的小于它的数的乘积，故模m剩余类环有零因子，不可能成为域。
如果从群出发，则一个集合F是一个域应该：
-
构成加法交换群；
-
非零元构成乘法交换群；
-
满足分配律。
域、除环和环的关系如下图所示。
有限除环：元素个数有限的除环。
有限域：元素个数有限的域。
例：GF(p)是有限域，且是最简单的有限域。除环和域同样有子除环和子域的概念。
子除环：如果一个除环的子集也是除环；
子域：如果一个域的子集也是域。
一个除环的一个子集S构成一个子除环的条件是：
-
S包含非零元
-
对于任意a，b∈S，有a-b∈S；
-
对于任意a，b∈S，b≠0，有ab^(-1)∈S
环的同态、理想
定义：R和R'是两个环，如果存在R到R'的一个映射f，加法和乘法都在f下得到保持，即对于任意a，b∈R，有 f(a+b) = f(a)+f(b)， f(ab) = f(a)f(b)，则称f是R到R'的同态映射，或简称同态。
如果f是单射，则称f是单同态。
如果f是满射，则称f是满同态。
如果f是一一映射，则称f是同构，此时称R和R'同构，并用R≌R'表示。
例：设R是一个环，Rn是R上的n维向量，即
定义R^n上的加法和乘法如下：
则R^n构成一个环．定义R^n→R的映射 f((a1 a2 ... an)) = a1。f是Rn到R的满同态。
定理：f是环R到R'的同态，则有
-
f(0) = 0'（0'是R'的零元）
-
对于任意 a∈R，有 f(-a) = -f(a)。
-
如果f是环R到R'的满同态，且R有单位元，则R'也有单位元，且f(1) = 1'（1'是R'的单位元）。
-
如果f是环R到R'的满同态，且R有单位元，而且a∈R可逆，则 f(a)在R'中可逆，且f(a)-1=f(a-1)。
5)如果f是环R到R'的满同态， 且R是交换环，则R'也是交换环。
例: 整数环R到模m剩余类环存在下列同态f：i∈Z，
Z没有零因子，但m不是素数时，模m剩余类环却有零因子。
没有零因子这个性质在同态下不一定保持。
定理：如果两个环R≌R'，则
-
如果R是整环，R'也是整环；
-
如果R是除环，R'也是除环；
-
如果R是域，R'也是域。
环同态也有核的概念。f是环R到R'的同态，设0'是R'的零元，则f的核为
。定理表明在同态f下，0的像是0'。除0外，还可能有其他元素的像是0'．因此|ker(f)| ≥ 1。但显然在单同态和同构下，ker(f) = {0}。
-
ker(f)是R的加法群的一个子群；
-
f是单同态当且仅当ker(f) = {0}。ker(f)是否是一个子环，只需检查乘法在ker(f)中是否封闭。 如果a，b∈ker(f)，那么f(ab) = f(a)f(b) = 0'。 则ab∈ker(f)。可见ker(f)是R的一个子环。
实际上对于任意r∈R和a∈ker(f)，都有f(ra) = f(r)f(a) = 0'，f(ar) = f(a)f(r) = 0'， 即ra，ar∈ker(f)。这表明ker(f)是很特殊的一种子环。
定义：设I是环R的加法子群。如果对于任意r∈R和a∈I，都有 ra∈I， 则称I是R的一个左理想。如果对于任意r∈R和a∈I，都有 ar∈I， 则称I是R的一个右理想。当I同时是左理想和右理想时，称为理想。环同态的核就是理想。显然对于交换环，左理想、右理想和理想是相同的。
例：整数环Z中任意整数的倍数 mZ = {rm|r∈Z} 是Z的理想。
定理：环R的非空子集I是左理想的充要条件：对于任意a，b∈I和rR，有 a-b∈I，ra∈I． 对于右理想和理想也可以有类似的定理。
显然{0}是环R的理想，称为零理想；R也是R的理想，称为单位理想.
零理想和单位理想统称为平凡理想。平凡理想之外的理想称为真理想。
除环仅有平凡理想。理想这个概念对于除环和域没有什么意义。
定理：两个左理想的交是左理想，两个右理想的交是右理想，两个理想的交是理想。
推论：多个左理想的交是左理想，多个右理想的交是右理想，多个理想的交是理想
主理想与主理想整环
定义：设X是环R的非空子集，{I1，I2，...}是包含X的所有理 想，则称它们的交是由X生成的理想，记为(X)．
X中的元素称为 (X)的生成元素：
当X是有限集时，称(X)是有限生成理想。
由一个元素生成的理想(a)称为主理想。
定义：如果一个整环上的理想都是主理想，则称为主理想整环。
例：整数环Z是主理想整环。