在数学中，"suprema" 和 "supremum" 是相关的术语，分别表示某个集合的上确界（或上界中最小的元素）。具体来说，Supremum 是一个集合的上确界，是该集合所有上界中的最小值。Suprema 是 supremum 的复数形式，表示多个集合的上确界。它们在分析、优化等领域有广泛应用，帮助定义和计算函数的上界。
Supremum
Supremum 是一个集合的上确界，表示该集合的所有上界中最小的一个。对于给定的非空集合 ( S S S )（通常是实数集的子集），如果 ( u u u ) 满足以下两个条件：
- ( u u u ) 是 ( S ) ( S ) (S) 的上界：对于所有 ( x ∈ \in ∈ S )，都有 ( x ≤ \leq ≤ u )。
- ( u u u ) 是所有上界中最小的：对于任何上界 ( v v v )（即对于所有 ( x ∈ S x \in S x∈S )，都有 ( x ≤ v x \leq v x≤v )，都有 ( u ≤ v u \leq v u≤v )。
那么，( u u u ) 就被称为 ( S S S ) 的 上确界 或 supremum ，记作 ( sup S \sup S supS )。
Supremum 和 Supremum 的关系
- Suprema 是 supremum 的复数形式。即如果有多个集合 ( S 1 , S 2 , ... , S n S_1, S_2, \ldots, S_n S1,S2,...,Sn )，则它们的上确界分别是 ( sup S 1 , sup S 2 , ... , sup S n \sup S_1, \sup S_2, \ldots, \sup S_n supS1,supS2,...,supSn )。这些上确界的复数形式称为 suprema。
- Supremum 是单数形式，表示单个集合的上确界。
示例
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有限集合：
设 ( S = { 3 , 5 , 7 } S = \{3, 5, 7\} S={3,5,7} )。集合 ( S S S ) 的上界包括所有大于或等于7的数，例如8、9、10等等。上界中最小的数是7，因此 ( sup S = 7 \sup S = 7 supS=7 )。
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无限集合：
设 ( S = ( 0 , 1 ) S = (0, 1) S=(0,1) )，即所有介于0和1之间的实数。任何大于1的数都是 ( S S S ) 的上界，但最小上界是1，因此 ( sup S = 1 \sup S = 1 supS=1 )。
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无界集合：
设 ( S = { x ∈ R ∣ x < 1 } S = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 1\} S={x∈R∣x<1} )。对于这个集合，1是上界，但不是最大上界。任意大于1的数都可以是上界，但它们没有最小值，这种情况下我们可以认为 ( sup S = 1 \sup S = 1 supS=1 )。
Supremum 和 Maximum 的关系
- Maximum （最大值）：若 ( S S S ) 的最大元素 ( m m m ) 存在，则 ( m m m ) 是 ( S S S ) 中的一个元素，并且 ( x ≤ m x \leq m x≤m ) 对于所有 ( x ∈ S x \in S x∈S ) 成立。此时 ( sup S = max S = m \sup S = \max S = m supS=maxS=m )。
- Supremum（上确界）：若 ( S ) 没有最大元素，但存在上确界 ( u )，则 ( u ) 不一定是 ( S ) 的元素，但仍满足 ( x \leq u ) 对于所有 ( x \in S ) 成立。
常见符号
在数学中，supremum 通常用以下符号表示：
- ( sup S \sup S supS )
- ( sup x ∈ S f ( x ) \sup_{x \in S} f(x) supx∈Sf(x) ) （表示函数 ( f f f ) 在集合 ( S S S ) 上的上确界）