排序题目：有序数组的平方

文章目录

题目
- 标题和出处
- 难度
- 题目描述
- - 要求
  - 示例
  - 数据范围
  - 进阶
解法一
解法二

题目

标题和出处

标题：有序数组的平方

出处：977. 有序数组的平方

难度

2 级

题目描述

要求

给定按非递减顺序 排序的整数数组 nums \texttt{nums} nums，返回每个数字的平方组成的新数组，要求也按非递减顺序排序。

示例

示例 1：

输入： nums = $-4,-1,0,3,10$ \texttt{nums = $-4,-1,0,3,10$ } nums = $-4,-1,0,3,10$

输出： $0,1,9,16,100$ \texttt{ $0,1,9,16,100$ } $0,1,9,16,100$

解释：平方后，数组变为 $16,1,0,9,100$ \texttt{ $16,1,0,9,100$ } $16,1,0,9,100$ 。排序后，数组变为 $0,1,9,16,100$ \texttt{ $0,1,9,16,100$ } $0,1,9,16,100$ 。

示例 2：

输入： nums = $-7,-3,2,3,11$ \texttt{nums = $-7,-3,2,3,11$ } nums = $-7,-3,2,3,11$

输出： $4,9,9,49,121$ \texttt{ $4,9,9,49,121$ } $4,9,9,49,121$

数据范围

1 ≤ nums.length ≤ 10 4 \texttt{1} \le \texttt{nums.length} \le \texttt{10}^\texttt{4} 1≤nums.length≤104
-10 4 ≤ nums $i$ ≤ 10 4 \texttt{-10}^\texttt{4} \le \texttt{nums $i$ } \le \texttt{10}^\texttt{4} -104≤nums $i$ ≤104
nums \texttt{nums} nums 已按非递减顺序排序

进阶

计算每个元素的平方并对新数组排序的解法很简单，你可以使用不同的方法找到时间复杂度 O(n) \texttt{O(n)} O(n) 的解法吗？

解法一

思路和算法

最直观的解法是依次计算数组 nums \textit{nums} nums 中的每个元素的平方并存入新数组中，然后对新数组按非递减顺序排序，即可得到排序后的新数组。

代码

java 复制代码

class Solution {
    public int[] sortedSquares(int[] nums) {
        int length = nums.length;
        int[] squares = new int[length];
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            squares[i] = nums[i] * nums[i];
        }
        Arrays.sort(squares);
        return squares;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度： O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)，其中 n n n 是数组 nums \textit{nums} nums 的长度。计算数组 nums \textit{nums} nums 中的每个元素的平方并存入新数组需要 O ( n ) O(n) O(n) 的时间，对新数组排序需要 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn) 的时间，因此时间复杂度是 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)。
空间复杂度： O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn)，其中 n n n 是数组 nums \textit{nums} nums 的长度。对新数组排序需要 O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn) 的递归调用栈空间。注意返回值不计入空间复杂度。

解法二

思路和算法

解法一没有利用到数组 nums \textit{nums} nums 已经按非递减顺序排序的条件，因此需要对新数组排序，时间复杂度是 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)。如果利用数组 nums \textit{nums} nums 已经按非递减顺序排序的条件，则不需要对新数组排序，将时间复杂度降低到 O ( n ) O(n) O(n)。

由于一个数的平方大小与这个数的绝对值有关，因此考虑数组 nums \textit{nums} nums 中的绝对值最大元素与绝对值最小元素可能出现的位置。

数组 nums \textit{nums} nums 按非递减顺序排序，可能有以下三种情况：

数组 nums \textit{nums} nums 的所有元素都是非负数，元素顺序为绝对值非递减顺序，首个元素的绝对值最小，末尾元素的绝对值最大；
数组 nums \textit{nums} nums 的所有元素都是非正数，元素顺序为绝对值非递增顺序，首个元素的绝对值最大，末尾元素的绝对值最小；
数组 nums \textit{nums} nums 中既有正数也有负数，首个元素或末尾元素的绝对值最大。

对于上述三种情况中的任意一种情况，绝对值最大的元素一定是数组 nums \textit{nums} nums 的首个元素或末尾元素。因此可以从数组 nums \textit{nums} nums 的两端向中间遍历，按照绝对值从大到小的顺序依次遍历数组 nums \textit{nums} nums 的元素，计算每个元素的平方，反向填入新数组。

具体做法是，维护两个下标 index 1 \textit{index}_1 index1 和 index 2 \textit{index}_2 index2，初始时 index 1 \textit{index}_1 index1 指向数组 nums \textit{nums} nums 的首个元素， index 2 \textit{index}_2 index2 指向数组 nums \textit{nums} nums 的末尾元素。遍历过程中，比较 nums $index 1$ \textit{nums} $\\textit{index}_1$ nums $index1$ 和 nums $index 2$ \textit{nums} $\\textit{index}_2$ nums $index2$ 这两个元素的绝对值：

如果 nums $index 1$ \textit{nums} $\\textit{index}_1$ nums $index1$ 的绝对值大于 nums $index 2$ \textit{nums} $\\textit{index}_2$ nums $index2$ 的绝对值，则将 nums $index 1$ \textit{nums} $\\textit{index}_1$ nums $index1$ 的平方填入新数组，将 index 1 \textit{index}_1 index1 加 1 1 1；
如果 nums $index 1$ \textit{nums} $\\textit{index}_1$ nums $index1$ 的绝对值小于等于 nums $index 2$ \textit{nums} $\\textit{index}_2$ nums $index2$ 的绝对值，则将 nums $index 2$ \textit{nums} $\\textit{index}_2$ nums $index2$ 的平方填入新数组，将 index 2 \textit{index}_2 index2 减 1 1 1。

由于遍历数组 nums \textit{nums} nums 的过程中，每次遍历的元素都是尚未遍历的元素中的绝对值最大的元素，因此遍历元素的顺序是绝对值非递增顺序，即元素的平方非递增顺序。将遍历的元素的平方反向填入新数组，新数组中的元素顺序为非递减顺序。

代码

java 复制代码

class Solution {
    public int[] sortedSquares(int[] nums) {
        int length = nums.length;
        int[] squares = new int[length];
        int index1 = 0, index2 = length - 1;
        for (int i = length - 1; i >= 0; i--) {
            if (Math.abs(nums[index1]) > Math.abs(nums[index2])) {
                squares[i] = nums[index1] * nums[index1];
                index1++;
            } else {
                squares[i] = nums[index2] * nums[index2];
                index2--;
            }
        }
        return squares;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)，其中 n n n 是数组 nums \textit{nums} nums 的长度。需要遍历数组 nums \textit{nums} nums 中的每个元素一次。
空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)。注意返回值不计入空间复杂度。