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奇异值的计算通常涉及矩阵的奇异值分解 Singular Value Decomposition, SVD 。奇异值分解是将一个矩形矩阵 ( A ) 分解为三个矩阵的乘积:
[ A = U ΣV T]
其中:
- ( U ) 是一个 ( m ×m ) 的正交矩阵,它的列向量是 ( A A T ) 的特征向量。
- ( V ) 是一个 ( n ×n ) 的正交矩阵,它的列向量是 ( A T A ) 的特征向量。
- ( Σ*)* 是一个 ( m ×n ) 的对角矩阵,对角线上的非负数称为奇异值,其余位置上的元素都是零。
计算奇异值的步骤如下:
1. ** 计算 ( A T A ) 和 ( A A T ) : ** 对给定的矩阵 ( A ) 计算 ( A T A ) 和 ( A A T )。
2. ** 计算特征值: ** 分别计算 ( A T A ) 和 ( A A T ) 的特征值。
3. ** 计算奇异值: ** 奇异值是 ( A T A ) 或 ( A A T ) 的特征值的平方根。具体来说, ( A T A ) 的特征值 ( λ) 与 ( A ) 的奇异值 ( σ) 之间的关系是 ( σ= λ )。
4. ** 排序奇异值: ** 将计算得到的奇异值按照从大到小的顺序排列,这些值就是 ( Σ*)对角线上的元素。*
特征值和奇异值是两个不同的概念,它们之间的关系取决于矩阵的结构和大小。
对于一个方阵(即行数和列数相等的矩阵),其特征值和奇异值是有直接关系的。在这种情况下,方阵的特征值的平方确实等于奇异值的平方。这是因为方阵的奇异值分解与其特征值分解是等价的,奇异值就是特征值的绝对值。
但是,对于一个长方形矩阵(即行数和列数不相等的矩阵),情况就不同了。长方形矩阵没有特征值(因为它不是方阵,不能被对角化),但可以有奇异值。在这种情况下,奇异值是由矩阵的谱范数(即最大奇异值)和列空间、行空间的几何关系决定的,并不直接对应于特征值的平方。
总结来说:
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对于方阵,特征值的绝对值等于奇异值。
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对于长方形矩阵,没有特征值,但有奇异值,且奇异值的计算与特征值无关。
因此,不能简单地说特征值是奇异值的平方,这种关系只适用于方阵,并且是在特征值的绝对值和奇异值之间。对于非方阵,我们必须使用奇异值分解来计算奇异值。
在实际应用中,通常使用数值计算软件(如MATLAB、NumPy)提供的函数来计算奇异值,因为这些软件已经对奇异值分解算法进行了优化,能够高效且准确地计算奇异值。例如,在Python中,可以使用NumPy库的 `numpy.linalg.svd` 函数来计算矩阵的奇异值分解。