前面描述 卷积，本文由卷积引入拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换就是给傅里叶变换的 iωt 加了个实部，也可以反着理解，原函数乘以 e − β t e^{-\beta t} e−βt 再做傅里叶变换，本质上都是傅里叶变换的扩展。
加入实部的拉普拉斯变换在复平面展开，因此拉普拉斯变换除了有虚部的频率特性，还有实部的衰减特性。但不管怎么说，和傅里叶变换一样，它们均将时域分析转换为频域分析，这就是我经常采用的策略，横竖一颠倒，晴空万里。
看一个频域的运算特性，为什么时域的卷积运算可以转换为频域的乘法运算？看下图：
时域中，信号持续时间和信号生成时间是相对的，必须卷起来运算，而频域是个对称的空间维度，不同频率信号以及针对每个频率信号的处理全都 "摆在那里"，因此可通过精巧阵法一下子算出来(如上图矩阵只是一个说明，本质上还是复数的乘法)。
展示一张实操图：
以 g/G 往 f/F 涂颜料为例，上图的卷积操作需要一边卷紧纸一边在 f 曲线上色，这也体现了时间域的特征，而下图的乘积操作则是一个空间域并行操作，颜料涂在 G 半边的曲线，对折一次就能将 F 半边染色。
再看拉普拉斯变换对运算的实际简化效果。
设 u 为输入，g 为系统作用函数，时域上 u * g 的卷积获得输出 x，由上面的时域，频域转换分析获知，拉普拉斯变换将卷积化为了乘法，即 F*G，再经拉普拉斯逆变换就能获得 x(t) 的以下形式：
- 若特征根没有虚部，要么是 x ( t ) = e a t ± e b t ± e c t . . . x(t)=e^{at}\pm e^{bt}\pm e^{ct}... x(t)=eat±ebt±ect...，要么收敛，要么发散，无震荡；
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- 若有虚部，欧拉公式，要么是 x ( t ) = e a t ( sin ( b t ) . . . ) x(t)=e^{at}(\sin(bt)...) x(t)=eat(sin(bt)...)，a > 0，震荡发散，a < 0，震荡收敛，a = 0，持续震荡。
发散的都不稳定，收敛的都稳定，区别在于是否震荡。
无需太过于关注极点的物理意义，拉普拉斯变换作为工具就只当它为工具，至于物理意义，一百个物理场景就能有一百个物理意义。
将极点看作逆变换后 x(t) 收敛，发散，震荡特征的总结是高尚的，而不是反过来。从 x(t) 的表达式可明确归纳出 a，b，c 等系数和函数收敛，发散，震荡的关系，而 a，b，c 等系数恰恰就是逆变换前 G(s) 分母为 0 的特征方程解的组成，将这些解在复平面的位置称作 "极点"。
因此根据 x(t) 的收敛，发散，震荡特性与极点实部虚部一一对应关系，通过分析 G(s) 的极点位置就能直接获得系统特性，无需再进行逆变换：
- 有极点实部 > 0，发散不稳定，因为 e 的正次方总趋向无穷大；
- 所有极点实部 < 0，收敛稳定，收敛速度取决于绝对值；
- 极点虚部 ≠ 0，系统震荡，因为 x(t) 包含一个 sin/cos。
这就是拉普拉斯变换 G(s) 作为工具的意义，称 G 为传递函数。
浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。