1 背景
卷积和反卷积是深度学习中常用的运算，常见于CNN、GAN等模型。
2 卷积概念介绍
卷积是一种数学运算，记为f,g的卷积
连续的定义为
离散的定义为
从定义式中可发现卷积的要点：（1）卷积的入参为n；（2）2个函数遍历所有可能的入参，求乘积后求和；（3）在此过程中保证2个函数的入参之和为n。
单纯看计算公式不算复杂，但让人疑惑为什么设计成这种形式？下面我们举一些例子加深理解。
3 卷积实例
笔者收集了网络上各种关于卷积的例子，帮助读者理解。
3.1 抛骰子
来源：如何通俗易懂地解释卷积？ - 马同学的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/228543288
比如抛出2个骰子，记和
分别为两个骰子点数为x的概率。现在求出两枚骰子点数之和为4的概率，则此概率可以表示为卷积
从公式可以看出,g函数先对求了相反数，又增加了4，相当于g先做了翻转，变成654321，再做了平移，平移量就是n。
3.2 信号分析
来源：如何通俗易懂地解释卷积？ - palet的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/637156871
（一）基本设定
系统每一时刻都会接收到一个输入信号，这个信号会随着时间衰减，系统某时刻的输出是历史所有信号在当前时刻衰减后的叠加。可以想象到上一时刻的信号衰减是最小的，而很早之前时刻的信号已经衰减到0了。
对应到卷积中的概念如下表所示
|------|------------------------|
| 概念 | 含义 |
| f | 输入信号，随时间变化 |
| g | 响应函数，即信号的衰减速度 |
| 卷积结果 | 最终的输出是之前所有输入信号考虑衰减后的叠加 |
假设f和g是下图所示的函数。
（二）求解输出信号
假设横轴单位是秒，在第10秒，输出的信号由以下部分叠加：是第0秒信号衰减了10秒加上第1秒信号衰减了9秒
（三）先翻转再平移的解释
从上图可以看出，计算最终结果时传入f和g的参数之和为10，把对应关系连线之后是拧巴的，为了更好地展示，先将g做翻转，即转变为g(-t)
然后再平移，即往右平移10秒，转变成g(10-t)
这样上下对应相乘即可求出卷积。卷代表着翻转，积代表着最后对应位置求和。
3.3 复利
来源：如何通俗易懂地解释卷积？ - 果程C的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/50940942
假设小明往银行存入100元，年利率是5%，按复利计算，则之后第n年的金额会变为
假设小明每年都这么存，那么第5年小明的银行总存款为多少？
可将小明的总存款分解为6次存款得到的总资金。
|-------------|---------|--------------------------------------------|
| 存款序号 | 享受利息的年数 | 第5年总资金 |
| 初始存款（第0次存款） | 5年 | |
| 第1次存款 | 4年 | |
| 第2次存款 | 3年 | |
| 第3次存款 | 2年 | |
| 第4次存款 | 1年 | |
| 第5次存款 | 0年 | |
小明总资金为上表最后一列之和，记为第x年存入的本金（本例中恒等于100），记
为享受x年的利息，即
，则可表示为
3.4 Moba游戏
来源：如何通俗易懂地解释卷积？ - 周赛克的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/257790355
以英雄联盟游戏为例，诺手（其中一个英雄角色）对敌方英雄攻击有特殊的机制，这种机制机制叫"流血"，即接下来5秒内，敌方英雄每秒都会受到伤害。现在如果要求得第3秒敌方受到的伤害，即为第0秒、第1秒、第2秒、第3秒攻击在第3秒时造成的伤害之和。现实中我们不要轻易伤害其他人，因为每一次伤害都会在对方心里埋下种子，这种伤害会累加到以后的每时每刻。
3.5 图像处理
来源：如何通俗易懂地解释卷积？ - 马同学的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/228543288
关于卷积在图像中的计算，笔者在介绍CNN时已有讨论，不再赘述。详见《卷积神经网络CNN（一）基本概念、卷积》
本文中笔者拓展讨论以下2个问题。
3.5.1 图像卷积核与g的关系
在深度学习中，卷积核并不等同函数g，而是对g做了翻转和平移的结果，只有这样，卷积核才能直接与图像做点乘求和。
下面我们尝试理解卷积核与g的对应关系
假设原始图像f（像素为3*3）为
g为
现在对图像f求卷积后得到新的图像c，则的计算步骤如下图所示。注意到每一部分横纵坐标之和都为1，符合卷积运算的定义。
在图像卷积计算中，卷积核是直接与原始图像做点乘的，因此根据公式可以反推出卷积核。例如发现
是与
相乘的，那么应该将
放到第一个位置，卷积核表示如下
可以发现，卷积核相当于对g做了翻转180°操作。
在实际训练中，我们是直接训练卷积核的，对于g长什么样其实并不关心。
3.5.2 不同卷积核的效果
|---------------|----------------------------------------|
| 卷积核 | 效果 |
| 各元素平均 | 每个像素点都用周围像素点的平均值覆盖，可用作图像池化/模糊化/羽化，去除噪声 |
| 某种形状 | 高亮符合这个形状的区域，常用于特征识别 |
| 中间为较大的数，周围是-1 | 轮廓提取，因为这种卷积核相当于邻近像素相减，而边缘处的像素差较大 |
3.6 以上例子的归纳
（1）函数f表示一个输入，随时间变化
（2）输入对输出结果有持续的影响，这个影响用函数g表示
（3）最终的结果是若干历史时刻对当前时刻影响的线性叠加
|--------|------------|----------------------------------------------------------------------------------------|---------------------------|
| 例子 | f的含义 | g的含义 | 卷积的结果 |
| 抛骰子 | 第一个骰子点数概率 | 在此例子中似乎并不明显，可以这么理解：例如第1个骰子的点位是1，对于最终结果点位之和是2、3、4、5、6、7都有影响。第2个骰子的概率反映了第一个骰子多大程度影响了最终结果 | 第一个骰子点数叠加g的影响后得到点数之和为4的概率 |
| 信号 | 输入信号，随时间变化 | 响应函数，影响了信号的衰减 | 最终的输出是之前所有输入信号考虑衰减后的叠加 |
| 复利 | 历年的存款 | 历年存款对当前金额的影响，即复利计算 | 历年存款复利到当前金额之和 |
| Moba游戏 | 攻击的伤害 | 攻击会分5秒给对手造成伤害 | 之前所有的攻击在此时造成的伤害之和 |
| 图像处理 | 原始图像 | 卷积核，可理解为原始图像每个像素对最终图像的影响 | 卷积后的结果，所有相关像素经过卷积叠加后的图像 |
https://www.zhihu.com/question/22298352