题目
对于后验PDF
画出
和
时的PDF。然后，对于同样的
值,求 MMSE和 MAP 的估计量。
解答
根据题目条件，通过Matlab，画出两个函数的概率密度函数图像，其中的x设定为2.
clc, clear, close all;
x=2;
e=0.5;
theat=-10:0.01:10;
p_theat=e/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*(theat-x).^2)+(1-e)/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*(theat+x).^2);
figure(1)
plot(theat,p_theat)
hold on
xline(x);
xline(-x)
hold off
e=0.75;
p_theat=e/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*(theat-x).^2)+(1-e)/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*(theat+x).^2);
figure(2)
plot(theat,p_theat)
hold on
xline(x);
xline(-x)
hold off
时，做出图案：
此时可以发现，
是个偶函数，因此：
也就是此时的
的MMSE估计量为0。
而对
的观察可知，该函数存在两个极值点，所以
的MMSE估计量不唯一：
当
时
计算MMSE：
上式的积分，分别是
和
的数学期望，因此可以得到：
因此：当时
此时代入
也验证了上半题目的结论。
而观察图像的特性，可以发现该函数存在一个极值点，也就是
的MAP估计量为：
经过这个例子分析，可以发现，MAP估计量不一定等于MMSE估计量。
书上举得联合分布是高斯，先验也是高斯情况下两者相等，只是特例。