一、前言
二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但如果数据有序或者接近有序，二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下 。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson - Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的办法：当向二叉搜索树中插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的节点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
二、概念
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1（-1/0/1）
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个节点，其高度可保持在O(logN)，搜索时间复杂度为O(logN)。
三、节点的定义
AVL树节点的定义：
cpp
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left; // 该节点的左孩子
AVLTreeNode<K, V>* _right; // 该节点的右孩子
AVLTreeNode<K, V>* _parent; // 该节点的父节点
pair<K, V> _kv;
int _bf; // balance factor，平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _bf(0)
{}
};四、插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。插入的过程分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
cpp
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
// 1.先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 2.调整节点的平衡因子
while (parent)
{
// 更新双亲的平衡因子
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
// 更新后检测双亲的平衡因子
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因子为-1或1，说明以双亲为根的二叉树的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
// 双亲的平衡因子为-2或2，违反了AVL树的平衡性，需要对以parent为根的树进行旋转处理
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent); // 左旋
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent); // 右旋
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent); // 先右旋再左旋
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent); // 先左旋再右旋
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}五、旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
5.1 新节点插入较高左子树的左侧------左左：右单旋
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
- 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
- 60可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点;
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
cpp
// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (_root == parent)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentParent->_left == parent)
{
parentParent->_left = subL;
}
else
{
parentParent->_right = subL;
}
subL->_parent = parentParent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}5.2 新节点插入较高右子树的右侧------右右：左单旋
cpp
// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
subR->_left = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
if (_root == parent)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentParent->_left == parent)
{
parentParent->_left = subR;
}
else
{
parentParent->_right = subR;
}
subR->_parent = parentParent;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}5.3 新节点插入较高右子树的左侧------右左：先右单旋再左单旋
cpp
// 先右单旋再左单旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
// subRL自己就是新增
parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
// subRL的左子树新增
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
// subRL的右子树新增
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}5.4 新节点插入较高左子树的右侧------左右：先左单旋再右单旋
参考右左单旋。
六、性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(logN)。