【信号频率估计】MVDR算法及MATLAB仿真

一、MVDR算法
- [1.1 简介](#1.1 简介)
- [1.2 原理](#1.2 原理)
- [1.3 特点](#1.3 特点)
- - [1.3.1 优点](#1.3.1 优点)
  - [1.3.2 缺点](#1.3.2 缺点)
二、算法应用实例
- [2.1 信号的频率估计](#2.1 信号的频率估计)
- [2.2 MATLAB仿真代码](#2.2 MATLAB仿真代码)
三、参考文献

一、MVDR算法

1.1 简介

最小方差无失真响应（Mininum Variance Distortionless Response，MVDR）算法最早是J. Capon于1969年提出，用于多维地震阵列传感器的频率-波数分析。随后，Lacoss在1971年将其引入到一维时间序列的分析中。

MVDR算法由于是Capon提出的，所以也将其称为Capon算法。

1.2 原理

根据数字波束形成的原理，得到输入信号 x ( n ) x(n) x(n) 经空域滤波后的输出为：
y ( n ) = w H x ( n ) = w H a ( θ ) s ( n ) （ 1 − 1 ） y(n)=w^{H}x(n)=w^{H}a(θ)s(n) （1-1） y(n)=wHx(n)=wHa(θ)s(n)（1−1）

其中，输入信号 x ( n ) x(n) x(n) 为期望、干扰、噪声三种信号的耦合； a ( θ ) a(θ) a(θ) 为导向矢量。

当一个远场窄带信号 s ( n ) s(n) s(n) 入射到 M 个阵元的均匀线阵时，阵列输出信号的平均功率为：
P ( θ ) = E [ ∣ y ( n ) ∣ 2 ] = E [ w H x ( n ) x H ( n ) w ] = w H R w （ 1 − 2 ） P(θ)=E[|y(n)|^2]=E[w^{H}x(n)x^{H}(n)w]=w^{H}Rw （1-2） P(θ)=E[∣y(n)∣2]=E[wHx(n)xH(n)w]=wHRw（1−2）

式(1-2)中 R = E [ x ( n ) x H ( n ) ] R=E[x(n)x^{H}(n)] R=E[x(n)xH(n)] 为接收信号 x ( n ) x(n) x(n) 的空间相关矩阵。

假设期望信号从 θ 0 θ_{0} θ0 方向入射，阵列接收信号为 x 0 ( n ) = a ( θ 0 ) s ( n ) x_{0}(n)=a(θ_{0})s(n) x0(n)=a(θ0)s(n) ，为了使 x 0 ( n ) x_{0}(n) x0(n) 通过空域滤波器后无失真，权矢量 w w w 需满足：
w H a ( θ 0 ) = 1 （ 1 − 3 ） w^{H}a(θ_{0})=1 （1-3） wHa(θ0)=1（1−3）

选择的加权矢量 w w w 满足式(1-3)就可以实现对干扰信号以及噪声的抑制，从而使输出信号的平均功率 P ( θ ) P(θ) P(θ) 最小。由此可以建立目标优化方程为：

采用拉格朗日乘数法对式(1-4)构造代价函数为：
J ( w ) = w H R w + λ ( w H a ( θ 0 ) − 1 ) （ 1 − 5 ） J(w)=w^{H}Rw+λ(w^{H}a(θ_{0})-1) （1-5） J(w)=wHRw+λ(wHa(θ0)−1)（1−5）

对式(1-5)关于 w w w 求梯度，并令其为零，得到：
▽ J ( w ) = 2 R w − 2 λ a ( θ 0 ) = 0 （ 1 − 6 ） ▽J(w)=2Rw-2λa(θ_{0})=0 （1-6） ▽J(w)=2Rw−2λa(θ0)=0（1−6）

解得： w = λ R − 1 a ( θ 0 ) w=λR^{-1}a(θ_{0}) w=λR−1a(θ0) ，将结果代入式(1-3)可得：
λ = 1 a H ( θ 0 ) R − 1 a ( θ 0 ) （ 1 − 7 ） λ=\frac{1}{a^{H}(θ_{0})R^{-1}a(θ_{0})} （1-7） λ=aH(θ0)R−1a(θ0)1（1−7）

将式(1-7)代入求得的权矢量结果中，可得到 MVDR 波束形成器的最优权向量为：
w o p t = R − 1 a ( θ 0 ) a H ( θ 0 ) R − 1 a ( θ 0 ) （ 1 − 8 ） w_{opt}=\frac{R^{-1}a(θ_{0})}{a^{H}(θ_{0})R^{-1}a(θ_{0})} （1-8） wopt=aH(θ0)R−1a(θ0)R−1a(θ0)（1−8）

以上就是 MVDR 波束形成求权值的完整过程。当阵列的阵元个数为 M M M 时，阵列的自由度为 M − 1 M-1 M−1，所以 MVDR 波束形成器要求干扰源个数必须小于或等于 M − 1 M-1 M−1。

在实际情况中，阵列的接收数据协方差矩阵只能在有限次快拍的情况下，用时间平均对采样数据进行估计得到，即：
R ˆ = 1 N ∑ n = 1 N x ( n ) x H ( n ) （ 1 − 9 ） R^{ˆ}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x(n)x^{H}(n) （1-9） Rˆ=N1n=1∑Nx(n)xH(n)（1−9）

其中， N N N 是采样快拍数， N N N 值越大，估计矩阵 R ˆ R^{ˆ} Rˆ 更接近理想的相关矩阵 R R R。

1.3 特点

1.3.1 优点

（1）高分辨率：MVDR算法能够有效地分辨出多个声源的方向，具有较高的分辨率。这使得它在处理复杂声学环境时能够提供更准确的声源定位信息。

（2）鲁棒性强：MVDR算法对噪声和混响信号具有较强的鲁棒性。在存在噪声和混响的环境中，该算法能够较好地保持对声源方向的估计能力，提高系统的稳定性和可靠性。

（3）计算量相对较小：相较于一些更复杂的算法，MVDR算法的计算量相对较小，这使得它在实时性要求较高的应用场景中具有一定的优势。

（4）干扰抑制能力强：MVDR算法通过最小化其他方向的信号功率，能够有效地抑制多径干扰和噪声，提高信号的质量。这在无线通信、声纳和雷达等领域尤为重要。

1.3.2 缺点

（1）远场假设限制：MVDR算法假设声源位于远场，即声源与麦克风阵列之间的距离远大于阵列的尺寸。这一假设限制了算法在近场声源定位中的应用，因为对于近场声源，算法的定位精度会显著下降。

（2）对导向矢量误差敏感：MVDR算法的性能在很大程度上依赖于导向矢量的准确性。如果导向矢量存在误差，将会对算法的估计结果产生较大影响，降低定位精度。

（3）阵列尺寸限制：MVDR算法的性能与阵列尺寸有关。一般来说，阵列尺寸越大，算法的性能越好。然而，在实际应用中，受到成本和空间等因素的限制，阵列尺寸往往无法做到足够大，这可能会限制算法的性能。

（4）计算复杂度较高：尽管相对于一些更复杂的算法而言，MVDR算法的计算量较小，但在实时性要求极高的应用场景中，其计算复杂度仍然可能成为一个挑战。此外，为了获得更好的性能，可能需要对算法进行进一步的优化和加速。

二、算法应用实例

2.1 信号的频率估计

仿真1：对目标信号的到达角进行估计

设一维均匀线阵的阵元数目为8，其间距为半波长，有3个目标信号的到达角分别为-30°，0°，20°，利用MVDR算法对该目标信号进行到达角估计，计算结果如下图所示。

读者可根据自己的需求，设置阵元数、目标信号个数及目标真实角度、信号的信噪比等条件进行实验。

2.2 MATLAB仿真代码

matlab 复制代码

clc;
clear;
close all;

%% MVDR算法估计到达角
d_lambda = 0.5;         % 阵元间距与波长比
Rx_Num = 8;             % 接收天线阵元数

N = 1000;               % 采样快拍数
sigNum = 3;             % 信源数目
theta0 = [-30,0,20];     % 真实来波角度
snr = 10;               % 信噪比

S = randn(sigNum,N)+1j*randn(sigNum,N);     % 远场窄带信号
A = exp(1j*2*pi*d_lambda*sind(theta0).'*(0:Rx_Num-1)).';     % 导向矢量
X = A*S;                            % 接收信号
Y = awgn(X,snr,'measured');         % 添加噪声的接收信号

R = Y*Y'/N;         % 接收数据的协方差矩阵
R_ = inv(R);        % 协方差矩阵的逆矩阵

thetaScan = (-90:0.1:90);       % 扫描角度范围
As = exp(1j*2*pi*d_lambda*sind(thetaScan).'*(0:Rx_Num-1)).';

num = 0;
P = zeros(1,length(thetaScan));     % 谱峰函数初始化
for ii = thetaScan
    num = num+1;
    P(num) = 1/(As(:,num)'*R_*As(:,num));
end
P = 10*log10(abs(P)/max(abs(P)));   % 对谱峰函数进行归一化并取对数
figure;
plot(thetaScan,P,'b','LineWidth',1);xlabel('扫描角范围');ylabel('归一化幅度/dB');hold on
ylim = get(gca,'Ylim');
for jj = 1:sigNum
    % 画出真实波达角的值进行对比
    line([theta0(jj) theta0(jj)],[ylim(1) ylim(2)],'Color','r','LineStyle','--');
    hold on;
end
legend('MVDR估计值','真实值');

三、参考文献

[1] Capon J. High-resolution frequency-wavenumber spectrum analysis[J]. Proc. IEEE, 1969, 57(8): 1408-1418.

[2] Lacoss R T. Data adaptive spectral analysis methods[J]. Geophysics, 1971, 36(8): 661-675.

[3] 胡君丽.数字阵列接收同时多波束技术研究[D].电子科技大学,2019.