前缀和与差分

前缀和

定义：前缀和可以简单理解为「数列的前 n 项的和」，是一种重要的预处理方式，能大大降低查询的时间复杂度。

一维前缀和

模板

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for (int i = 1; i <= n; i++) 
        sum[i] = sum[i - 1] + a[i];

时间复杂度：O(n)

原理

数组sum用于储存前 i 个元素的和，数组a为原数组

sum $0$ = a $0$ = 0

sum $1$ = a $1$

sum $2$ = sum $1$ + a $2$ = a $1$ + a $2$

sum $3$ = sum $2$ + a $3$ = a $1$ + a $2$ + a $3$

sum $n$ = sum $n - 1$ + a $n$ = a $1$ + ..... + a $n$

由此我们可以得出：sum $i$ = sum $i - 1$ + a $i$ 这一递推公式

模板题：一维前缀和

二维前缀和

模板

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for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = 1;j <= m;j++)
            sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];

时间复杂度：O(n * m)

原理

如图所示，黑色边框为a $1$ $1$ 到a $i$ $j$ 之间所有元素的和(sum $i$ $j$ )，蓝色边框为a $1$ $1$ 到a $i - 1$ $j$ 之间所有元素的和(sum $i - 1$ $j$ )，橙色边框为a $1$ $1$ 到a $i$ $j - 1$ 之间所有元素的和(sum $i$ $j - 1$ )。

观察图的面积关系，我们可以得到这一递推关系：
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sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i]
这一递推关系即为二维前缀和的递推公式。

模板题：二维前缀和

与前缀和有关的题目

简单的D题

Codeforces Round 961 (Div. 2) B1. Bouquet (Easy Version)

差分

类似于数学中的求导和积分，差分可以看成前缀和的逆运算。

一维差分

模板

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void insert(int l, int r, int y)
{
    s[l] = s[l] + y;
    s[r + 1] = s[r + 1] - y;
}

原理

一维差分数组其实就是原数组中该位置的元素减去上一位置的元素

如代码所示：

数组s为差分数组，数组a为原数组。
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void insert(int l, int r, int y)
{
   s[l] = s[l] + y;
   s[r + 1] = s[r + 1] - y;
}

for (int i = 1;i <= n;i++)
     insert(i, i, a[i]);
在对数组a的遍历之时，差分数组s在 i 的位置加上原数组a在 i 位置的值，在 i + 1 位置减去原数组a在 i 位置的值，同理在 i - 1 位置时，s在 i - 1 的位置也减去了原数组在 i - 1 位置的值，因此 s $i$ = a $i$ - a $i - 1$ 。

模板题：一维差分

二维差分

模板

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void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int y)
{
    s[x1][y1] = s[x1][y1] + y;
    s[x2 + 1][y1] = s[x2 + 1][y1] - y;
    s[x1][y2 + 1] = s[x1][y2 + 1] - y;
    s[x2 + 1][y2 + 1] = s[x2 + 1][y2 + 1] + y;
}

原理

二维差分可以类似于一维差分进行理解

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void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int y)
{
   s[x1][y1] = s[x1][y1] + y;   
   s[x2 + 1][y1] = s[x2 + 1][y1] - y;   
   s[x1][y2 + 1] = s[x1][y2 + 1] - y;
   s[x2 + 1][y2 + 1] = s[x2 + 1][y2 + 1] + y;
}
 
for (int i = 1;i <= n;i++)
   for (int j = 1;j <= m;j++)
         insert(i, j, i, j, q[i][j]);

s $x1$ $y1$ +=c ; 让整个s数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。

s $x1,$ $y2+1$ -=c ; 让整个s数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。

s $x2+1$ $y1$ - =c ; 让整个s数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。

s $x2+1$ $y2+1$ +=c; 让整个s数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。

模板题：二维差分

与差分有关的题目

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