前缀和与差分
前缀和
定义：前缀和可以简单理解为「数列的前 n 项的和」，是一种重要的预处理方式，能大大降低查询的时间复杂度。
一维前缀和
模板
for (int i = 1; i <= n; i++)
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
时间复杂度：O(n)
原理
数组sum用于储存前 i 个元素的和， 数组a为原数组
sum[0] = a[0] = 0
sum[1] = a[1]
sum[2] = sum[1] + a[2] = a[1] + a[2]
sum[3] = sum[2] + a[3] = a[1] + a[2] + a[3]
sum[n] = sum[n - 1] + a[n] = a[1] + ..... + a[n]
由此我们可以得出：sum[i] = sum[i - 1] + a[i] 这一递推公式
模板题：一维前缀和
二维前缀和
模板
for (int i = 1;i <= n;i++)
for (int j = 1;j <= m;j++)
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];
时间复杂度：O(n * m)
原理
如图所示，黑色边框为a[1][1]到a[i][j]之间所有元素的和(sum[i][j])，蓝色边框为a[1][1]到a[i - 1][j]之间所有元素的和(sum[i - 1][j])，橙色边框为a[1][1]到a[i][j - 1]之间所有元素的和(sum[i][j - 1])。
观察图的面积关系，我们可以得到这一递推关系：
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i]这一递推关系即为二维前缀和的递推公式。
模板题：二维前缀和
与前缀和有关的题目
Codeforces Round 961 (Div. 2) B1. Bouquet (Easy Version)
差分
类似于数学中的求导和积分，差分可以看成前缀和的逆运算。
一维差分
模板
void insert(int l, int r, int y)
{
s[l] = s[l] + y;
s[r + 1] = s[r + 1] - y;
}
原理
一维差分数组其实就是原数组中该位置的元素减去上一位置的元素
如代码所示：
数组s为差分数组，数组a为原数组。
void insert(int l, int r, int y) { s[l] = s[l] + y; s[r + 1] = s[r + 1] - y; } for (int i = 1;i <= n;i++) insert(i, i, a[i]);在对数组a的遍历之时，差分数组s在 i 的位置加上原数组a在 i 位置的值，在 i + 1 位置减去原数组a在 i 位置的值，同理在 i - 1 位置时，s在 i - 1 的位置也减去了原数组在 i - 1 位置的值， 因此 s[i] = a[i] - a[i - 1]。
模板题：一维差分
二维差分
模板
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int y)
{
s[x1][y1] = s[x1][y1] + y;
s[x2 + 1][y1] = s[x2 + 1][y1] - y;
s[x1][y2 + 1] = s[x1][y2 + 1] - y;
s[x2 + 1][y2 + 1] = s[x2 + 1][y2 + 1] + y;
}
原理
二维差分可以类似于一维差分进行理解
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int y) { s[x1][y1] = s[x1][y1] + y; s[x2 + 1][y1] = s[x2 + 1][y1] - y; s[x1][y2 + 1] = s[x1][y2 + 1] - y; s[x2 + 1][y2 + 1] = s[x2 + 1][y2 + 1] + y; } for (int i = 1;i <= n;i++) for (int j = 1;j <= m;j++) insert(i, j, i, j, q[i][j]);
s[x1][ y1 ] +=c ; 让整个s数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。
s[x1,][y2+1]-=c ; 让整个s数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
s[x2+1][y1]- =c ; 让整个s数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
s[x2+1][y2+1]+=c; 让整个s数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。
模板题：二维差分