碎碎念：加油
参考：代码随想录
回溯算法理论基础
回溯和递归是相辅相成的，只要有递归，就会有回溯。回溯通常在递归函数的下面。
回溯搜索到法的效率： 它其实是纯暴力的做法，不是一个高效的算法。
回溯法能解决的问题： 组合问题（不强调元素的顺序）、切割问题、子集问题、排列问题（强调元素的顺序）、棋盘问题（N皇后）
如何理解回溯法： 所有回溯法都可以抽象为一个树行结构。一般来说树的宽度是回溯法中处理的集合的大小，树的深度就是递归的深度。
回溯法的模板：
cpp
void backtracking(参数){
if (终止条件) {
收集结果;
return;
}
for (遍历集合的每一个元素){
处理节点;
递归函数;
回溯操作; // 撤销处理节点
}
return;
}77. 组合
题目链接
思想
看到这题我们自然而然想到暴力做法，如果k是2，那么就用两层for循环，但是k稍微大点，这么做就显然做不出来了，时间复杂度太大了。
回溯法是通过递归来控制有多少层for的。
上面提到过，回溯法做题可以抽象出一个树形图，本题抽象出来的树形图如图。
叶子节点就是我们要求的所有组合。通过维护一个参数startindex来控制搜索的起始位置。
定义一个一维数组path，定义一个二维数组result
回溯三部曲：
- 递归函数的参数和返回值：一般返回值都是void，参数n，k，startindex
- 终止条件：path的大小等于k，就要收割结果。
- 单层搜索的逻辑：从startindex开始遍历后面的元素，用path收集路径上的元素，递归下一层，回溯（把之前收集到的一个元素pop出去）。
剪枝：
优化上面单层搜索的逻辑：
其实图里每个节点都是for循环。那么我们要做的优化就在于for循环里i的范围。
path存放着已经选取到的元素，还剩k-path.size()需要选取，这些元素至多要从n-(k-path.size())+1的位置开始。
[x, n]的数组长度起码应该是k-path.size()，这才有继续搜索的必要， 有 n-x+1 = k-path.size() ，得 x = n+1 - (k-path.size()), 而且这个x是可以作为起点往下搜的，也就是for(i = s; i<=x; i++) 这里的x是可以取到的。
体现在代码里，修改为i <= n-(k-path.size())+1即可。
题解
cpp
// cpp
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
if (path.size() == k) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
path.push_back(i);
backtracking(n, k, i + 1);
path.pop_back();
}
}
public:
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
backtracking(n, k, 1);
return result;
}
};
python
# python 剪枝优化
class Solution:
def __init__(self):
self.result = []
self.path = []
def backtracking(self, n, k, startIndex):
if len(self.path) == k:
self.result.append(self.path[:])
return
for i in range(startIndex, n - (k - len(self.path)) + 2):
self.path.append(i)
self.backtracking(n, k, i + 1)
self.path.pop()
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
self.backtracking(n, k, 1)
return self.result反思
注意组合是无序的，组合中的元素只能使用一次。
216.组合总和III
题目链接
思想
和上一题的区别在于多了一个关于和的限制。
注意本题不强调元素的顺序，比如126和216是同一个组合。
树形结构：
定义一个一维数组path，定义一个二维数组result
回溯三部曲：
- 参数和返回值：返回值为void，参数targetSum，k，sum，startIndex。
- 终止条件：path的size==k，判断sum和targetSum是否相等，相等就把path加入result，否则直接返回。
- 单层递归逻辑：从startIndex开始遍历，取数加入path，计算sum，下一层递归（startIndex传入i+1），pop出刚加入的数，修改sum。
剪枝优化：
如果sum>targetSum，直接返回；
在for循环那里也可以做剪枝，体现在代码里，修改为i <= 9-(k-path.size())+1即可。
题解
cpp
// cpp
class Solution {
private:
vector<int> path;
vector<vector<int>> result;
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) {
if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i <= 9; i ++) {
sum += i;
path.push_back(i);
backtracking(targetSum, k, sum, i + 1);
sum -= i;
path.pop_back();
}
}
public:
vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
result.clear();
path.clear();
backtracking(n, k, 0, 1);
return result;
}
};
python
# python 剪枝优化
class Solution:
def __init__(self):
self.path = []
self.result = []
def backtracking(self, targetSum, k, currentSum, startIndex):
if currentSum > targetSum: # 剪枝
return
if len(self.path) == k:
if currentSum == targetSum:
self.result.append(self.path[:])
return
for i in range(startIndex, 9 - (k - len(self.path)) + 2):
currentSum += i
self.path.append(i)
self.backtracking(targetSum, k,currentSum, i + 1)
currentSum -= i
self.path.pop()
def combinationSum3(self, k: int, n: int) -> List[List[int]]:
self.backtracking(n, k, 0, 1)
return self.result反思
注意组合是无序的，组合中的元素只能使用一次。
17.电话号码的字母组合
题目链接
思想
树形图如图：
回溯三部曲：
- 参数和返回值：返回值是void，参数是digits，index（当前遍历到哪个数字了）
- 终止条件：index==digits.size() 收获结果
- 单层递归逻辑：用index取数字，用数字找字符串，接下来遍历得到的字符串，把字母放入s，调用递归函数（index+1），再把s取出来（回溯）。
回溯过程也可以隐藏在参数里。
题解
cpp
class Solution {
private:
const string letterMap[10] = {
"", // 0
"", // 1
"abc", // 2
"def", // 3
"ghi", // 4
"jkl", // 5
"mno", // 6
"pqrs", // 7
"tuv", // 8
"wxyz", // 9
};
public:
vector<string> result;
string s;
void backtracking(const string& digits, int index) {
if (index == digits.size()) {
result.push_back(s);
return;
}
string letters = letterMap[digits[index] - '0'];
for (int i = 0; i < letters.size(); i ++) {
s.push_back(letters[i]);
backtracking(digits, index + 1);
s.pop_back();
}
}
vector<string> letterCombinations(string digits) {
if (digits.size() == 0) return result;
backtracking(digits, 0);
return result;
}
};
python
class Solution:
def __init__(self):
self.letterMap = [
"", # 0
"", # 1
"abc", # 2
"def", # 3
"ghi", # 4
"jkl", # 5
"mno", # 6
"pqrs", # 7
"tuv", # 8
"wxyz" # 9
]
self.result = []
self.s = ""
def backtracking(self, digits, index):
if index == len(digits):
self.result.append(self.s)
return
letters = self.letterMap[int(digits[index])]
for i in range(len(letters)):
self.s += letters[i]
self.backtracking(digits, index + 1)
self.s = self.s[:-1]
def letterCombinations(self, digits: str) -> List[str]:
if len(digits) == 0:
return self.result
self.backtracking(digits, 0)
return self.result
反思
前两题都是在一个集合里来求组合，所以需要用到startIndex，本题是在不同的集合里，不需要用参数来控制之前遍历的元素。