【算法】斐波那契查找（黄金分割查找）

原理

斐波那契查找的原理与二分查找、插值查找相似，仅仅是改变了中间节点（mid）的位置，mid 不再是中间或插值得到的，而是位于黄金分割点的附近 ，即 mid = low + F(k-1)-1（F代表斐波那契数列）

对 F(k-1)-1 的理解

1.由斐波那契数列 F[k] = F[k-1] + F[k-2] 的性质，可以得到 (F[k]-1) = (F[k-1]-1) + (F[k-2]-1) + 1 . 由此说明，只要顺序表的长度为 F[k]-1，则可以将该表分成长度为 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的两段，从而中间位置为mid = low + F[k-1]-1

2.类似的，每一子段也可以用相同的方式分割

3.但顺序表长度n 不一定刚好等于 F[k]-1 ，所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k]-1 。这里的 k 值只要能使得F[k]-1 恰好大于或等于 n 即可，由以下代码得到，顺序表长度增加后，新增的位置（从 n+1 到 F[k]-1 位置），都赋为 n 位置的值即可。

java 复制代码

while(n > fib(k) - 1)
    k++;

java 复制代码

public class FibonacciSearch {

    public static int maxSize = 20;
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 2, 11, 1000, 1024};
        int findVal = 1024;
        int index = fibSearch(arr, findVal);
        System.out.printf("%d的下标索引为%d\n\n", findVal, index);
    }

    //因为后面使用 mid = low + F[k-1] - 1，因此我们先获取到一个斐波那契数列
    public static int[] fib() {
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        }
        return f;
    }

    //编写斐波那契查找算法
    //使用非递归的方式编写算法
    /**
     *
     * @param a  数组
     * @param key  我们需要查找的值
     * @return  返回对应的下标，如果没有返回 -1
     */
    public static int fibSearch(int[] a, int key) {
        int low = 0;
        int high = a.length - 1;
        int k = 0;  //表示斐波那契分割数值的下标
        int mid;
        int[] f = fib();  //获取到斐波那契数列
        //获取到斐波那契分割数值的下标
        while (f[k] - 1 <= high) {
            k++;
        }
        //因为 f[k] 值可能大于 a 的长度，因此我们需要使用 Arrays 类，构造一个新的数组，并指向 a[]
        //不足的部分会使用 0 填充
        int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
        //实际上需求使用 a 数组最后的值填充 temp;
        /*
        举例
        temp = {1, 2, 11, 1000, 1024, 0, 0, 0} ==> {1, 2, 11, 1000, 1024, 1024, 1024, 1024}
         */
        for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
            temp[i] = a[high];
        }

        //使用 while 来循环处理，找到我们的数 key
        while (low <= high) {  //只要满足这个条件就可以查找
            mid = low + f[k - 1] - 1;
            if (key < temp[mid]) {  //向左边查找
                high = mid - 1;
                //为什么是 k--
                /*
                说明
                1.全部元素 = 前面的元素 + 后面的元素
                2.f[k] = f[k - 1] + f[k - 2]
                3.因为前面有 f[k-1] 个元素 ，所以可以继续拆分 f[k - 1] = f[k - 2] + f[k - 3]
                4.即在 f[k - 1] 的前面继续查找， k--
                5.即下次循环 mid = f[k - 1 - 1] - 1
                 */
                k--;
            } else if (key > temp[mid]) {
                low = mid + 1;
                //为什么是 k -= 2
                /*
                说明
                1.全部元素 = 前面的元素 + 后面的元素
                2.f[k] = f[k - 1] + f[k - 2]
                3.因为后面有 f[k-2] 个元素 ，所以可以继续拆分 f[k - 2] = f[k - 3] + f[k - 4]
                4.即在 f[k - 2] 的前面继续查找， k -= 2
                5.即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
                 */
                k -= 2;
            } else {  //找到
                //需要确定返回的是哪个下标
                if (mid <= high) {
                    return mid;
                } else {
                    return high;
                }
            }
        }
        return  -1;
    }
}