考研数一|极限的计算(笔记)

极限的概念

无限接近但是不等于

函数的极限

1. 在 x = x 0 x=x_{0} x=x0的极限

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_{0} x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 A A A，对于 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0，总 ∃ δ > 0 \exists\delta>0 ∃δ>0。当 x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + δ ) x\in(x_{0}-\delta ,x_{0})\cup(x_{0},x_{0}+\delta) x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)时，有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε，则称 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_{0} x0处的极限值为 A A A，记作 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim_{ x \to x_{0} }f(x) = A limx→x0f(x)=A.

邻域： x 0 x_{0} x0的邻域就是它的父集，包含 x 0 x_{0} x0这个点

去心邻域，就是不要 x 0 x_{0} x0这个点

ε \varepsilon ε是大于0的数，可以任意大，也可以任意小
∣ f ( x ) − A ∣ |f(x)-A| ∣f(x)−A∣表示 f ( x ) f(x) f(x)和 A A A的距离，比任意的 ε \varepsilon ε要小，就说明这个距离已经无限接近

当 x x x无限接近但不等于 x 0 x_{0} x0时， f ( 0 ) f(0) f(0)无限接近与 A A A

2. 左极限和右极限

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_{0} x0的某一左邻域内有定义，如果存在常数 A A A，对于 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0，总 ∃ δ > 0 \exists\delta>0 ∃δ>0。当 x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) x\in(x_{0}-\delta ,x_{0}) x∈(x0−δ,x0)时，有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε，则称 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_{0} x0处的左极限为 A A A，记作 lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = A \lim_{ x \to x_{0}^{-} }f(x) = A limx→x0−f(x)=A或 f ( x 0 − ) = A f(x_{0}^{-})=A f(x0−)=A，或 f ( x 0 − 0 ) = A f(x_{0}-0)=A f(x0−0)=A

类似地，可以定义右极限，记作 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = A \lim_{ x \to x_{0}^{+} }f(x) = A limx→x0+f(x)=A或 f ( x 0 + ) = A f(x_{0}^{+})=A f(x0+)=A，或 f ( x 0 + 0 ) = A f(x_{0}+0)=A f(x0+0)=A

左极限和右极限统称为单侧极限

3. 在 x → ∞ x\to\infty x→∞时的极限

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在 ( − ∞ , − X ) ∪ ( X , + ∞ ) (-\infty,-X)\cup(X,+\infty) (−∞,−X)∪(X,+∞)上有定义，如果存在常数 A A A，对于 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0，总 ∃ M > 0 \exists M>0 ∃M>0。当 ∣ x ∣ > M |x|>M ∣x∣>M时，有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε，则称当 x → ∞ x\to \infty x→∞时 f ( x ) f(x) f(x)的极限值为 A A A，记作 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A \lim_{ x \to \infty }f(x) = A limx→∞f(x)=A.

类似地，可以定义当 x → − ∞ x \to -\infty x→−∞时 f ( x ) f(x) f(x)的极限 lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) \lim_{ x \to -\infty }f(x) limx→−∞f(x)，以及当 x → + ∞ x \to +\infty x→+∞时 f ( x ) f(x) f(x)的极限 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) \lim_{ x \to +\infty }f(x) limx→+∞f(x)

4.左右极限与极限的关系

lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim_{ x \to x_{0} }f(x) limx→x0f(x)存在当且仅当 lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) \lim_{ x \to x_{0}^{-} }f(x) limx→x0−f(x)与 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) \lim_{ x \to x_{0}^{+} }f(x) limx→x0+f(x)都存在且相等
lim ⁡ x → ∞ f ( x ) \lim_{ x \to \infty }f(x) limx→∞f(x)存在当且仅当 lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) \lim_{ x \to -\infty }f(x) limx→−∞f(x)与 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) \lim_{ x \to +\infty }f(x) limx→+∞f(x)都存在且相等

数列极限

在 x → ∞ x\to\infty x→∞时的极限

对于数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {xn}，如果存在常数 a a a，对于 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0，总存在正整数 N > 0 N>0 N>0，当 n > N n>N n>N时，有 ∣ x n − a ∣ < ε |x_{n}-a|<\varepsilon ∣xn−a∣<ε，则称数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {xn}收敛于 a a a，记作 lim ⁡ n → ∞ x n = a \lim_{ n \to \infty }x_{n}=a limn→∞xn=a

数列的下标是正整数
n n n只能有一种情况，趋向于 + ∞ +\infty +∞这种

约定 n → ∞ n \to \infty n→∞代表 n → + ∞ n \to +\infty n→+∞

无穷小量与无穷大量

1. 无穷小量与无穷大量的概念

无穷小量

在前面的七种极限过程中

函数 f ( x ) f(x) f(x)的极限值为0，也即 lim ⁡ x → □ f ( x ) = 0 \lim_{ x \to \Box }f(x)=0 limx→□f(x)=0，则称 f ( x ) f(x) f(x)为当 x → □ x \to \Box x→□时的无穷小量

0一定是无穷小量，但无穷小量不一定是0

无穷小量是一个动态变化的过程，与极限过程有关

无穷大量

在前面的七种极限过程中

函数 f ( x ) f(x) f(x)的绝对值无限增大，也即 lim ⁡ x → □ f ( x ) = ∞ \lim_{ x \to \Box }f(x)=\infty limx→□f(x)=∞，则称 f ( x ) f(x) f(x)为当 x → □ x \to \Box x→□时的无穷大量

无穷大量实际上是极限不存在的情况，但是极限不存在的量不一定都是无穷大量

与无穷小量类似，无穷大量也是一个动态变化的过程，而不是一个实际存在的数

2. 无穷小量与无穷大量的关系

如果 x → □ x \to \Box x→□时， f ( x ) f(x) f(x)为无穷大量，则 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)} f(x)1在同一极限过程中为无穷小量

如果 x → □ x \to \Box x→□时， f ( x ) f(x) f(x)为无穷小量，且 f ( x ) ≠ 0 f(x) \ne 0 f(x)=0，则 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)} f(x)1在同一极限过程中为无穷大量

3.无穷小量与无穷大量比较

作商

设在某极限过程 x → □ x \to \Box x→□ 中，函数 α ( x ) , β ( x ) \alpha(x),\beta(x) α(x),β(x)都为无穷小量，并且都不为0

如果 lim ⁡ x → □ α ( x ) β ( x ) = 0 \lim_{ x \to \Box }\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0 limx→□β(x)α(x)=0，则称当 x → □ x \to \Box x→□时， α ( x ) \alpha(x) α(x)为 β ( x ) \beta(x) β(x)的高阶无穷小量，或 β ( x ) \beta(x) β(x)为 α ( x ) \alpha(x) α(x)的低阶无穷小量， α ( x ) = o ( β ( x ) ) \alpha(x)=o(\beta(x)) α(x)=o(β(x))
如果 lim ⁡ x → □ α ( x ) β ( x ) = C ≠ 0 \lim_{ x \to \Box }\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C \ne 0 limx→□β(x)α(x)=C=0，则称当 x → □ x \to \Box x→□时， α ( x ) \alpha(x) α(x)与 β ( x ) \beta(x) β(x)为同阶无穷小量
若 lim ⁡ x → □ α ( x ) β ( x ) = 1 \lim_{ x \to \Box }\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1 limx→□β(x)α(x)=1，则称当 x → □ x \to \Box x→□时， α ( x ) \alpha(x) α(x)与 β ( x ) \beta(x) β(x)为等阶无穷小量，记作 α ( x ) ∼ β ( x ) \alpha(x)\sim\beta(x) α(x)∼β(x)

4. k阶无穷小量的概念

设在某极限过程 x → □ x \to \Box x→□ 中，函数 α ( x ) , β ( x ) \alpha(x),\beta(x) α(x),β(x)都为无穷小量，并且都不为0

如果 lim ⁡ x → □ α ( x ) [ β ( x ) ] k = C ≠ 0 \lim_{ x \to \Box }\frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^{k}}=C \ne 0 limx→□[β(x)]kα(x)=C=0，则称当 x → □ x \to \Box x→□时， α ( x ) \alpha(x) α(x)是 β ( x ) \beta(x) β(x)的 k k k阶无穷小量

在同一极限过程下， α ( x ) \alpha(x) α(x)是 β ( x ) \beta(x) β(x)的 k k k阶无穷小量也就是说 α ( x ) \alpha(x) α(x)与 β k ( x ) \beta^{k}(x) βk(x)， ( k > 0 ) (k>0) (k>0)是同阶无穷小量

极限的性质

函数极限的性质

唯一性：假设函数极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim_{ x \to x_{0} }f(x) limx→x0f(x)存在，则其极限值为一
局部有界性：假设函数极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim_{ x \to x_{0} }f(x) limx→x0f(x)存在，则存在 δ > 0 \delta>0 δ>0，使得函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_{0} x0的去心邻域 ( x 0 − δ , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + δ ) (x_{0}-\delta ,x_{0})\cup(x_{0},x_{0}+\delta) (x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)内有界
保号性
假设 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) > 0 \lim_{ x \to x_{0} }f(x)>0 limx→x0f(x)>0，则 ∃ δ > 0 \exists\delta>0 ∃δ>0，使得当 x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + δ ) x\in(x_{0}-\delta ,x_{0})\cup(x_{0},x_{0}+\delta) x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)时，有 f ( x ) > 0 f(x)>0 f(x)>0

假设 ∃ δ > 0 \exists\delta>0 ∃δ>0，使得当 x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + δ ) x\in(x_{0}-\delta ,x_{0})\cup(x_{0},x_{0}+\delta) x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)时，有 f ( x ) ≥ 0 f(x)\ge0 f(x)≥0，并且 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim_{ x \to x_{0} }f(x) limx→x0f(x)存在，则 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) ≥ 0 \lim_{ x \to x_{0} }f(x)\ge0 limx→x0f(x)≥0

数列极限的性质

唯一性：假设数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {xn}的极限存在，则其极限值唯一
整体有界性：假设数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {xn}的极限存在，则数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {xn}有界
保号性：
假设 lim ⁡ n → ∞ x n > 0 \lim_{ n \to \infty }x_{n}>0 limn→∞xn>0，则存在正整数 N > 0 N>0 N>0，使得当 n > N n>N n>N时，有 x n > 0 x_{n}>0 xn>0
假设 lim ⁡ n → ∞ x n < 0 \lim_{ n \to \infty }x_{n}<0 limn→∞xn<0，则存在正整数 N > 0 N>0 N>0，使得当 n > N n>N n>N时，有 x n < 0 x_{n}<0 xn<0
假设 lim ⁡ n → ∞ x n = 0 \lim_{ n \to \infty }x_{n}=0 limn→∞xn=0， x n x_{n} xn的符号无法判断

假设存在正整数 N > 0 N>0 N>0，使得当 n > N n>N n>N时， x n ≥ 0 x_{n}\ge0 xn≥0，并且 lim ⁡ n → ∞ x n \lim_{ n \to \infty }x_{n} limn→∞xn存在，则 lim ⁡ n → ∞ x n ≥ 0 \lim_{ n \to \infty }x_{n}\ge0 limn→∞xn≥0

函数极限的计算

计算极限的基本思路：能带入的就代入

不能带入的利用四种方法，化成能带入的再直接代入

1. 四则运算

设 lim ⁡ x → □ f ( x ) = A , lim ⁡ x → □ g ( x ) = B \lim_{ x \to \Box }f(x)=A,\lim_{ x \to \Box }g(x)=B limx→□f(x)=A,limx→□g(x)=B，则有
lim ⁡ x → □ ( f ( x ) ± g ( x ) ) = A ± B lim ⁡ x → □ f ( x ) g ( x ) = A B lim ⁡ x → □ f ( x ) g ( x ) = A B ( B ≠ 0 ) \begin{array}{} \lim_{ x \to \Box }(f(x)\pm g(x))=A \pm B \\ \lim_{ x \to \Box }f(x)g(x)=AB \\ \lim_{ x \to \Box }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B \ne 0) \end{array} limx→□(f(x)±g(x))=A±Blimx→□f(x)g(x)=ABlimx→□g(x)f(x)=BA(B=0)

和差积商的极限等于极限的和差积商

什么情况下可以使用四则运算

A和B，这两个极限都存在
四则运算只适用于有限次计算的情形，对无限次运算不一定适用
数列极限的四则运算法则和函数极限的四则运算完全类似
四则运算不能直接用于 0 0 , ∞ ∞ , ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞ , 1 ∞ , ∞ 0 , 0 0 \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},\infty-\infty,0\cdot \infty,1^{\infty},\infty^{0},0^{0} 00,∞∞,∞−∞,0⋅∞,1∞,∞0,00未定式

当 A , B A,B A,B均为一个数时，四则运算显然适用

当 A , B A,B A,B为 ∞ \infty ∞或 0 0 0时

∞ + ( + ∞ ) = + ∞ + ∞ − ( − ∞ ) = + ∞ − ∞ − ( + ∞ ) = − ( + ∞ + ∞ ) = − ( + ∞ ) = − ∞ + ∞ + C = + ∞ + ∞ ⋅ ( − ∞ ) = − ∞ + ∞ ⋅ + ∞ = + ∞ − ∞ ⋅ ( − ∞ ) = + ∞ 0 ⋅ C 1 = 0 C 1 ∞ = C 1 ⋅ 0 = 0 C 2 0 = ∞ ( C 2 ≠ 0 ) C 2 ⋅ ∞ = ∞ ( C 2 ≠ 0 ) a + ∞ = { + ∞ , a > 1 0 , 0 < a ≤ 1 \begin{array}{} +\infty+(+\infty)=+\infty \\ +\infty-(-\infty)=+\infty \\ -\infty-(+\infty)=-(+\infty+\infty)=-(+\infty)=-\infty \\ +\infty+C=+\infty \\ +\infty \cdot(-\infty)=-\infty \\ +\infty \cdot+\infty=+\infty \\ -\infty \cdot(-\infty)=+\infty \\ 0\cdot C_{1}=0 \\ \frac{C_{1}}{\infty}=C_{1}\cdot0=0 \\ \frac{C_{2}}{0}=\infty(C_{2} \ne 0) \\ C_{2}\cdot \infty=\infty(C_{2} \ne 0) \\ a^{+\infty}=\left\{\begin{matrix} +\infty, \qquad a>1 \\ 0, \qquad 0<a\le1 \end{matrix}\right. \end{array} +∞+(+∞)=+∞+∞−(−∞)=+∞−∞−(+∞)=−(+∞+∞)=−(+∞)=−∞+∞+C=+∞+∞⋅(−∞)=−∞+∞⋅+∞=+∞−∞⋅(−∞)=+∞0⋅C1=0∞C1=C1⋅0=00C2=∞(C2=0)C2⋅∞=∞(C2=0)a+∞={+∞,a>10,0<a≤1

无穷比无穷抓大头

例1
lim ⁡ x → ∞ x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3 x 3 + b 1 x 2 + b 2 x + b 3 = lim ⁡ x → ∞ 1 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 1 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 = lim ⁡ x → ∞ 1 + lim ⁡ x → ∞ a 1 x + lim ⁡ x → ∞ a 2 x 2 + lim ⁡ x → ∞ a 3 x 3 lim ⁡ x → ∞ 1 + lim ⁡ x → ∞ b 1 x + lim ⁡ x → ∞ b 2 x 2 + lim ⁡ x → ∞ b 3 x 3 = 1 + 0 + 0 + 0 1 + 0 + 0 + 0 = 1 \begin{array}{} \lim_{ x \to \infty }\frac{x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}}{x^{3}+b_{1}x^{2}+b_{2}x+b_{3}} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{1+ \frac{a_{1}}{x}+ \frac{a_{2}}{x^{2}}+ \frac{a_{3}}{x^{3}}}{1+ \frac{b_{1}}{x}+ \frac{b_{2}}{x^{2}}+ \frac{b_{3}}{x^{3}}} \\ =\frac{\lim_{ x \to \infty }1+\lim_{ x \to \infty } \frac{a_{1}}{x}+\lim_{ x \to \infty } \frac{a_{2}}{x^{2}}+\lim_{ x \to \infty } \frac{a_{3}}{x^{3}} }{\lim_{ x \to \infty }1+ \lim_{ x \to \infty } \frac{b_{1}}{x}+\lim_{ x \to \infty } \frac{b_{2}}{x^{2}}+\lim_{ x \to \infty } \frac{b_{3}}{x^{3}}} \\ =\frac{1+0+0+0}{1+0+0+0}=1 \end{array} limx→∞x3+b1x2+b2x+b3x3+a1x2+a2x+a3=limx→∞1+xb1+x2b2+x3b31+xa1+x2a2+x3a3=limx→∞1+limx→∞xb1+limx→∞x2b2+limx→∞x3b3limx→∞1+limx→∞xa1+limx→∞x2a2+limx→∞x3a3=1+0+0+01+0+0+0=1

例2
lim ⁡ x → ∞ x 2 + 10000 ! x + 1 0 8 x 2 x 2 + 1 0 200 = lim ⁡ x → ∞ 1 + 10000 ! x + 1 0 8 x 2 + 1 0 200 x 2 = 1 2 \begin{array}{} \lim_{ x \to \infty } \frac{x^{2}+10000!x+10^{8}x}{2x^{2}+10^{200}} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{1+\frac{10000!}{x}+\frac{10^8}{x}}{2+\frac{10^{200}}{x^2}} \\ =\frac{1}{2} \end{array} limx→∞2x2+10200x2+10000!x+108x=limx→∞2+x2102001+x10000!+x108=21
抓大头，当求 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞型极限时，分子分母中只保留最高次即可

例3
lim ⁡ x → ∞ ( x 4 + 1 ) 3 ( 2 x 2 + x + 3 ) 4 ( x + 1 ) 20 = lim ⁡ x → ∞ ( x 4 + 1 x 4 ) 3 ( 2 x 2 + x + 3 x 2 ) 4 ( x + 1 x ) 20 = lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x 4 ) 3 ( 2 + 1 x + 3 x 2 ) 4 ( 1 + 1 x ) 20 = 16 \begin{array}{} \lim_{ x \to \infty } \frac{(x^4+1)^3(2x^2+x+3)^4}{(x+1)^{20}} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{\left( \frac{x^4+1}{x^4} \right)^3\left( \frac{2x^2+x+3}{x^2} \right)^4}{\left( \frac{x+1}{x} \right)^{20}} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{\left( 1+\frac{1}{x^4} \right)^3\left(2+\frac{1}{x}+ \frac{3}{x^2} \right)^4}{\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{20}} \\ =16 \end{array} limx→∞(x+1)20(x4+1)3(2x2+x+3)4=limx→∞(xx+1)20(x4x4+1)3(x22x2+x+3)4=limx→∞(1+x1)20(1+x41)3(2+x1+x23)4=16

或
lim ⁡ x → ∞ ( x 4 + 1 ) 3 ( 2 x 2 + x + 3 ) 4 ( x + 1 ) 20 = lim ⁡ x → ∞ ( x 4 ) 3 ( 2 x 2 ) 4 ( x ) 20 = 16 \begin{array}{} \lim_{ x \to \infty } \frac{(x^4+1)^3(2x^2+x+3)^4}{(x+1)^{20}} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{(x^4)^3(2x^2)^4}{(x)^{20}} \\ =16 \end{array} limx→∞(x+1)20(x4+1)3(2x2+x+3)4=limx→∞(x)20(x4)3(2x2)4=16

例4
lim ⁡ x → − ∞ x x 2 + 100 − x = lim ⁡ x → − ∞ x x 2 − x = lim ⁡ x → − ∞ x ∣ x ∣ − x = lim ⁡ x → − ∞ x − x − x = − 1 2 \begin{array}{} \lim_{ x \to -\infty } \frac{x}{\sqrt{ x^2+100 }-x} \\ = \lim_{ x \to -\infty } \frac{x}{\sqrt{ x^2 }-x} \\ =\lim_{ x \to -\infty } \frac{x}{|x|-x} \\ =\lim_{ x \to -\infty } \frac{x}{-x-x} \\ =-\frac{1}{2} \end{array} limx→−∞x2+100 −xx=limx→−∞x2 −xx=limx→−∞∣x∣−xx=limx→−∞−x−xx=−21
在抓大头中，当 x → − ∞ x \to -\infty x→−∞中，要注意 x 2 = − x \sqrt{ x^2 }=-x x2 =−x

零比零分解因式根式有理化

例5
lim ⁡ x → 1 x 2 − 4 x + 3 x 2 − 3 x + 2 = lim ⁡ x → 1 ( x − 1 ) ( x − 3 ) ( x − 1 ) ( x − 2 ) = lim ⁡ x → 1 x − 3 x − 2 = 2 \begin{array}{} \lim_{ x \to 1 } \frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2} \\ =\lim_{ x \to 1 } \frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-2)} \\ =\lim_{ x \to 1 } \frac{x-3}{x-2} \\ =2 \end{array} limx→1x2−3x+2x2−4x+3=limx→1(x−1)(x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x−2x−3=2

例6
lim ⁡ x → 0 x 2 + 3 x + 1 − x 2 − 3 x + 1 x = lim ⁡ x → 0 ( x 2 + 3 x + 1 − x 2 − 3 x + 1 ) ( x 2 + 3 x + 1 + x 2 − 3 x + 1 ) x ( x 2 + 3 x + 1 + x 2 − 3 x + 1 ) = lim ⁡ x → 0 ( x 2 + 3 x + 1 ) − ( x 2 − 3 x + 1 ) x ⋅ lim ⁡ x → 0 1 x 2 + 3 x + 1 + x 2 − 3 x + 1 = lim ⁡ x → 0 6 x x ⋅ 1 2 = 3 \begin{array}{} \lim_{ x \to 0 } \frac{\sqrt{ x^2+3x+1 }-\sqrt{ x^2-3x+1 }}{x} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{(\sqrt{ x^2+3x+1 }-\sqrt{ x^2-3x+1 })(\sqrt{ x^2+3x+1 }+\sqrt{ x^2-3x+1 })}{x(\sqrt{ x^2+3x+1 }+\sqrt{ x^2-3x+1 })} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{(x^2+3x+1)-(x^2-3x+1)}{x} \\ \cdot\lim_{ x \to 0 } \frac{1}{\sqrt{ x^2+3x+1 }+\sqrt{ x^2-3x+1 }} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{6x}{x} \cdot \frac{1}{2} \\ =3 \end{array} limx→0xx2+3x+1 −x2−3x+1 =limx→0x(x2+3x+1 +x2−3x+1 )(x2+3x+1 −x2−3x+1 )(x2+3x+1 +x2−3x+1 )=limx→0x(x2+3x+1)−(x2−3x+1)⋅limx→0x2+3x+1 +x2−3x+1 1=limx→0x6x⋅21=3
对于 0 0 \frac{0}{0} 00型未定式的基本解题思路是通过约掉零因式将其化为定式，常用方法为因式分解或有理化

2. 等价无穷小替换

两个基本公式

夹逼准则
lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin x}{x}=1 x→0limxsinx=1
单调有界收敛准则
lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \lim_{ x \to 0 } (1+x)^{\frac{1}{x}}=e x→0lim(1+x)x1=e

六个拓展公式

x → 0 x\to 0 x→0， x ∼ arcsin ⁡ x ∼ tan ⁡ x ∼ arctan ⁡ x ∼ ln ⁡ ( 1 + x ) ∼ e x − 1 x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x\sim \ln(1+x)\sim e^x-1 x∼arcsinx∼tanx∼arctanx∼ln(1+x)∼ex−1
lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = lim ⁡ t → 0 t arcsin ⁡ t = 1 \lim_{ x \to 0 }\frac{\sin x}{x}=\lim_{ t \to 0 } \frac{t}{\arcsin t} = 1 x→0limxsinx=t→0limarcsintt=1
lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x cos ⁡ x x cos ⁡ x = lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x x ⋅ cos ⁡ x = lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x x ⋅ lim ⁡ x → 0 cos ⁡ x = 1 \lim_{ x \to 0 } \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{x}{\cos x}}=\lim_{ x \to 0 } \frac{\tan x}{x}\cdot \cos x=\lim_{ x \to 0 } \frac{\tan x}{x}\cdot \lim_{ x \to 0 } \cos x=1 x→0limcosxxcosxsinx=x→0limxtanx⋅cosx=x→0limxtanx⋅x→0limcosx=1
lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x x = lim ⁡ t → 0 t arctan ⁡ t = 1 \lim_{ x \to 0 } \frac{\tan x}{x}=\lim_{ t \to 0 } \frac{t}{\arctan t} = 1 x→0limxtanx=t→0limarctantt=1
ln ⁡ lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = ln ⁡ e = 1 lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ( 1 + x ) 1 x = 1 lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ( 1 + x ) x = 1 \begin{array}{} \ln \lim_{ x \to 0 } (1+x)^{\frac{1}{x}}=\ln e=1 \\ \lim_{ x \to 0 } \ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=1 \\ \lim_{ x \to 0 } \frac{\ln(1+x)}{x}=1 \end{array} lnlimx→0(1+x)x1=lne=1limx→0ln(1+x)x1=1limx→0xln(1+x)=1
lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ( 1 + x ) x = lim ⁡ x → 0 t e t − 1 = 1 \lim_{ x \to 0 } \frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{ x \to 0} \frac{t}{e^t-1}=1 x→0limxln(1+x)=x→0limet−1t=1
e cos ⁡ 2 x − e = e ( e cos ⁡ 2 x − 1 − 1 ) ∼ e ( cos ⁡ 2 x − 1 ) e f ( x ) − e g ( x ) = e ( e f ( x ) − g ( x ) ) ∼ e g ( x ) ⋅ ( cos ⁡ 2 x − 1 ) \begin{array}{} e^{\cos 2x}-e=e(e^{\cos 2x-1}-1)\sim e(\cos2x-1) \\ e^{f(x)}-e^{g(x)}=e(e^{f(x)-g(x)})\sim e^{g(x)}\cdot(\cos2x-1) \end{array} ecos2x−e=e(ecos2x−1−1)∼e(cos2x−1)ef(x)−eg(x)=e(ef(x)−g(x))∼eg(x)⋅(cos2x−1)
1 − cos ⁡ x ∼ x 2 2 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2} 1−cosx∼2x2
( 1 + x ) α − 1 ∼ α x (1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x (1+x)α−1∼αx
( 1 + x ) α − 1 = e ln ⁡ ( 1 + x ) α − 1 = e α ln ⁡ ( 1 + x ) − 1 ∼ α ln ⁡ ( 1 + x ) ∼ α x (1+x)^\alpha-1=e^{\ln(1+x)^\alpha}-1=e^{\alpha \ln(1+x)}-1\sim \alpha \ln(1+x)\sim \alpha x (1+x)α−1=eln(1+x)α−1=eαln(1+x)−1∼αln(1+x)∼αx

只有整个式子的乘除因子才能用等价无穷小替换，有加减时不能替换

例1
lim ⁡ x → 0 x ln ⁡ ( 1 + x ) tan ⁡ 2 x = lim ⁡ x → 0 x ⋅ x x 2 = 1 \begin{array}{} \lim_{ x \to 0 } \frac{x\ln (1+x)}{\tan^2x} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{x\cdot x}{x^2}=1 \end{array} limx→0tan2xxln(1+x)=limx→0x2x⋅x=1

等价无穷小替换的广义化

例2
lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x arcsin ⁡ 3 x = lim ⁡ x → 0 x 3 x = 1 3 lim ⁡ x → 0 arcsin ⁡ x x = 1 = lim ⁡ x → 0 arcsin ⁡ 3 t 3 t \begin{array}{} \lim_{ x \to 0 } \frac{\tan x}{\arcsin 3x} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{x}{3x}=\frac{1}{3} \\ \lim_{ x \to 0 } \frac{\arcsin x}{x}=1=\lim_{ x \to 0 } \frac{\arcsin 3t}{3t} \end{array} limx→0arcsin3xtanx=limx→03xx=31limx→0xarcsinx=1=limx→03tarcsin3t

例3
lim ⁡ x → ∞ x sin ⁡ 2 x x 2 + 1 ∵ lim ⁡ x → ∞ 2 x x 2 + 1 = lim ⁡ x → ∞ 2 x = 0 ∴ = lim ⁡ x → ∞ x ⋅ 2 x x 2 + 1 = lim ⁡ x → ∞ 2 x 2 x 2 = 2 \begin{array}{} \lim_{ x \to \infty } x\sin \frac{2x}{x^2+1} \\ \because \lim_{ x \to \infty } \frac{2x}{x^{2+1}=\lim_{ x \to \infty } \frac{2}{x}}= 0 \\ \therefore =\lim_{ x \to \infty } x\cdot \frac{2x}{x^2+1} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{2x^2}{x^2}=2 \end{array} limx→∞xsinx2+12x∵limx→∞x2+1=limx→∞x22x=0∴=limx→∞x⋅x2+12x=limx→∞x22x2=2

等价无穷小替换的变形

凑1：加1碱1，提公因式
x ∼ ln ⁡ ( 1 + x ) ∼ e x − 1 , ( 1 + x ) α − 1 ∼ α x , 1 − cos ⁡ x ∼ 1 2 x 2 x\sim \ln(1+x)\sim e^x-1,(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x,1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2 x∼ln(1+x)∼ex−1,(1+x)α−1∼αx,1−cosx∼21x2
凑0

3. 洛必达法则

定义

设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)满足：

lim ⁡ x → □ f ( x ) = lim ⁡ x → □ g ( x ) = 0 \lim_{ x \to \Box }f(x)=\lim_{ x \to \Box }g(x)=0 limx→□f(x)=limx→□g(x)=0或 lim ⁡ x → □ f ( x ) = lim ⁡ x → □ g ( x ) = ∞ \lim_{ x \to \Box }f(x)=\lim_{ x \to \Box }g(x)=\infty limx→□f(x)=limx→□g(x)=∞
f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)在 □ \Box □的附近均可导且 g ′ ( x ) ≠ 0 g'(x)\ne 0 g′(x)=0
lim ⁡ x → □ f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{ x \to \Box } \frac{f'(x)}{g'(x)} limx→□g′(x)f′(x)存在或为 ∞ \infty ∞
则有 lim ⁡ x → □ f ( x ) g ( x ) = lim ⁡ x → □ f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{ x \to \Box } \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{ x \to \Box } \frac{f'(x)}{g'(x)} limx→□g(x)f(x)=limx→□g′(x)f′(x)

极限：

存在√
不存在
1. ∞ \infty ∞√
2. 不为 ∞ \infty ∞

例：
lim ⁡ x → ∞ x + sin ⁡ x x = lim ⁡ x → ∞ x x + lim ⁡ x → ∞ sin ⁡ x x = 1 + 0 = 1 \begin{array}{} \lim_{ x \to \infty } \frac{x+\sin x}{x} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{x}{x}+\lim_{ x \to \infty } \frac{\sin x}{x} \\ = 1+0=1 \end{array} limx→∞xx+sinx=limx→∞xx+limx→∞xsinx=1+0=1

无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量

七种类型

洛必达法则

通过求导使得分母的阶数降低直至常数(0阶)

使得易于不断求导

方法：等价无穷小量替换、四则运算

1. 0 0 \frac{0}{0} 00型未定式

lim ⁡ x → 0 x − tan ⁡ x 1 − 1 − 2 x 3 = lim ⁡ x → 0 x − tan ⁡ x x 3 = lim ⁡ x → 0 1 − sec ⁡ 2 x 3 x 2 = lim ⁡ x → 0 − tan ⁡ 2 x 3 x 2 = lim ⁡ x → 0 − x 2 3 x 2 = − 1 3 \begin{array}{} \lim_{ x \to 0 } \frac{x-\tan x}{1-\sqrt{ 1-2x^3 }} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{x-\tan x}{x^3} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{1-\sec^2x}{3x^2} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{-\tan^2x}{3x^2} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{-x^2}{3x^2} \\ =-\frac{1}{3} \end{array} limx→01−1−2x3 x−tanx=limx→0x3x−tanx=limx→03x21−sec2x=limx→03x2−tan2x=limx→03x2−x2=−31

例：等替和四则
lim ⁡ x → 0 x − arcsin ⁡ x arctan ⁡ 3 x ( cos ⁡ x + 2 ) 1. = lim ⁡ x → 0 x − arcsin ⁡ x x 3 ( cos ⁡ x + 2 ) = lim ⁡ x → 0 1 − 1 1 − x 2 3 x 2 ( cos ⁡ x + 2 ) + x 3 ( − sin ⁡ x ) = lim ⁡ x → 0 − 1 2 x 2 3 x 2 ( cos ⁡ x + 2 ) + x 3 ( − sin ⁡ x ) = lim ⁡ x → 0 − 1 2 3 ( cos ⁡ x + 2 ) + x ( − sin ⁡ x ) = − 1 18 2. = lim ⁡ x → 0 x − arcsin ⁡ x x 3 lim ⁡ x → 0 1 cos ⁡ x + 2 = 1 3 lim ⁡ x → 0 x − arcsin ⁡ x x 3 = 1 3 lim ⁡ x → 0 1 − 1 1 − x 2 3 x 2 = 1 3 lim ⁡ x → 0 − 1 2 x 2 3 x 2 = − 1 18 3. = lim ⁡ x → 0 x − arcsin ⁡ x 3 arctan ⁡ 3 x \begin{array}{} \lim_{ x \to 0 } \frac{x-\arcsin x}{\arctan^3x(\cos x+2)} \\ 1.\qquad=\lim_{ x \to 0 } \frac{x-\arcsin x}{x^3(\cos x+2)} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{1-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}}{3x^2(\cos x+2)+x^3(-\sin x)} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{-\frac{1}{2}x^2}{3x^2(\cos x+2)+x^3(-\sin x)} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{-\frac{1}{2}}{3(\cos x+2)+x(-\sin x)} \\ =-\frac{1}{18} \\ 2.\qquad=\lim_{ x \to 0 } \frac{x-\arcsin x}{x^3 }\lim_{ x \to 0 } \frac{1}{\cos x+2} \\ =\frac{1}{3}\lim_{ x \to 0 } \frac{x-\arcsin x}{x^3} \\ =\frac{1}{3}\lim_{ x \to 0 } \frac{1-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2} }}{3x^2} \\ =\frac{1}{3}\lim_{ x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{3x^2} \\ =- \frac{1}{18} \\ 3.\qquad =\lim_{ x \to 0 } \frac{x-\arcsin x}{3\arctan^3x} \end{array} limx→0arctan3x(cosx+2)x−arcsinx1.=limx→0x3(cosx+2)x−arcsinx=limx→03x2(cosx+2)+x3(−sinx)1−1−x2 1=limx→03x2(cosx+2)+x3(−sinx)−21x2=limx→03(cosx+2)+x(−sinx)−21=−1812.=limx→0x3x−arcsinxlimx→0cosx+21=31limx→0x3x−arcsinx=31limx→03x21−1−x2 1=31limx→03x2−21x2=−1813.=limx→03arctan3xx−arcsinx

若 lim ⁡ x → □ g ( x ) = A \lim_{ x \to \Box }g(x)=A limx→□g(x)=A，则 lim ⁡ x → □ ( f ( x ) + g ( x ) ) = lim ⁡ x → □ f ( x ) + lim ⁡ x → □ g ( x ) = lim ⁡ x → □ f ( x ) + A \lim_{ x \to \Box }(f(x)+g(x))=\lim_{ x \to \Box }f(x)+\lim_{ x \to \Box }g(x)=\lim_{ x \to \Box }f(x)+A limx→□(f(x)+g(x))=limx→□f(x)+limx→□g(x)=limx→□f(x)+A

若 lim ⁡ x → □ g ( x ) = A ≠ 0 \lim_{ x \to \Box }g(x)=A\ne 0 limx→□g(x)=A=0，则 lim ⁡ x → □ f ( x ) g ( x ) = lim ⁡ x → □ f ( x ) ⋅ lim ⁡ x → □ g ( x ) = A ⋅ lim ⁡ x → □ f ( x ) \lim_{ x \to \Box }f(x)g(x)=\lim_{ x \to \Box }f(x)\cdot\lim_{ x \to \Box }g(x)=A\cdot\lim_{ x \to \Box }f(x) limx→□f(x)g(x)=limx→□f(x)⋅limx→□g(x)=A⋅limx→□f(x)

洛必达步骤

检测类型
化简，化简的方法有
1. 等价无穷小替换
2. 四则运算
上下求导，整理，回到步骤1

2. ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞型未定式

例
lim ⁡ x → ∞ x 100 e x = lim ⁡ x → ∞ 100 ⋅ x 99 e x = ⋯ = lim ⁡ x → ∞ 100 ⋅ 99 ⋯ ⋅ 1 e x = 0 \begin{array}{} \lim_{ x \to \infty } \frac{x^{100}}{e^x} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{100\cdot x^{99}}{e^x} \\ =\dots =\lim_{ x \to \infty } \frac{100\cdot 99 \dots \cdot1}{e^x} \\ =0 \end{array} limx→∞exx100=limx→∞ex100⋅x99=⋯=limx→∞ex100⋅99⋯⋅1=0

指 ≫ \gg ≫幂 ≫ \gg ≫对
e x ≫ x a ≫ ( ln ⁡ x ) b e^{x}\gg x^a\gg(\ln x)^b ex≫xa≫(lnx)b
x = e ln ⁡ x ≫ ( ln ⁡ x ) a x=e^{\ln x}\gg(\ln x)^a x=elnx≫(lnx)a

抓大头的核心是抓主要部分，先抓类型(指远大于幂远大于对)，再抓高次
指数函数是否大头，关键在于指数函数是否趋于无穷
对 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞型的极限要做到能够口算
{ a > 1 , a + ∞ = + ∞ 0 < a < 1 , a − ∞ = + ∞ \left\{\begin{matrix} a>1,\qquad a^{+\infty}=+\infty \\ 0<a<1,\qquad a^{-\infty}=+\infty \end{matrix}\right. {a>1,a+∞=+∞0<a<1,a−∞=+∞

3. 0 ⋅ ∞ 0\cdot \infty 0⋅∞型与 ∞ − ∞ \infty-\infty ∞−∞型未定式

例
lim ⁡ x → 0 + x ⋅ ln ⁡ x = lim ⁡ x → 0 + ln ⁡ x 1 x = lim ⁡ x → 0 + 1 x − 1 x 2 = lim ⁡ x → 0 + − x = 0 \begin{array}{} \lim_{ x \to 0^+ } x\cdot \ln x \\ =\lim_{ x \to 0^+ } \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \\ =\lim_{ x \to 0^+ } \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} \\ =\lim_{ x \to 0^+ } -x \\ =0 \end{array} limx→0+x⋅lnx=limx→0+x1lnx=limx→0+−x21x1=limx→0+−x=0

借助无穷小量和无穷大量的关系，可以将 0 ⋅ ∞ 0\cdot \infty 0⋅∞化为 0 1 ∞ \frac{0}{\frac{1}{\infty}} ∞10或 ∞ 1 0 \frac{\infty}{\frac{1}{0}} 01∞，原则是使得导数更简单
∞ − ∞ \infty-\infty ∞−∞型，如果有分母，一般利用通分转化为 0 0 \frac{0}{0} 00型
没有分母时，一般利用倒代换，将 x x x替换成 1 t \frac{1}{t} t1，构造分母，再进行通分
出现根式，通过根式有理化转化为 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞型

4. 幂指函数的极限

0 0 0^0 00或 ∞ 0 \infty^0 ∞0
对数恒等变形
1 ∞ 1^{\infty} 1∞
对数恒等变形
假设 lim ⁡ x → □ u ( x ) v ( x ) \lim_{ x \to \Box } u(x)^{v(x)} limx→□u(x)v(x)为 1 ∞ 1^\infty 1∞型，也即 lim ⁡ x → □ u ( x ) = 1 \lim_{ x \to \Box }u(x)=1 limx→□u(x)=1， lim ⁡ x → □ v ( x ) = ∞ \lim_{ x \to \Box }v(x)=\infty limx→□v(x)=∞，
则可以使用公式
lim ⁡ x → □ u ( x ) v ( x ) = e lim ⁡ x → □ ( u ( x ) − 1 ) v ( x ) \lim_{ x \to \Box }u(x)^{v(x)}=e^{\lim_{ x \to \Box }(u(x)-1)v(x) } x→□limu(x)v(x)=elimx→□(u(x)−1)v(x)

如果极限式的某一部分为幂指函数，而不是整个极限式为幂指函数，无论该幂指函数时什么类型的极限，一律通过对数恒等变形进行变形

4. 泰勒公式

设函数 f ( x ) f(x) f(x)有直至 n n n阶导数，当 x → x 0 x\to x_{0} x→x0时，泰勒公式：
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + o ( ( x − x 0 ) n ) \begin{array}{} f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+ \\ \dots+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n+o((x-x_{0})^n) \end{array} f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!fn(x0)(x−x0)n+o((x−x0)n)

意义：把任何一个函数，简化为了幂函数与 o ( ( x − x 0 ) n ) o((x-x_{0})^n) o((x−x0)n)之和

特殊地，当 x 0 = 0 x_{0}=0 x0=0时，麦克劳林公式：
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + ⋯ + f n ( 0 ) n ! x n + o ( x n ) \begin{array}{} f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \\ \dots+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^n+o(x^n) \end{array} f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!fn(0)xn+o(xn)

例
lim ⁡ x → 0 e x − 1 − x x 2 = lim ⁡ x → 0 1 + x + x 2 2 + o ( x 2 ) − 1 − x x 2 = lim ⁡ x → 0 x 2 2 + o ( x 2 ) x 2 = lim ⁡ x → 0 x 2 2 x 2 + lim ⁡ x → 0 o ( x 2 ) x 2 = 1 2 + 0 = 1 2 \begin{array}{} \lim_{ x \to 0 } \frac{e^x-1-x}{x^2} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-1-x}{x^2} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2}+\lim_{ x \to 0 } \frac{o(x^2)}{x^2} \\ =\frac{1}{2}+0 \\ =\frac{1}{2} \end{array} limx→0x2ex−1−x=limx→0x21+x+2x2+o(x2)−1−x=limx→0x22x2+o(x2)=limx→0x22x2+limx→0x2o(x2)=21+0=21

常见的麦克劳林公式

e x = 1 + x + x 2 2 ! + o ( x 2 ) e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2) ex=1+x+2!x2+o(x2)
ln ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + o ( x 2 ) \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2) ln(1+x)=x−2x2+o(x2)
( 1 + x ) a = 1 + a x + a ( a − 1 ) 2 ! x 2 + o ( x 2 ) (1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+o(x^2) (1+x)a=1+ax+2!a(a−1)x2+o(x2)
cos ⁡ x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + o ( x 4 ) \cos x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4) cosx=1+2!x2+4!x4+o(x4)
sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + o ( x 3 ) \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) sinx=x−3!x3+o(x3)
arcsin ⁡ x = x + x 3 6 + o ( x 3 ) \arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3) arcsinx=x+6x3+o(x3)
tan ⁡ x = x + x 3 3 + o ( x 3 ) \tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) tanx=x+3x3+o(x3)
arctan ⁡ x = x − x 3 3 + o ( x 3 ) \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3) arctanx=x−3x3+o(x3)

泰勒公式步骤，展开，合并，替换

等价无穷小替换，低阶吸高阶
e x e^x ex展开的时候，只需要展开到对应的阶数就可以了，上下同阶

如果式子里没有带次方的，就试，多退少补，直到有一个次方的系数不为零

泰勒公式广义化

将 x x x变为 □ \Box □，当 □ → 0 \Box\to 0 □→0时

式子仍然成立
lim ⁡ x → 0 x 2 − sin ⁡ 2 x x 4 = 1 3 \lim_{ x \to 0 } \frac{x^2-\sin^2x}{x^4}=\frac{1}{3} x→0limx4x2−sin2x=31
lim ⁡ x → 0 x − sin ⁡ x x 3 = 1 6 \lim_{ x \to 0 } \frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6} x→0limx3x−sinx=61

极限式中参数的讨论

根据极限的值，让求极限式中的参数

对已知极限值要计算极限式中的参数的问题，运用洛必达法则进行讨论是比较困难的，而运用泰勒公式比较方便、快捷

对抽象函数进行泰勒公式展开的关键是展开到第几项，一般来说，基本原则有两个

根据函数本身是几阶可导的，函数 n n n阶可导，则皮亚诺余项的泰勒公式就可以展开到第几项
保持上下同阶，分子和分母如果有一边能确定阶数，则另一边直接展开到相应的阶数即可

单侧极限

绝大多数极限式不需要考虑单侧极限

两种情况需要考虑

分段函数且分段点左右两侧表达式不同时，需要考虑单侧极限
极限中含有 e ∞ , arctan ⁡ ∞ e^\infty,\arctan ^\infty e∞,arctan∞时，需要考虑单侧极限

数列极限的计算

方法

直接计算：将数列极限转换为函数极限来计算
数列 x n {x_{n}} xn收敛于 a a a等价于它的任一子数列也收敛且极限为 a a a
夹逼准则
单调有界收敛准则