概率论原理精解【9】

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集类
拓扑空间
- 基
参考文献

集类

C是一个集类（以G的某些子集为元素的集合称为G的集类）。
A i ∈ C , ∩ i = 1 n A i ∈ C , 此为有限交封闭 C 所得集类 C ∩ f A_i \in C,\cap_{i=1}^nA_i \in C,此为有限交封闭C所得集类C_{\cap f} Ai∈C,∩i=1nAi∈C,此为有限交封闭C所得集类C∩f
A n ∈ C , n ≥ 1 , ∩ n A n ∈ C , 此为可列交封闭 C 所得集类 C δ A_n \in C,n \ge 1,\cap_{n}A_n \in C,此为可列交封闭C所得集类C_{\delta} An∈C,n≥1,∩nAn∈C,此为可列交封闭C所得集类Cδ
C Σ f 称为有限不交并封闭 C 所得集类 C_{\Sigma f}称为有限不交并封闭C所得集类 CΣf称为有限不交并封闭C所得集类
∪ i = 1 n A i ∈ C , 此为有限并封闭 C 所得集类 C ∪ f \cup_{i=1}^nA_i \in C,此为有限并封闭C所得集类C_{\cup f} ∪i=1nAi∈C,此为有限并封闭C所得集类C∪f
C σ 为可列并封闭 C 所得集类 C_{\sigma}为可列并封闭C所得集类 Cσ为可列并封闭C所得集类
C Σ σ 为可列不交并封闭 C 所得集类 C_{\Sigma\sigma}为可列不交并封闭C所得集类 CΣσ为可列不交并封闭C所得集类
1. 如果 C 对有限交封闭，称为 π 类 2. 如果 ∅ ∈ C ，且有 A , B ∈ C = > A ∩ B ∈ C , A \ B ∈ C Σ f ， C 称为半环。 3. C 是半环，且 G ∈ C , C 是半代数。 4. C 对有限交和取余集运算封闭，且 G ∈ C ， ∅ ∈ C ， C 称为代数或域。 5. C 对可列交和取余集运算封闭，且 G ∈ C ， ∅ ∈ C ， C 称为 σ 代数 6. C 对单调序列极限封闭， C 称为单调类 7. C 称为 λ 类，则： ( 1 ) G ∈ C ( 2 ) A , B ∈ C , B ⊂ A = > A \ B ∈ C ( 3 ) A n ∈ C , n ≥ 1 , A n ↑ A = > A ∈ C 1.如果C对有限交封闭，称为\pi类 \\2.如果\emptyset \in C，且有A,B \in C=>A\cap B \in C,A \backslash B \in C_{\Sigma f}，C称为半环。 \\3.C是半环，且G \in C,C是半代数。 \\4.C对有限交和取余集运算封闭，且G \in C，\empty \in C，C称为代数或域。 \\5.C对可列交和取余集运算封闭，且G \in C，\empty \in C，C称为\sigma代数 \\6.C对单调序列极限封闭，C称为单调类 \\7.C称为\lambda类，则： \\(1)G \in C \\(2)A,B \in C , B \subset A=>A \backslash B \in C \\(3) A_n \in C,n \ge 1,A_n \uparrow A => A \in C 1.如果C对有限交封闭，称为π类2.如果∅∈C，且有A,B∈C=>A∩B∈C,A\B∈CΣf，C称为半环。3.C是半环，且G∈C,C是半代数。4.C对有限交和取余集运算封闭，且G∈C，∅∈C，C称为代数或域。5.C对可列交和取余集运算封闭，且G∈C，∅∈C，C称为σ代数6.C对单调序列极限封闭，C称为单调类7.C称为λ类，则：(1)G∈C(2)A,B∈C,B⊂A=>A\B∈C(3)An∈C,n≥1,An↑A=>A∈C
对 G 上的任一非空集类 F , 存在包含 F 的最小 σ 代数、 λ 类和单调类，记为 σ ( F ) 、 λ ( F ) 和 m ( F ) ， m ( F ) ⊂ λ ( F ) ⊂ σ ( F ) 对G上的任一非空集类F,存在包含F的最小\sigma代数、\lambda类和单调类，\\记为\sigma(F)、\lambda(F)和m(F)，m(F)\subset \lambda(F) \subset \sigma(F) 对G上的任一非空集类F,存在包含F的最小σ代数、λ类和单调类，记为σ(F)、λ(F)和m(F)，m(F)⊂λ(F)⊂σ(F)

C 为一集类， 1. 若 C 为代数，则 m ( C ) = σ ( C ) 2. 若 C 为一 π 类，则 λ ( C ) = σ ( C ) C为一集类， \\1.若C为代数，则m(C)= \sigma (C) \\2.若C为一\pi类，则\lambda(C)= \sigma (C) C为一集类，1.若C为代数，则m(C)=σ(C)2.若C为一π类，则λ(C)=σ(C)

设 C 和 F 为两个集类，且 C ⊂ F 1. 若 C 为代数， F 为单调类，则 σ ( C ) ⊂ F 2. 若 C 为 π 类，且 F 为 λ 类，则 σ ( C ) ⊂ F 设C和F为两个集类，且C \subset F \\1.若C为代数，F为单调类，则\sigma(C) \subset F \\2.若C为\pi类，且F为\lambda类，则\sigma(C) \subset F 设C和F为两个集类，且C⊂F1.若C为代数，F为单调类，则σ(C)⊂F2.若C为π类，且F为λ类，则σ(C)⊂F
C 为一集类， 1. 若要 m ( C ) = σ ( C ) ，则必须且只需 A ∈ C = > A c ∈ m ( C ) ， A , B ∈ C = > A ∩ B ∈ m ( C ) 2. 若要 λ ( C ) = σ ( C ) ，必须且只需 A , B ∈ C = > A ∩ B ∈ λ ( C ) C为一集类， \\1.若要m(C)= \sigma (C)，则必须且只需 \\A \in C=>A^c \in m(C)，A,B \in C=>A \cap B \in m(C) \\2.若要\lambda(C)=\sigma(C)，必须且只需 \\A,B \in C => A \cap B \in \lambda (C) C为一集类，1.若要m(C)=σ(C)，则必须且只需A∈C=>Ac∈m(C)，A,B∈C=>A∩B∈m(C)2.若要λ(C)=σ(C)，必须且只需A,B∈C=>A∩B∈λ(C)
C 为一集类，若它满足下列条件之一，则有 m ( C ) = σ ( C ) 1. A , B ∈ C = > A ∩ B ∈ C ， A ∈ C = > A c ∈ C δ 2. A , B ∈ C = > A ∪ B ∈ C , A ∈ C = > A c ∈ C δ C为一集类，若它满足下列条件之一，则有m(C)=\sigma(C) \\1.A,B \in C=>A \cap B \in C，A \in C=>A^c \in C_{\delta} \\2.A,B \in C=>A \cup B \in C,A \in C=>A^c \in C_{\delta} C为一集类，若它满足下列条件之一，则有m(C)=σ(C)1.A,B∈C=>A∩B∈C，A∈C=>Ac∈Cδ2.A,B∈C=>A∪B∈C,A∈C=>Ac∈Cδ

拓扑空间

基

设 X 为非空集合， β ⊂ P ( X ) 设X为非空集合，\beta \subset P(X) 设X为非空集合，β⊂P(X)
1. 若 β 是 X 上某拓扑的基，则 ( 1 ) ∪ B ∈ β B = X ( 2 ) 若 B 1 、 B 2 ∈ β 且 x ∈ B 1 ∩ B 2 ，则 ∃ B x ∈ β , s . t . x ∈ β ， x ∈ B x ⊂ B 1 ∩ B 2 2. 若 β 满足 ( 1 ) 和 ( 2 ) ，则存在唯一的拓扑 τ = { G ⊂ X : ∃ β G ⊂ β , s . t . G = ∪ B ∈ β G B } 以 β 为基，并称这个拓扑是以 β 为基生成的拓扑。 1.若\beta 是X上某拓扑的基，则 \\(1)\cup_{B \in \beta}B=X \\(2)若B_1、B_2 \in \beta且x \in B_1\cap B_2，则\exists B_x \in \beta,s.t. x \in \beta，x \in B_x \subset B_1\cap B_2 \\2.若\beta满足(1)和(2)，则存在唯一的拓扑 \\\tau=\{G \subset X:\exists \beta_G \subset \beta ,s.t.G=\cup_{B\in \beta_G}B\} \\以\beta为基，并称这个拓扑是以\beta为基生成的拓扑。 1.若β是X上某拓扑的基，则(1)∪B∈βB=X(2)若B1、B2∈β且x∈B1∩B2，则∃Bx∈β,s.t.x∈β，x∈Bx⊂B1∩B22.若β满足(1)和(2)，则存在唯一的拓扑τ={G⊂X:∃βG⊂β,s.t.G=∪B∈βGB}以β为基，并称这个拓扑是以β为基生成的拓扑。
设 β 是拓扑空间 X 的一个基，若 β 是可数的，则称 X 具有可数基设\beta是拓扑空间X的一个基，若\beta是可数的，则称X具有可数基设β是拓扑空间X的一个基，若β是可数的，则称X具有可数基
例题

下面内容由文心一言自动生成

拓扑空间是数学中的一个重要概念，它允许我们在不考虑距离和角度的具体度量下，研究空间的几何性质和变换。在拓扑空间中，"基"通常指的是一组特定的开集，这些开集的并集能够生成整个空间上的拓扑结构。以下是一个关于拓扑空间基的例题：

题目：设 X X X是一个集合， X X X上的一组子集 B \mathcal{B} B满足以下条件：

B \mathcal{B} B中的任意两个元素的交集可以表示为 B \mathcal{B} B中某些元素的并集。

X X X可以表示为 B \mathcal{B} B中某些元素的并集。

证明：由 B \mathcal{B} B生成的拓扑空间 ( X , T ) (X, \mathcal{T}) (X,T)中， B \mathcal{B} B是 T \mathcal{T} T的一个基。

证明：

定义由 B \mathcal{B} B生成的拓扑：

首先，我们定义由 B \mathcal{B} B生成的拓扑 T \mathcal{T} T。设 T \mathcal{T} T是包含 B \mathcal{B} B的最小集合，且满足以下条件：

∅ ∈ T \emptyset \in \mathcal{T} ∅∈T（空集是任何拓扑的一部分）。

如果 U 1 , U 2 , ... ∈ T U_1, U_2, \ldots \in \mathcal{T} U1,U2,...∈T，则 ⋃ i = 1 ∞ U i ∈ T \bigcup_{i=1}^\infty U_i \in \mathcal{T} ⋃i=1∞Ui∈T（任意多个开集的并集是开集）。

如果 U 1 , U 2 ∈ T U_1, U_2 \in \mathcal{T} U1,U2∈T，则 U 1 ∩ U 2 ∈ T U_1 \cap U_2 \in \mathcal{T} U1∩U2∈T（有限多个开集的交集是开集）。

由于 B \mathcal{B} B满足题目中的条件，且我们要求 T \mathcal{T} T是最小的这样的集合，因此可以通过不断添加由 B \mathcal{B} B中元素通过并集和有限交集运算得到的集合来构造 T \mathcal{T} T。

证明 B \mathcal{B} B是 T \mathcal{T} T的基：

根据拓扑空间基的定义，一个集合 B \mathcal{B} B是拓扑空间 ( X , T ) (X, \mathcal{T}) (X,T)的基，如果对于 T \mathcal{T} T中的任意元素 U U U（即任意开集），都存在 B \mathcal{B} B中的元素 B 1 , B 2 , ... B_1, B_2, \ldots B1,B2,...（可能有无穷多个），使得 U = ⋃ i = 1 ∞ B i U = \bigcup_{i=1}^\infty B_i U=⋃i=1∞Bi。

现在，对于 T \mathcal{T} T中的任意元素 U U U，由于 U ∈ T U \in \mathcal{T} U∈T，且 T \mathcal{T} T是由 B \mathcal{B} B通过并集和有限交集运算得到的，因此我们可以使用归纳法（或超限归纳法，如果涉及到无穷多个集合）来证明 U U U可以由 B \mathcal{B} B中的元素通过并集得到。具体来说，如果 U U U本身就是 B \mathcal{B} B中的元素，则结论显然成立。如果 U U U不是 B \mathcal{B} B中的元素，则 U U U必然是通过并集和有限交集运算从 B \mathcal{B} B中的元素得到的。由于并集和有限交集运算可以相互转化（即，可以通过并集和补集运算来表示有限交集），我们可以最终将 U U U表示为 B \mathcal{B} B中某些元素的并集。

注意：这里的证明依赖于 B \mathcal{B} B满足题目中的条件，特别是第一个条件（任意两个元素的交集可以表示为某些元素的并集），这保证了在通过并集和有限交集运算构造 T \mathcal{T} T时，不会超出由 B \mathcal{B} B生成的集合范围。

结论：

因此，我们证明了由 B \mathcal{B} B生成的拓扑空间 ( X , T ) (X, \mathcal{T}) (X,T)中， B \mathcal{B} B是 T \mathcal{T} T的一个基。

注意

这个例题是一个较为抽象的证明题，旨在理解拓扑空间基的概念和性质。

在实际应用中，拓扑空间的基往往是具体给出的，例如实数集上的开区间集合是实数集上标准拓扑的一个基。

拓扑空间的基不是唯一的，但不同的基会生成相同的拓扑结构。

几个拓扑空间基的例子

由文心一言自动生成

成为拓扑空间基的具体条件

以下内容由文心一言自动生成

成为拓扑空间基的条件主要基于拓扑基的定义和性质。以下是成为拓扑空间基的具体条件：

1. 覆盖性

条件描述 ：基中的元素（开集）的并集必须等于整个拓扑空间。这确保了拓扑空间中的每一个点都至少被一个基元素所覆盖。

数学表达 ：设 B \mathcal{B} B是拓扑空间 X X X的一个子集族，如果 ⋃ B ∈ B B = X \bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X ⋃B∈BB=X，则满足覆盖性条件。

2. 有限交性质

条件描述 ：对于基中任意两个元素的交集，如果这个交集非空，则必须存在基中的另一个元素，它是这两个元素交集的子集。这保证了通过基元素可以"精细地"构造出拓扑空间中的所有开集。

数学表达 ：对于任意 B 1 , B 2 ∈ B B_1, B_2\in\mathcal{B} B1,B2∈B，如果 B 1 ∩ B 2 ≠ ∅ B_1\cap B_2\neq\emptyset B1∩B2=∅，则存在 B 3 ∈ B B_3\in\mathcal{B} B3∈B，使得 B 3 ⊆ B 1 ∩ B 2 B_3\subseteq B_1\cap B_2 B3⊆B1∩B2。

3. 生成的拓扑

条件描述 （隐含）：基中元素的并集可以生成拓扑空间中的所有开集。具体来说，对于拓扑空间 X X X的任意子集 U U U，如果 U U U可以表示为基中某些元素的并集，则 U U U是开集。

数学表达 ：设 T \mathcal{T} T是由基 B \mathcal{B} B生成的拓扑，则对于任意 U ⊆ X U\subseteq X U⊆X，如果 U = ⋃ i ∈ I B i U=\bigcup_{i\in I}B_i U=⋃i∈IBi，其中 I I I是某个指标集，且对于所有 i ∈ I i\in I i∈I，有 B i ∈ B B_i\in\mathcal{B} Bi∈B，则 U ∈ T U\in\mathcal{T} U∈T。

4. 唯一性（非必须，但重要性质）

条件描述：虽然不同的基可能生成相同的拓扑，但在某些情况下，我们可能希望找到一个"最小"或"最自然"的基。这通常与拓扑空间的特定性质或结构有关。

注意：唯一性不是成为拓扑空间基的必要条件，但它对于理解和描述拓扑空间的结构非常重要。

总结

成为拓扑空间基的条件主要包括覆盖性和有限交性质。这两个条件确保了基元素能够"有效地"覆盖整个拓扑空间，并通过并集和有限交的方式生成出所有的开集。同时，虽然唯一性不是必要条件，但寻找最小或最自然的基对于理解和应用拓扑空间具有重要意义。

更多例子及证明在拓扑学中，拓扑空间的基（也称为拓扑基）是一个重要的概念，它用于描述拓扑空间中的开集族，这些开集族能够生成整个拓扑空间的所有开集。以下是几个具体的拓扑空间基的例子及其详细解释和证明。

拓扑空间基的充要条件
成为拓扑空间基的充要条件可以归纳如下：

以下内容由文心一言自动生成

设 ( X , T ) (X, \mathcal{T}) (X,T)是一个拓扑空间， B ⊆ T \mathcal{B} \subseteq \mathcal{T} B⊆T是 T \mathcal{T} T的一个子集族。则 B \mathcal{B} B是 T \mathcal{T} T的一组拓扑基的充要条件是：

覆盖性：

⋃ B ∈ B B = X \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B = X ⋃B∈BB=X。即，基中所有元素的并集等于整个拓扑空间。这保证了拓扑空间中的每一个点都至少被一个基元素所覆盖。

有限交性质（或称为"局部有限性"的某种形式）：

对于任意 x ∈ X x \in X x∈X和任意包含 x x x的开集 U ∈ T U \in \mathcal{T} U∈T，存在 B ∈ B B \in \mathcal{B} B∈B使得 x ∈ B ⊆ U x \in B \subseteq U x∈B⊆U。这实际上是有限交性质在点集拓扑中的具体体现，它确保了通过基元素可以"精细地"构造出拓扑空间中的所有开集。更一般地，这也意味着对于任意两个基元素 B 1 , B 2 ∈ B B_1, B_2 \in \mathcal{B} B1,B2∈B（如果它们的交集非空），则对于交集中的任意点 x x x，都存在另一个基元素 B ∈ B B \in \mathcal{B} B∈B，使得 x ∈ B ⊆ B 1 ∩ B 2 x \in B \subseteq B_1 \cap B_2 x∈B⊆B1∩B2。然而，这一表述更侧重于点的视角，而非直接描述交集的有限性。
这个条件实际上隐含了有限交性质的一种形式，即对于任意两个基元素的交集（如果非空），在交集中的每一点附近都可以找到一个更小的基元素来"细化"这个交集。然而，这个条件更侧重于从点的视角来描述基的性质。

生成性（隐含于定义中）：

拓扑空间 T \mathcal{T} T中的任意开集都可以表示为基 B \mathcal{B} B中某些元素的并集。这是拓扑基定义的自然结果，也是它被称为"基"的原因。

证明思路（简要）

必要性 ：假设 B \mathcal{B} B是 T \mathcal{T} T的一组拓扑基。

覆盖性：由拓扑基的定义直接得出。

有限交性质：对于任意 x ∈ X x \in X x∈X和任意开集 U ∋ x U \ni x U∋x，由于 U U U是开集，且 B \mathcal{B} B是拓扑基，根据拓扑基的性质，存在 B ∈ B B \in \mathcal{B} B∈B使得 x ∈ B ⊆ U x \in B \subseteq U x∈B⊆U。

充分性 ：假设 B \mathcal{B} B满足上述两个条件。

验证生成性：对于任意开集 U ∈ T U \in \mathcal{T} U∈T，由于 B \mathcal{B} B满足覆盖性，对于任意 x ∈ U x \in U x∈U，存在 B x ∈ B B_x \in \mathcal{B} Bx∈B使得 x ∈ B x ⊆ U x \in B_x \subseteq U x∈Bx⊆U。因此， U = ⋃ x ∈ U B x U = \bigcup_{x \in U} B_x U=⋃x∈UBx，即 U U U可以表示为基中元素的并集。

注意事项

有限交性质在这里的表述侧重于点的视角，而非直接描述交集的有限性。在更一般的上下文中，有限交性质可能涉及更复杂的交集结构。

生成性是拓扑基定义的自然结果，通常不需要单独作为充要条件的一部分来验证。然而，在理解拓扑基的概念时，它是非常重要的。

不同的教材或文献中，对拓扑基的定义和性质的表述可能略有不同，但核心思想是一致的。

几个拓扑空间基的证明例子

拓扑空间的基是拓扑学中一个核心概念，它用于描述拓扑空间中的开集族，这些开集族满足特定条件，能够生成整个拓扑空间的所有开集。以下是几个拓扑空间的基的例子及其详细解释证明：

例子1：度量空间的球形邻域基

描述：设 ( X , ρ ) (X,\rho) (X,ρ)是度量空间，其中 ρ \rho ρ是度量函数。则所有的球形邻域 { B ( x , r ) ∣ x ∈ X , r > 0 } \{B(x,r)|x\in X, r>0\} {B(x,r)∣x∈X,r>0}（其中 B ( x , r ) B(x,r) B(x,r)表示以 x x x为中心， r r r为半径的开球）构成 X X X的一组拓扑基。

证明：

条件一验证 ：对于任意 x ∈ X x\in X x∈X，存在 r > 0 r>0 r>0（例如取 r = 1 r=1 r=1），使得 x ∈ B ( x , r ) x\in B(x,r) x∈B(x,r)，即每个点都被至少一个基元素包含。

条件二验证 ：对于任意两个基元素 B ( x 1 , r 1 ) B(x_1,r_1) B(x1,r1)和 B ( x 2 , r 2 ) B(x_2,r_2) B(x2,r2)，以及任意 y ∈ B ( x 1 , r 1 ) ∩ B ( x 2 , r 2 ) y\in B(x_1,r_1)\cap B(x_2,r_2) y∈B(x1,r1)∩B(x2,r2)，存在某个 r > 0 r>0 r>0（例如取 r = min ⁡ { r 1 − d ( x 1 , y ) , r 2 − d ( x 2 , y ) } r=\min\{r_1-d(x_1,y), r_2-d(x_2,y)\} r=min{r1−d(x1,y),r2−d(x2,y)}，其中 d ( x 1 , y ) d(x_1,y) d(x1,y)和 d ( x 2 , y ) d(x_2,y) d(x2,y)分别表示 x 1 x_1 x1到 y y y和 x 2 x_2 x2到 y y y的距离，注意这里需要 r 1 , r 2 r_1, r_2 r1,r2足够大使得 r r r为正数），使得 y ∈ B ( y , r ) ⊂ B ( x 1 , r 1 ) ∩ B ( x 2 , r 2 ) y\in B(y,r)\subset B(x_1,r_1)\cap B(x_2,r_2) y∈B(y,r)⊂B(x1,r1)∩B(x2,r2)。这是因为度量空间中的开球具有嵌套性质。

例子2：离散空间的单点集基

描述：设 X X X是任意集合，赋予离散拓扑，则所有单点集 { { x } ∣ x ∈ X } \{\{x\}|x\in X\} {{x}∣x∈X}构成 X X X的一组拓扑基。

证明：

条件一验证 ：对于任意 x ∈ X x\in X x∈X，显然有 { x } ∈ { { x } ∣ x ∈ X } \{x\}\in \{\{x\}|x\in X\} {x}∈{{x}∣x∈X}，即每个点都被一个单点集包含。

条件二验证 ：对于任意两个单点集 { x 1 } \{x_1\} {x1}和 { x 2 } \{x_2\} {x2}，如果它们有交集（即 x 1 = x 2 x_1=x_2 x1=x2），则它们的交集就是 { x 1 } \{x_1\} {x1}（或 { x 2 } \{x_2\} {x2}），此时可以取 { x 1 } \{x_1\} {x1}（或 { x 2 } \{x_2\} {x2}）作为满足条件的基元素。如果它们没有交集，则不需要考虑，因为条件二只要求对于有交集的基元素成立。

例子3：实数集的下限拓扑基

描述：设 R \mathbb{R} R是实数集，令 B = { [ a , b ) ∣ a , b ∈ R , a < b } \mathcal{B}=\{[a,b)|a,b\in\mathbb{R},a<b\} B={[a,b)∣a,b∈R,a<b}，则 B \mathcal{B} B是 R \mathbb{R} R的一组拓扑基，它定义的拓扑称为下限拓扑。

证明：

条件一验证 ：对于任意 x ∈ R x\in\mathbb{R} x∈R，可以取 [ x − 1 , x ) ∈ B [x-1,x)\in\mathcal{B} [x−1,x)∈B，使得 x ∈ [ x − 1 , x ) x\in[x-1,x) x∈[x−1,x)。

条件二验证 ：对于任意两个基元素 [ a 1 , b 1 ) [a_1,b_1) [a1,b1)和 [ a 2 , b 2 ) [a_2,b_2) [a2,b2)，以及任意 y ∈ [ a 1 , b 1 ) ∩ [ a 2 , b 2 ) y\in[a_1,b_1)\cap[a_2,b_2) y∈[a1,b1)∩[a2,b2)，可以取 [ y , min ⁡ { b 1 , b 2 } ) ∈ B [y, \min\{b_1,b_2\})\in\mathcal{B} [y,min{b1,b2})∈B，使得 y ∈ [ y , min ⁡ { b 1 , b 2 } ) ⊂ [ a 1 , b 1 ) ∩ [ a 2 , b 2 ) y\in[y, \min\{b_1,b_2\})\subset[a_1,b_1)\cap[a_2,b_2) y∈[y,min{b1,b2})⊂[a1,b1)∩[a2,b2)。

总结

以上三个例子展示了不同类型的拓扑空间及其对应的基。在证明过程中，我们主要验证了基的两个基本条件：

每个点都被至少一个基元素包含

任意两个基元素的交集可以通过某个基元素来"细化"。

这些基元素共同生成了拓扑空间中的所有开集。

参考文献

1.文心一言

2.《测度论基础与高等概率论》

3.《测度论讲义》第三版