矩阵算法的介绍和实现

一. 介绍

首先我们要清楚矩阵是什么：矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合

1> 定义

定义：m×n矩阵为m×n个数排成的m行n列 的表格，当m=n时，矩阵A称为n阶方阵 或者n阶矩阵。
零矩阵：矩阵所有元素都为0。
同型矩阵：A矩阵为m×n矩阵，B矩阵为s×t矩阵，如果m=s,n=t，A和B即为同型矩阵。
A和B相等：两个同型矩阵对应的元素都相等
|A|（detA）:n阶方阵A构成的行列式。

以上就为3*4的一个矩阵

2> 运算

加法：两个同型矩阵可以相加
数乘：k为数，数乘时是将k与矩阵中每一个元素进行乘积
乘法：设A是一个m×s矩阵，B是一个s×t矩阵（A的列数=B的行数），则A、B可乘，且乘积AB是一个m×t矩阵，记为C。其中C的第i行、第j列元素Cij是A的第i行s个元素和B的第j列s个对应元素两两乘积之和。（每个新元素等于原来两个矩阵对应行元素逐个乘上对应列元素，再加和）
转置：将m×n型矩阵A=[aij]m×n的行列互换的到的n×m矩阵[aji]n×m，称为A的转置矩阵。
矩阵多项式：设A是n阶矩阵，f(x)=amxm+......+a1x+a0是x的多项式，则称 amAm+am-1Am-1+......+a1A+a0E为矩阵多项式，记为f(A)

3> 性质：

Ⅰ.加法

A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
A+O=A (其中O是元素全为0的同型矩阵)
A+(-A)=O

Ⅱ.数乘

k(mA)=(km)A=m(kA)
(k+m)A=kA+mA
k(A+B)=kA+kB
1A=A
0A=O

Ⅲ.乘法

(AB)C=A(BC)
A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA（注意顺序不可以颠倒）

Ⅳ.转置

(A+B)T=AT+BT
(kA)T=kAT
(AB)T=BTAT
(AT)T=A

注意

AB≠BA
A≠O，B≠O，但有可能AB=O
AB=AC，A≠O不能推出B=C
(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2
(A+E)2=A2+2A+E
(A+E)(A-E)=A2-E2
AB=O 可推出B的列向量是AX=0的解

二. 算法

矩阵类题目常常把思考的维度从一维扩展到二维，需要考虑的边界条件也相应增多，以矩阵为背景的题目大多有动态规划类型、记忆搜索类型、深度优先搜索类型等等。

实例一：

题目描述：有x*y大小的格子，只能从左往右、从上往下走，问从左上到右下有多少种走法

示例：

一个2*3的矩阵，

1 2 3

4 5 6

从1出发走到6，则可能的走法为：1 2 3 6, 1 2 5 6, 1 4 5 6共有三种。

解决思路：从最后一个格子进行倒推，需要找到关系方程：res[i][j] = res[i-1][j] + res[i][j-1]，然后可以用递归或者非递归的方法进行求解。

递归：

java 复制代码

public static int numPath(int x, int y) {
    if(x==1||y==1) return 1;
    return numPath2(x-1, y) + numPath2(x, y-1);
  }

非递归：

java 复制代码

public static int numPath(int x, int y) {
    if(x == 1 || y == 1){
       return 1;
    }
    int[][] res = new int[x][y];
    for(int i = 0; i < x; i++){
       res[i][0] = 1;
    }
    for(int i = 0; i < y; i++){
       res[0][i] = 1;
    }
    for(int i = 1; i < x; i++) {
      for(int j = 1; j < y; j++) {
        res[i][j] = res[i-1][j] + res[i][j-1];
      }
    }
    return res[x-1][y-1];
  }

示例二：

给定一个 mxn 的矩阵，如果一个元素为 0 ，则将其所在行和列的所有元素都设为 0 。请使用原地算法**。**

使用两个标记变量

思路和算法

在代码中，我们用两个标记数组分别记录每一行和每一列是否有零出现， 我们首先预处理出两个标记变量，接着使用其他行与列去处理第一行与第一列，然后反过来使用第一行与第一列去更新其他行与列，最后使用两个标记变量更新第一行与第一列即可。

java 复制代码

class Solution {
    public void setZeroes(int[][] matrix) {
        int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
        boolean flagCol0 = false, flagRow0 = false;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            if (matrix[i][0] == 0) {
                flagCol0 = true;
            }
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (matrix[0][j] == 0) {
                flagRow0 = true;
            }
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (matrix[i][j] == 0) {
                    matrix[i][0] = matrix[0][j] = 0;
                }
            }
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (matrix[i][0] == 0 || matrix[0][j] == 0) {
                    matrix[i][j] = 0;
                }
            }
        }
        if (flagCol0) {
            for (int i = 0; i < m; i++) {
                matrix[i][0] = 0;
            }
        }
        if (flagRow0) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                matrix[0][j] = 0;
            }
        }
    }
}

题出处:73. 矩阵置零 - 力扣（LeetCode）

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