先用导数求解
已知x+y=8
求xy(x-y)的最大值
令y=8-x
则 f(x)=x⋅(8−x)⋅(x−(8−x))=x⋅(8−x)⋅(2x−8)
导数方程为 f(x)'=-3x^2 + 24x - 32
求方程 − 3 x 2 + 24 x − 32 = 0 -3x^2 + 24x - 32 = 0 −3x2+24x−32=0 的根。
首先，我们可以尝试对方程进行因式分解。观察方程，我们可以发现它可以写成：
− 3 ( x 2 − 8 x + 32 3 ) = 0 -3(x^2 - 8x + \frac{32}{3}) = 0 −3(x2−8x+332)=0
但是，直接因式分解可能不太容易。因此，我们可以使用求根公式来找到方程的解。
对于一般形式的一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 ax2+bx+c=0，其解为：
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac
将我们的方程的系数代入求根公式，我们得到：
x = − 24 ± 2 4 2 − 4 × ( − 3 ) × ( − 32 ) 2 × ( − 3 ) x = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \times (-3) \times (-32)}}{2 \times (-3)} x=2×(−3)−24±242−4×(−3)×(−32)
x = − 24 ± 576 − 384 − 6 x = \frac{-24 \pm \sqrt{576 - 384}}{-6} x=−6−24±576−384
x = − 24 ± 192 − 6 x = \frac{-24 \pm \sqrt{192}}{-6} x=−6−24±192
x = − 24 ± 8 3 − 6 x = \frac{-24 \pm 8\sqrt{3}}{-6} x=−6−24±83
这给出了两个解：
x 1 = − 24 + 8 3 − 6 = 4 − 4 3 3 x_1 = \frac{-24 + 8\sqrt{3}}{-6} = 4 - \frac{4\sqrt{3}}{3} x1=−6−24+83 =4−343
x 2 = − 24 − 8 3 − 6 = 4 + 4 3 3 x_2 = \frac{-24 - 8\sqrt{3}}{-6} = 4 + \frac{4\sqrt{3}}{3} x2=−6−24−83 =4+343
所以，方程 − 3 x 2 + 24 x − 32 = 0 -3x^2 + 24x - 32 = 0 −3x2+24x−32=0 的根是 x 1 = 4 − 4 3 3 x_1 = 4 - \frac{4\sqrt{3}}{3} x1=4−343 和 x 2 = 4 + 4 3 3 x_2 = 4 + \frac{4\sqrt{3}}{3} x2=4+343 。
python
from scipy.optimize import minimize
# 定义原函数
def func(x):
return x * (8 - x) * (2 * x - 8)
# 定义相反数函数
def neg_func(x):
return -func(x)
# 求相反数函数的极小值，即原函数的极大值
res = minimize(neg_func, x0=4) # x0是初始猜测值
# 输出结果
print("极大值点 x =", res.x)
print("极大值 y =", -res.fun) # 注意取相反数得到原函数的值