【CF补题&&数学&&裴蜀定理】 div969 C Dora and C++

Dora and C++

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分析：

对于两个数x,y

我们想要通过如下操作使得他们的差变得尽可能小

我们要如何操作？

这个操作也就是相当于 d e l = ∣ y − x ∣ − k 1 ∗ x − k 2 ∗ y del=|y-x|-k_1*x-k_2*y del=∣y−x∣−k1∗x−k2∗y，让这个差值最小

对于 k 1 ∗ x + k 2 ∗ y k_1*x+k_2*y k1∗x+k2∗y这个操作

根据裴蜀定理，我们知道 k 1 x + k 2 y = k ∗ g c d ( x , y ) k_1x+k_2y=k*gcd(x,y) k1x+k2y=k∗gcd(x,y)

也就是说通过这个操作得到的数，一定是 g c d ( x , y ) gcd(x,y) gcd(x,y)的倍数

那么， M i n ( d e l ) = ∣ y − x ∣ % g c d Min(del)=|y-x|\%gcd Min(del)=∣y−x∣%gcd

我们对上式的 x , y x,y x,y用另一种形式表示：
x = X + k x g c d x=X+k_xgcd x=X+kxgcd
y = Y + k y g c d y=Y+k_ygcd y=Y+kygcd
∣ y − x ∣ = ∣ Y − X + ( k y − k x ) g c d ∣ |y-x|=|Y-X+(k_y-k_x)gcd| ∣y−x∣=∣Y−X+(ky−kx)gcd∣

经过 m o d mod mod意义之后，其实 ∣ y − x ∣ m i n = ∣ Y − X ∣ |y-x|_{min}=|Y-X| ∣y−x∣min=∣Y−X∣

其实就是说，x和y在这个条件下可以等价于 x % g c d 以及 y % g c d x\%gcd以及y\%gcd x%gcd以及y%gcd

他们的差值最小值也就是取模意义之后两数的差的绝对值

那么对于这道题而言，最小的差值就是每个数 M o d g c d Mod\ gcd Mod gcd意义下的极差。

但是其实并不完全。

比如取模意义后两个数变成0和2，而gcd=3

实际上可以让0+3，再和2去做差

这个其实就类似于一个环形的问题

跨越之后可能让差值更小

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int N = 2e5+100;
int n,x,y;
int a[N];

int gcd(int x,int y){
	return y == 0?x:gcd(y,x%y);
}

void Work(){
	cin>>n>>x>>y;
	int g = gcd(x,y);
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin>>a[i],a[i]%=g;
	sort(a+1,a+n+1);
	for (int i = n+1; i <= 2*n; i++) a[i] = a[i-n]+g;
	int Min = 1e9+7;
	for (int i = 1; i <= n+1; i++)
	  Min = min(Min,a[i+n-1]-a[i]);
	cout<<Min<<endl;
	return;
}

signed main(){
	int t; cin>>t;
	while (t--) Work();
	return 0;
}