打卡第五十八天：拓扑排序、dijkstra

一、拓扑排序

题目

文章

拓扑排序的背景

拓扑排序是经典的图论问题。

拓扑排序的应用场景。

概括来说，给出一个有向图，把这个有向图转成线性的排序就叫拓扑排序。

当然拓扑排序也要检测这个有向图是否有环，即存在循环依赖的情况，因为这种情况是不能做线性排序的。

所以拓扑排序也是图论中判断有向无环图的常用方法。

拓扑排序的思路

拓扑排序指的是一种解决问题的大体思路，而具体算法，可能是广搜也可能是深搜。

其实只要能在把有向无环图进行线性排序的算法都可以叫做拓扑排序。

实现拓扑排序的算法有两种：卡恩算法（BFS）和DFS

卡恩1962年提出这种解决拓扑排序的思路

一般来说我们只需要掌握 BFS （广度优先搜索）就可以了，清晰易懂

接下来讲解BFS的实现思路。

以题目中示例为例如图：

做拓扑排序的话，如果肉眼去找开头的节点，一定能找到节点0 吧，都知道要从节点0 开始。

但为什么我们能找到节点0呢，因为我们肉眼看着这个图就是从节点0出发的。

作为出发节点，它有什么特征？节点0 的入度为0 出度为2，也就是没有边指向它，而它有两条边是指出去的。

节点的入度表示有多少条边指向它，节点的出度表示有多少条边从该节点出发。

做拓扑排序的时候，应该优先找入度为 0 的节点，只有入度为0，它才是出发节点。

接下来我给出拓扑排序的过程，其实就两步：

找到入度为0 的节点，加入结果集
将该节点从图中移除

循环以上两步，直到所有节点都在图中被移除了。

结果集的顺序，就是我们想要的拓扑排序顺序（结果集里顺序可能不唯一）

模拟过程

用本题的示例来模拟这一过程：

1、找到入度为0 的节点，加入结果集

2、将该节点从图中移除

1、找到入度为0 的节点，加入结果集

节点1 和节点2 入度都为0，选哪个呢？

选哪个都行，所以这也是为什么拓扑排序的结果是不唯一的。

2、将该节点从图中移除

1、找到入度为0 的节点，加入结果集

节点2 和节点3 入度都为0，选哪个都行，这里选节点2

2、将该节点从图中移除

后面的过程一样的，节点3 和节点4，入度都为0，选哪个都行。

最后结果集为： 0 1 2 3 4 。当然结果不唯一的。

判断有环

如果有有向环怎么办呢？例如这个图：

这个图只能将入度为0 的节点0 接入结果集。

之后，节点1、2、3、4 形成了环，找不到入度为0 的节点了，所以此时结果集里只有一个元素。

那么如果发现结果集元素个数不等于图中节点个数，我们就可以认定图中一定有有向环

这也是拓扑排序判断有向环的方法。

写代码

理解思想后，确实不难，但代码写起来也不容易。

为了每次可以找到所有节点的入度信息，在初始化的时候，就把每个节点的入度和每个节点的依赖关系做统计。

代码如下：

cpp 复制代码

cin >> n >> m;
vector<int> inDegree(n, 0); // 记录每个文件的入度
vector<int> result; // 记录结果
unordered_map<int, vector<int>> umap; // 记录文件依赖关系

while (m--) {
    // s->t，先有s才能有t
    cin >> s >> t;
    inDegree[t]++; // t的入度加一
    umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些文件
}

找入度为0 的节点，需要用一个队列放存放。

因为每次寻找入度为0的节点，不一定只有一个节点，可能很多节点入度都为0，所以要将这些入度为0的节点放到队列里，依次去处理。

代码如下：

cpp 复制代码

queue<int> que;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    // 入度为0的节点，可以作为开头，先加入队列
    if (inDegree[i] == 0) que.push(i);
}

开始从队列里遍历入度为0 的节点，将其放入结果集。

cpp 复制代码

while (que.size()) {
    int  cur = que.front(); // 当前选中的节点
    que.pop();
    result.push_back(cur);
    // 将该节点从图中移除 

}

这里面还有一个很重要的过程，如何把这个入度为0的节点从图中移除呢？

首先为什么要把节点从图中移除？为的是将该节点作为出发点所连接的边删掉。

删掉的目的是要把该节点作为出发点所连接的节点的入度减一。

如果这里不理解，看上面的模拟过程第一步：

这事节点1 和节点2 的入度为 1。

将节点0删除后，图为这样：

那么节点0 作为出发点所连接的节点的入度就都做了减一的操作。

此时节点1 和节点 2 的入度都为0，这样才能作为下一轮选取的节点。

所以，我们在代码实现的过程中，本质是要将该节点作为出发点所连接的节点的入度减一就可以了，这样好能根据入度找下一个节点，不用真在图里把这个节点删掉。

该过程代码如下：

cpp 复制代码

while (que.size()) {
    int  cur = que.front(); // 当前选中的节点
    que.pop();
    result.push_back(cur);
    // 将该节点从图中移除 
    vector<int> files = umap[cur]; //获取cur指向的节点
    if (files.size()) { // 如果cur有指向的节点
        for (int i = 0; i < files.size(); i++) { // 遍历cur指向的节点
            inDegree[files[i]] --; // cur指向的节点入度都做减一操作
            // 如果指向的节点减一之后，入度为0，说明是我们要选取的下一个节点，放入队列。
            if(inDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]); 
        }
    }

}

最后代码如下：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_map>
using namespace std;
int main() {
    int m, n, s, t;
    cin >> n >> m;
    vector<int> inDegree(n, 0); // 记录每个文件的入度

    unordered_map<int, vector<int>> umap;// 记录文件依赖关系
    vector<int> result; // 记录结果

    while (m--) {
        // s->t，先有s才能有t
        cin >> s >> t;
        inDegree[t]++; // t的入度加一
        umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些文件
    }
    queue<int> que;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 入度为0的文件，可以作为开头，先加入队列
        if (inDegree[i] == 0) que.push(i);
        //cout << inDegree[i] << endl;
    }
    // int count = 0;
    while (que.size()) {
        int  cur = que.front(); // 当前选中的文件
        que.pop();
        //count++;
        result.push_back(cur);
        vector<int> files = umap[cur]; //获取该文件指向的文件
        if (files.size()) { // cur有后续文件
            for (int i = 0; i < files.size(); i++) {
                inDegree[files[i]] --; // cur的指向的文件入度-1
                if(inDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]);
            }
        }
    }
    if (result.size() == n) {
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) cout << result[i] << " ";
        cout << result[n - 1];
    } else cout << -1 << endl;


}

二、dijkstra

题目

文章

本题就是求最短路，最短路是图论中的经典问题即：给出一个有向图，一个起点，一个终点，问起点到终点的最短路径。

dijkstra算法：在有权图（权值非负数）中求从起点到其他节点的最短路径算法。

需要注意两点：

dijkstra 算法可以同时求起点到所有节点的最短路径
权值不能为负数

（这两点后面我们会讲到）

如本题示例中的图：

起点（节点1）到终点（节点7）的最短路径是图中标记绿线的部分。

最短路径的权值为12。

其实 dijkstra 算法和我们之前讲解的prim算法思路非常接近。dijkstra 算法同样是贪心的思路，不断寻找距离源点最近的没有访问过的节点。

dijkstra三部曲：

第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
第二步，该最近节点被标记访问过
第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）

在dijkstra算法中，同样有一个数组很重要，起名为：minDist。minDist数组用来记录每一个节点距离源点的最小距离。

朴素版dijkstra

模拟过程

0、初始化

minDist数组数值初始化为int最大值。

minDist数组的含义：记录所有节点到源点的最短路径，那么初始化的时候就应该初始为最大值，这样才能在后续出现最短路径的时候及时更新。

（图中，max 表示默认值，节点0 不做处理，统一从下标1 开始计算，这样下标和节点数值统一，方便理解）

源点（节点1）到自己的距离为0，所以 minDist[1] = 0

此时所有节点都没有被访问过，所以 visited数组都为0

以下为dijkstra 三部曲

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离源点最近，距离为0，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记源点访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组），如图：

更新 minDist数组，即：源点（节点1）到节点2 和节点3的距离。

源点到节点2的最短距离为1，小于原minDist[2]的数值max，更新minDist[2] = 1
源点到节点3的最短距离为4，小于原minDist[3]的数值max，更新minDist[3] = 4

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

未访问过的节点中，源点到节点2距离最近，选节点2

2、该最近节点被标记访问过

节点2被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组），如图：

更新 minDist数组，即：源点（节点1）到节点6 、节点3 和节点4的距离。

为什么更新这些节点呢？怎么不更新其他节点呢？

因为源点（节点1）通过已经计算过的节点（节点2）可以链接到的节点有节点3，节点4和节点6.

更新 minDist数组：

源点到节点6的最短距离为5，小于原minDist[6]的数值max，更新minDist[6] = 5
源点到节点3的最短距离为3，小于原minDist[3]的数值4，更新minDist[3] = 3
源点到节点4的最短距离为6，小于原minDist[4]的数值max，更新minDist[4] = 6

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

未访问过的节点中，源点距离哪些节点最近，怎么算的？其实就是看 minDist数组里的数值，minDist 记录了源点到所有节点的最近距离，结合visited数组筛选出未访问的节点就好。

从上面的图，或者从minDist数组中，我们都能看出未访问过的节点中，源点（节点1）到节点3距离最近。

2、该最近节点被标记访问过

节点3被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组），如图：

由于节点3的加入，那么源点可以有新的路径链接到节点4 所以更新minDist数组：

更新 minDist数组：

源点到节点4的最短距离为5，小于原minDist[4]的数值6，更新minDist[4] = 5

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

距离源点最近且没有被访问过的节点，有节点4 和节点6，距离源点距离都是 5 （minDist[4] = 5，minDist[6] = 5），选哪个节点都可以。

2、该最近节点被标记访问过

节点4被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组），如图：

由于节点4的加入，那么源点可以链接到节点5 所以更新minDist数组：

源点到节点5的最短距离为8，小于原minDist[5]的数值max，更新minDist[5] = 8

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

距离源点最近且没有被访问过的节点，是节点6，距离源点距离是 5 （minDist[6] = 5）

2、该最近节点被标记访问过

节点6 被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组），如图：

由于节点6的加入，那么源点可以链接到节点7 所以更新minDist数组：

源点到节点7的最短距离为14，小于原minDist[7]的数值max，更新minDist[7] = 14

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

距离源点最近且没有被访问过的节点，是节点5，距离源点距离是 8 （minDist[5] = 8）

2、该最近节点被标记访问过

节点5 被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组），如图：

由于节点5的加入，那么源点有新的路径可以链接到节点7 所以更新minDist数组：

源点到节点7的最短距离为12，小于原minDist[7]的数值14，更新minDist[7] = 12

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

距离源点最近且没有被访问过的节点，是节点7（终点），距离源点距离是 12 （minDist[7] = 12）

2、该最近节点被标记访问过

节点7 被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组），如图：

节点7加入，但节点7到节点7的距离为0，所以不用更新minDist数组

最后我们要求起点（节点1）到终点（节点7）的距离。

再来回顾一下minDist数组的含义：记录每一个节点距离源点的最小距离。

那么起到（节点1）到终点（节点7）的最短距离就是 minDist[7] ，按上面举例讲解来说，minDist[7] = 12，节点1 到节点7的最短路径为 12。

路径如图：

在上面的讲解中，每一步我都是按照 dijkstra 三部曲来讲解的，理解了这三部曲，代码也就好懂的。

代码实现

本题代码如下：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        grid[p1][p2] = val;
    }

    int start = 1;
    int end = n;

    // 存储从源点到每个节点的最短距离
    std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);

    // 记录顶点是否被访问过
    std::vector<bool> visited(n + 1, false);

    minDist[start] = 0;  // 起始点到自身的距离为0

    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历所有节点

        int minVal = INT_MAX;
        int cur = 1;

        // 1、选距离源点最近且未访问过的节点
        for (int v = 1; v <= n; ++v) {
            if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {
                minVal = minDist[v];
                cur = v;
            }
        }

        visited[cur] = true;  // 2、标记该节点已被访问

        // 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
                minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
            }
        }

    }

    if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
    else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径

}

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n^2)

debug方法

写这种题目难免会有各种各样的问题，我们如何发现自己的代码是否有问题呢？

最好的方式就是打日志，本题的话，就是将 minDist 数组打印出来，就可以很明显发现哪里出问题了。

每次选择节点后，minDist数组的变化是否符合预期，是否和我上面讲的逻辑是对应的。

例如本题，如果想debug的话，打印日志可以这样写：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        grid[p1][p2] = val;
    }

    int start = 1;
    int end = n;

    std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);

    std::vector<bool> visited(n + 1, false);

    minDist[start] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        int minVal = INT_MAX;
        int cur = 1;


        for (int v = 1; v <= n; ++v) {
            if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {
                minVal = minDist[v];
                cur = v;
            }
        }

        visited[cur] = true;

        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
                minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
            }
        }

        // 打印日志：
        cout << "select:" << cur << endl;
        for (int v = 1; v <= n; v++) cout <<  v << ":" << minDist[v] << " ";
        cout << endl << endl;;

    }
    if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl;
    else cout << minDist[end] << endl;

}

打印后的结果：

select:1
1:0 2:1 3:4 4:2147483647 5:2147483647 6:2147483647 7:2147483647

select:2
1:0 2:1 3:3 4:6 5:2147483647 6:5 7:2147483647

select:3
1:0 2:1 3:3 4:5 5:2147483647 6:5 7:2147483647

select:4
1:0 2:1 3:3 4:5 5:8 6:5 7:2147483647

select:6
1:0 2:1 3:3 4:5 5:8 6:5 7:14

select:5
1:0 2:1 3:3 4:5 5:8 6:5 7:12

select:7
1:0 2:1 3:3 4:5 5:8 6:5 7:12

打印日志可以和上面我讲解的过程进行对比，每一步的结果是完全对应的。

所以如果大家如果代码有问题，打日志来debug是最好的方法

如何求路径

如果题目要求把最短路的路径打印出来，应该怎么办呢？

打印路径只需要添加几行代码，打印路径的代码我都加上的日志，如下：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        grid[p1][p2] = val;
    }

    int start = 1;
    int end = n;

    std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);

    std::vector<bool> visited(n + 1, false);

    minDist[start] = 0; 

    //加上初始化
    vector<int> parent(n + 1, -1);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        int minVal = INT_MAX;
        int cur = 1;

        for (int v = 1; v <= n; ++v) {
            if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {
                minVal = minDist[v];
                cur = v;
            }
        }

        visited[cur] = true;

        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
                minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
                parent[v] = cur; // 记录边
            }
        }

    }

    // 输出最短情况
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << parent[i] << "->" << i << endl;
    }
}

打印结果：

-1->1
1->2
2->3
3->4
4->5
2->6
5->7

对应如图：

出现负数

如果图中边的权值为负数，dijkstra 还合适吗？

看一下这个图：（有负权值）

节点1 到节点5 的最短路径应该是节点1 -> 节点2 -> 节点3 -> 节点4 -> 节点5

那我们来看dijkstra 求解的路径是什么样的，继续dijkstra 三部曲来模拟：（dijkstra模拟过程上面已经详细讲过，以下只模拟重要过程，例如如何初始化就省略讲解了）

初始化：

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离源点最近，距离为0，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记源点访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组），如图：

更新 minDist数组，即：源点（节点1）到节点2 和节点3的距离。

源点到节点2的最短距离为100，小于原minDist[2]的数值max，更新minDist[2] = 100
源点到节点3的最短距离为1，小于原minDist[3]的数值max，更新minDist[4] = 1

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离节点3最近，距离为1，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记节点3访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组），如图：

由于节点3的加入，那么源点可以有新的路径链接到节点4 所以更新minDist数组：

源点到节点4的最短距离为2，小于原minDist[4]的数值max，更新minDist[4] = 2

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离节点4最近，距离为2，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记节点4访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组），如图：

由于节点4的加入，那么源点可以有新的路径链接到节点5 所以更新minDist数组：

源点到节点5的最短距离为3，小于原minDist[5]的数值max，更新minDist[5] = 5

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离节点5最近，距离为3，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记节点5访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组），如图：

节点5的加入，而节点5 没有链接其他节点，所以不用更新minDist数组，仅标记节点5被访问过了

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离节点2最近，距离为100，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记节点2访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组），如图：

至此dijkstra的模拟过程就结束了，根据最后的minDist数组，我们求节点1 到节点5 的最短路径的权值总和为 3，路径：节点1 -> 节点3 -> 节点4 -> 节点5

通过以上的过程模拟，我们可以发现之所以没有走有负权值的最短路径是因为在访问节点 2 的时候，节点 3 已经访问过了，就不会再更新了。

dijkstra与prim算法的区别

其实代码大体不差，唯一区别在三部曲中的第三步：更新minDist数组

因为prim是求非访问节点到最小生成树的最小距离，而 dijkstra是求非访问节点到源点的最小距离。

prim 更新 minDist数组的写法：

cpp 复制代码

for (int j = 1; j <= v; j++) {
    if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) {
        minDist[j] = grid[cur][j];
    }
}

因为 minDist表示节点到最小生成树的最小距离，所以新节点cur的加入，只需要使用 grid[cur][j] ，grid[cur][j] 就表示 cur 加入生成树后，生成树到节点j 的距离。

dijkstra 更新 minDist数组的写法：

cpp 复制代码

for (int v = 1; v <= n; v++) {
    if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
        minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
    }
}

因为 minDist表示节点到源点的最小距离，所以新节点 cur 的加入，需要使用源点到cur的距离（minDist[cur]） + cur 到节点 v 的距离（grid[cur][v]），才是源点到节点v的距离。