回溯——8.递增子序列

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给定一个整型数组, 你的任务是找到所有该数组的递增子序列，递增子序列的长度至少是2。

示例:

输入: $4, 6, 7, 7$
输出: $\[4, 6$ , $4, 7$ , $4, 6, 7$ , $4, 6, 7, 7$ , $6, 7$ , $6, 7, 7$ , $7,7$ , $4,7,7$ ]

说明:

给定数组的长度不会超过15。
数组中的整数范围是 $-100,100$ 。
给定数组中可能包含重复数字，相等的数字应该被视为递增的一种情况。

解题思路总结

递归树的构建：程序通过回溯构建一个递归树，每一个节点代表一个数组元素，每条从根到叶的路径代表一个可能的子序列。通过遍历整个递归树，生成所有可能的子序列。
递增条件：通过比较当前元素与子序列最后一个元素的大小，保证子序列是递增的。
去重：每一层递归中使用 set 来去重，防止同一层中出现重复的元素。
剪枝：通过条件 (path and nums[i] < path[-1]) 来剪掉不符合递增条件的分支，提升效率。

最终，程序返回所有找到的递增子序列。

完整代码如下：

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class Solution:
    def findSubsequences(self, nums):
        result = []
        path = []
        self.backtracking(nums, 0, path, result)
        return result
    
    def backtracking(self, nums, startIndex, path, result):
        if len(path) > 1:
            result.append(path[:])  # 注意要使用切片将当前路径的副本加入结果集
            # 注意这里不要加return，要取树上的节点
        
        uset = set()  # 使用集合对本层元素进行去重
        for i in range(startIndex, len(nums)):
            if (path and nums[i] < path[-1]) or nums[i] in uset:
                continue
            
            uset.add(nums[i])  # 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
            path.append(nums[i])
            self.backtracking(nums, i + 1, path, result)
            path.pop()

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class Solution:
    def findSubsequences(self, nums):
        result = []
        path = []
        self.backtracking(nums, 0, path, result)
        return result

findSubsequences 是整个程序的入口函数，接收一个数组 nums 作为参数。
result 用来存储所有满足条件的递增子序列。
path 记录当前递归过程中的路径，也就是当前的子序列。
self.backtracking(nums, 0, path, result) 是回溯函数，目的是从数组 nums 中找到所有递增的子序列，并存入 result。
return result 最后返回存储所有子序列的 result。

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def backtracking(self, nums, startIndex, path, result):
    if len(path) > 1:
        result.append(path[:])  # 使用切片将当前路径的副本加入结果集
        # 注意这里不要加return，要取树上的节点

startIndex：控制当前递归的起始点，防止重复计算。
当 path 的长度大于 1 时，表示 path 已经构成了一个符合条件的递增子序列，所以将其复制并加入 result。使用切片 path[:] 是为了防止之后修改 path 时影响到 result 中已保存的结果。
这里没有直接返回，因为需要继续探索后面的递归，即使已经找到了一个合法的子序列，也可能找到更长的子序列。

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    uset = set()  # 使用集合对本层元素进行去重
    for i in range(startIndex, len(nums)):
        if (path and nums[i] < path[-1]) or nums[i] in uset:
            continue

uset：用于存储当前层已经使用过的元素，避免在同一层递归中出现重复的子序列。
for i in range(startIndex, len(nums))：遍历数组中从 startIndex 开始的每一个元素。
条件判断 (path and nums[i] < path[-1]) or nums[i] in uset：
- 如果 path 不为空并且当前元素 nums[i] 小于 path 的最后一个元素，表示当前子序列不是递增的，跳过这个元素。
- 如果 nums[i] 已经在 uset 中，说明当前元素在本层已经使用过了，跳过这个元素。
uset.add(nums[i])：将当前元素加入 uset，以保证同一层递归中不会再次使用该元素。

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        path.append(nums[i])
        self.backtracking(nums, i + 1, path, result)
        path.pop()

path.append(nums[i])：将当前元素加入 path，构成当前的子序列。
self.backtracking(nums, i + 1, path, result)：递归调用，继续从 i + 1 位置开始寻找下一个元素。
path.pop()：回溯操作，将当前的元素从 path 中移除，回到上一层递归状态，探索其他可能的子序列。