AGC007F 题解

题意

给定两个长为 \(n\) 的字符串 \(S, T\),求最少进行多少次操作才能使 \(S = T\)。

一次操作定义为:对于 \(i = 1, 2, .. n\),令第 \(i\) 位为操作 的第 \(i - 1\) 位或操作 的第 \(i\) 位。(\(i = 1\) 时只能第二种)

分析

赛时想了一个假的贪心,想到设 \(pos_i\) 为在答案中 \(T_i\) 是由 \(S_{pos_i}\) 贡献的,可以发现 \(\forall 1\le i < n, pos_i\le pos_{i + 1}\),而且若 \(i < j\) 有交,一定先操作完 \(j\)。

这个思路看上去没有问题,但是后面的结论是错的,当时我这样想的原因是:若 \(i\) 先操作完,\(j\) 就没有了,但真的是这样吗,可以 \(pos_i\) 先操作到 \(pos_j - 1\),\(pos_j\) 操作到 \(i + 1\) 及之后。

错误原因:并没有做到最优,能早点完成的操作放在了后面做。

Update:破案了,这道题明显是倒着做消除后效性,直接贪这么后效怎么做。倒着做好写多了/kel

考虑已经得到了 \(pos_i\)(对于 \(i\) 找第一个 \(j\) 使得 \(s_j = t_i\) 且 \(j \le pos_{i + 1}\)),相当于 \(S = 1, 2, ... n\),\(T = pos_1, pos_2, ..., pos_n\),每次我们尽量往右扩展,然后给有用的留 1 个让它往右扩展,发现这样一定是最优的。

考虑怎么维护这个,先把无用的去掉,把相同的 S 缩到一起,每次从右往左,依次进行 把当前区间缩到只有右端点,把右端点尽量向右扩展 的流程,这是好维护的。

考虑为什么对

  1. 可以根据贪心过程逆推操作
  2. 已经是最贪的了

考虑怎么维护,找规律,发现进行了 \(j\) 次操作后,当前区间 \(i\) 的 \(R_i = R_{i + j} - j\)。令 \(R_j(j > n) = +\inf\) 即可。

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