目录
- 零、题目描述
- 一、为什么这道题值得你花几分钟看懂？
- 二、从暴力枚举到双指针：思路的进化
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- [1. 暴力枚举：直观但低效的尝试](#1. 暴力枚举：直观但低效的尝试)
- [2. 数学简化：三角形条件的优化](#2. 数学简化：三角形条件的优化)
- [3. 双指针：固定最大边，搜索有效对](#3. 双指针：固定最大边，搜索有效对)
- 三、双指针实现：固定一端，收缩两端
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- [1. 算法步骤](#1. 算法步骤)
- [2. 代码实现](#2. 代码实现)
- 四、代码解析与复杂度分析
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- [代码走读（示例1：`nums = [2,2,3,4]`）](#代码走读（示例1：
nums = [2,2,3,4]）) - 复杂度分析
- [代码走读（示例1：`nums = [2,2,3,4]`）](#代码走读（示例1：
- 五、常见问题与注意事项
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- [1. 为什么排序后能保证正确性？](#1. 为什么排序后能保证正确性？)
- [2. 数组中存在 0 会影响结果吗？](#2. 数组中存在 0 会影响结果吗？)
- [3. 双指针的移动逻辑为什么正确？](#3. 双指针的移动逻辑为什么正确？)
- 六、举一反三
零、题目描述
题目链接：有效三角形的个数
题目描述：
示例 1：
输入：nums = [2,2,3,4]
输出：3
解释：有效的组合是:
2,3,4 (使用第一个 2)
2,3,4 (使用第二个 2)
2,2,3
示例 2：输入：nums = [4,2,3,4]
输出：4
提示：1 <= nums.length <= 1000
0 <= nums[i] <= 1000
一、为什么这道题值得你花几分钟看懂？
有效三角形的个数问题，是双指针算法在"三重循环优化"中的经典应用。它的价值在于：让你学会如何通过排序和条件转化，将高复杂度的枚举问题降维打击。
这道题看似需要枚举所有可能的三元组（暴力解法的思路），但通过三角形三边关系的数学特性，我们能发现一个关键规律：对于排序后的数组，若较小的两边之和大于最大边，则三者可组成三角形。这个规律让双指针有了用武之地------通过固定最大边，用双指针寻找符合条件的较小两边，将时间复杂度从 O(n³) 降至 O(n²)。
搞定这道题，你会掌握：
- 如何将数学定理转化为算法优化的依据
- 双指针在"固定一端，搜索两端"场景中的应用
- 排序在数组优化问题中的辅助作用
这种"用数学简化问题，用指针降低复杂度"的思维，对解决组合计数类问题至关重要。
二、从暴力枚举到双指针：思路的进化
1. 暴力枚举：直观但低效的尝试
最容易想到的思路是：枚举所有可能的三元组组合，判断是否满足三角形三边关系，统计符合条件的个数。
暴力解法思路：
cpp
// 伪代码
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
for (int k = j + 1; k < n; k++) {
if (nums[i] + nums[j] > nums[k] &&
nums[i] + nums[k] > nums[j] &&
nums[j] + nums[k] > nums[i]) {
count++;
}
}
}
}
return count;问题分析：
- 时间复杂度：O(n³)，当 n 为 1000 时，运算次数高达 10⁹，必然超时
- 空间复杂度：O(1)，只使用常数个变量
- 核心缺陷：存在大量重复判断，且三边关系的三个条件中有冗余
2. 数学简化：三角形条件的优化
三角形三边关系的本质是：任意两边之和大于第三边 。但当数组排序后（假设 a ≤ b ≤ c），这个条件可以简化为：a + b > c。
证明：
- 因为
a ≤ b ≤ c，所以a + c > b（c ≥ b 且 a ≥ 0，故 a + c ≥ b，当 a > 0 时成立） - 同理
b + c > a也一定成立 - 因此只需判断最小的两边之和是否大于最大边（a + b > c）
这个简化让我们的判断条件从三个减少为一个，为后续优化奠定基础。
3. 双指针：固定最大边，搜索有效对
基于排序和简化的条件，我们可以设计更高效的算法：
- 先对数组排序（从小到大）
- 固定最大边 c（即数组中的某个元素 nums[i]）
- 用双指针寻找所有满足
a + b > c的 (a, b) 对（其中 a 和 b 是 c 左侧的元素，且 a ≤ b < c）
为什么固定最大边？
- 排序后，数组右侧的元素更大，适合作为最大边 c
- 固定 c 后，只需在左侧元素中寻找符合条件的 a 和 b，缩小搜索范围
三、双指针实现：固定一端，收缩两端
1. 算法步骤
- 对数组
nums排序（从小到大） - 初始化计数变量
count = 0 - 从右向左遍历数组，固定最大边
c = nums[i]（i 从 n-1 开始，至少为 2，因为需要三个元素） - 对每个 i，设置双指针：
left = 0（指向最小元素），right = i - 1（指向 c 左侧的最大元素） - 当
left < right时，循环：- 若
nums[left] + nums[right] > nums[i]：说明从 left 到 right-1 的所有元素与 right 搭配，都满足和大于 c（因为数组递增），因此计数count += right - left，并将 right 左移（缩小范围） - 否则：说明当前 left 太小，将 left 右移（增大 a 的值）
- 若
- 遍历结束后，返回 count
2. 代码实现
cpp
class Solution {
public:
int triangleNumber(vector<int>& nums) {
int answer = 0;
// 先对数组排序，为双指针创造条件
sort(nums.begin(), nums.end());
// 从右向左固定最大边 c = nums[i]
for (int i = nums.size() - 1; i >= 2; i--) {
int left = 0; // 左指针指向最小元素
int right = i - 1; // 右指针指向最大边左侧的元素
// 双指针搜索符合条件的 a 和 b
while (left < right) {
// 若 a + b > c，说明 [left, right-1] 与 right 搭配均有效
if (nums[left] + nums[right] > nums[i]) {
answer += right - left;
right--; // 缩小右边界，寻找更小的 b
} else {
left++; // 增大左边界，寻找更大的 a
}
}
}
return answer;
}
};四、代码解析与复杂度分析
代码走读（示例1：nums = [2,2,3,4]）
- 排序后：
[2,2,3,4] - 固定最大边 i=3（值为4）：
- left=0（值为2），right=2（值为3）
- 2 + 3 > 4 → 有效，计数 answer += 2-0=2（即 (2,3) 和 (2,3) 两个组合 注：用的不同的2）
- right-- → right=1
- left=0 < right=1，判断 2 + 2 = 4 → 不满足，left++ → left=1
- left 不再小于 right，结束本轮
- 固定最大边 i=2（值为3）：
- left=0，right=1（值为2）
- 2 + 2 > 3 → 有效，计数 answer += 1-0 = 1
- right-- → right=0，循环结束
- 总计数为 2 + 1 = 3，与示例结果一致
复杂度分析
| 复杂度类型 | 具体值 | 说明 |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(n²) | 排序耗时 O(n log n)，外层循环 O(n)，内层双指针循环 O(n)，总体由 O(n²) 主导 |
| 空间复杂度 | O(log n) | 排序算法的栈空间开销（取决于具体实现） |
五、常见问题与注意事项
1. 为什么排序后能保证正确性？
排序后，我们固定最大边 c，并在左侧寻找 a 和 b（a ≤ b < c）。此时只需判断 a + b > c，因为：
- 由于 a ≤ b ≤ c，a + c > b 和 b + c > a 必然成立
- 所有可能的三元组都会被枚举，因为我们遍历了所有可能的最大边 c
2. 数组中存在 0 会影响结果吗？
不会。因为 0 无法参与组成三角形（例如 0,0,0 或 0,1,1 都不满足两边之和大于第三边），但算法会自动过滤这些情况：
- 若 a=0，b 为正数，c ≥ b，则 a + b = b ≤ c → 不满足条件，left 会右移
- 最终 0 不会被计入有效计数
3. 双指针的移动逻辑为什么正确？
- 当
nums[left] + nums[right] > c时：因为数组递增，left 到 right-1 之间的所有元素与 right 搭配，和都会大于 c（例如 left+1 对应的元素 ≥ left，故 left+1 + right ≥ left + right > c），因此直接计数right - left个 - 当
nums[left] + nums[right] ≤ c时：当前 left 太小，即使与最大的 b（right）搭配都不满足，因此必须右移 left 以增大 a 的值
六、举一反三
这道题的"固定一端 + 双指针"思路可推广到：
- 三数问题：如寻找三数之和为目标值、三数乘积最大等
- 区间计数问题：如统计数组中满足某种条件的区间对数量
下一题预告 ：LeetCode LCR 179. 查找总价格为目标值的两个商品！这道题是经典的"两数之和"变种，会让你看到双指针在"有序数组中寻找目标对"的妙用------如何通过首尾指针的移动，快速定位和为目标值的两个元素，将时间复杂度从 O(n²) 优化到 O(n)。明天的解析会带你拆解其中的逻辑，让你进一步熟悉双指针的灵活应用！
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