一、dijkstra（朴素版）精讲
思路
本题就是求最短路，最短路是图论中的经典问题即：给出一个有向图，一个起点，一个终点，问起点到终点的最短路径。
接下来讲解最短路算法中的 dijkstra 算法。
dijkstra算法：在有权图（权值非负数）中求从起点到其他节点的最短路径算法。
需要注意两点：
- dijkstra 算法可以同时求 起点到所有节点的最短路径
- 权值不能为负数
dijkstra 算法 同样是贪心的思路，不断寻找距离 源点最近的没有访问过的节点。
这里给出 dijkstra三部曲：
- 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
- 第二步，该最近节点被标记访问过
- 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
大家此时已经会发现，这和prim算法 怎么这么像呢。
我在prim算法讲解中也给出了三部曲。 prim 和 dijkstra 确实很像，思路也是类似的，这一点我在后面还会详细来讲。
在dijkstra算法中，同样有一个数组很重要，起名为：minDist。
minDist数组 用来记录 每一个节点距离源点的最小距离。
理解这一点很重要，也是理解 dijkstra 算法的核心所在。
先来画图看一下 dijkstra 的工作过程，以本题示例为例： （以下为朴素版dijkstra的思路）
（示例中节点编号是从1开始，所以为了让大家看的不晕，minDist数组下标我也从 1 开始计数，下标0 就不使用了，这样 下标和节点标号就可以对应上了，避免大家搞混）
朴素版dijkstra
模拟过程
0、初始化
minDist数组数值初始化为int最大值。
这里在强点一下 minDist数组的含义：记录所有节点到源点的最短路径，那么初始化的时候就应该初始为最大值，这样才能在后续出现最短路径的时候及时更新。
（图中，max 表示默认值，节点0 不做处理，统一从下标1 开始计算，这样下标和节点数值统一， 方便大家理解，避免搞混）
源点（节点1） 到自己的距离为0，所以 minDist[1] = 0
此时所有节点都没有被访问过，所以 visited数组都为0
以下为dijkstra 三部曲
1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
源点距离源点最近，距离为0，且未被访问。
2、该最近节点被标记访问过
标记源点访问过
3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：
更新 minDist数组，即：源点（节点1） 到 节点2 和 节点3的距离。
- 源点到节点2的最短距离为1，小于原minDist[2]的数值max，更新minDist[2] = 1
- 源点到节点3的最短距离为4，小于原minDist[3]的数值max，更新minDist[3] = 4
遍历更新minDist的点是当前访问节点的邻接点。
1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
未访问过的节点中，源点到节点2距离最近，选节点2
2、该最近节点被标记访问过
节点2被标记访问过
3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：
更新 minDist数组，即：源点（节点1） 到 节点6 、 节点3 和 节点4的距离。
为什么更新这些节点呢？ 怎么不更新其他节点呢？
因为 源点（节点1）通过 已经计算过的节点（节点2） 可以链接到的节点 有 节点3，节点4和节点6.
更新 minDist数组：
- 源点到节点6的最短距离为5，小于原minDist[6]的数值max，更新minDist[6] = 5
- 源点到节点3的最短距离为3，小于原minDist[3]的数值4，更新minDist[3] = 3
- 源点到节点4的最短距离为6，小于原minDist[4]的数值max，更新minDist[4] = 6
1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
未访问过的节点中，源点距离哪些节点最近，怎么算的？
其实就是看 minDist数组里的数值，minDist 记录了 源点到所有节点的最近距离，结合visited数组筛选出未访问的节点就好。
从 上面的图，或者 从minDist数组中，我们都能看出 未访问过的节点中，源点（节点1）到节点3距离最近。
2、该最近节点被标记访问过
节点3被标记访问过
3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：
由于节点3的加入，那么源点可以有新的路径链接到节点4 所以更新minDist数组：
更新 minDist数组：
- 源点到节点4的最短距离为5，小于原minDist[4]的数值6，更新minDist[4] = 5
1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
距离源点最近且没有被访问过的节点，有节点4 和 节点6，距离源点距离都是 5 （minDist[4] = 5，minDist[6] = 5） ，选哪个节点都可以。
2、该最近节点被标记访问过
节点4被标记访问过
3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：
由于节点4的加入，那么源点可以链接到节点5 所以更新minDist数组：
- 源点到节点5的最短距离为8，小于原minDist[5]的数值max，更新minDist[5] = 8
1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
距离源点最近且没有被访问过的节点，是节点6，距离源点距离是 5 （minDist[6] = 5）
2、该最近节点被标记访问过
节点6 被标记访问过
3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：
由于节点6的加入，那么源点可以链接到节点7 所以 更新minDist数组：
- 源点到节点7的最短距离为14，小于原minDist[7]的数值max，更新minDist[7] = 14
1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
距离源点最近且没有被访问过的节点，是节点5，距离源点距离是 8 （minDist[5] = 8）
2、该最近节点被标记访问过
节点5 被标记访问过
3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：
由于节点5的加入，那么源点有新的路径可以链接到节点7 所以 更新minDist数组：
- 源点到节点7的最短距离为12，小于原minDist[7]的数值14，更新minDist[7] = 12
1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
距离源点最近且没有被访问过的节点，是节点7（终点），距离源点距离是 12 （minDist[7] = 12）
2、该最近节点被标记访问过
节点7 被标记访问过
3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：
节点7加入，但节点7到节点7的距离为0，所以 不用更新minDist数组
最后我们要求起点（节点1） 到终点 （节点7）的距离。
再来回顾一下minDist数组的含义：记录 每一个节点距离源点的最小距离。
那么起到（节点1）到终点（节点7）的最短距离就是 minDist[7] ，按上面举例讲解来说，minDist[7] = 12，节点1 到节点7的最短路径为 12。
路径如图：
在上面的讲解中，每一步 我都是按照 dijkstra 三部曲来讲解的，理解了这三部曲，代码也就好懂的。
代码如下：
java
import java.util.*;
import java.util.List;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
int[][] grid = new int[n+1][n+1];
for(int[] array : grid){
Arrays.fill(array,Integer.MAX_VALUE);
}
//读入图
for(int i = 0 ; i < m ; i++){
int from = scanner.nextInt();
int to = scanner.nextInt();
int value = scanner.nextInt();
grid[from][to] = value;
}
int[] minDist = new int[n+1];
boolean[] visited = new boolean[n+1];
int source = 1;
int destination = n;
visited[source] = true;
Arrays.fill(minDist,Integer.MAX_VALUE);
minDist[source] = 0;
//dijkstra算法大循环，遍历所有节点
for(int i = 0 ; i < n ; i++){
int cur = 1;
int minValue = Integer.MAX_VALUE;
//找到当前非访问过的节点中，最近的节点。
for(int j = 1 ; j <= n ; j++){
if(visited[j]) continue;
if(minDist[j] < minValue){
minValue = minDist[j];
cur = j;
}
}
visited[cur] = true;
//针对该节点的邻接点 中的 非访问过的 节点 到 source的距离进行更新
for(int j = 1 ; j <= n ; j++){
if(!visited[j] && grid[cur][j] != Integer.MAX_VALUE && minDist[cur] + grid[cur][j] < minDist[j]){
minDist[j] = minDist[cur] +grid[cur][j];
}
}
}
if(minDist[destination] != Integer.MAX_VALUE){
System.out.println(minDist[destination]);
}else{
System.out.println("-1");
}
}
}如何求路径
如果要记录路径的话，也是用一维parent数组来记录，类似于prim算法，在更新minDist的时候记录即可。
java
import java.util.*;
import java.util.List;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
int[][] grid = new int[n+1][n+1];
int[] parent = new int[n+1]; //用以记录路径
Arrays.fill(parent,-1);
for(int[] array : grid){
Arrays.fill(array,Integer.MAX_VALUE);
}
//读入图
for(int i = 0 ; i < m ; i++){
int from = scanner.nextInt();
int to = scanner.nextInt();
int value = scanner.nextInt();
grid[from][to] = value;
}
int[] minDist = new int[n+1];
boolean[] visited = new boolean[n+1];
int source = 1;
int destination = n;
visited[source] = true;
Arrays.fill(minDist,Integer.MAX_VALUE);
minDist[source] = 0;
//dijkstra算法大循环，遍历所有节点
for(int i = 0 ; i < n ; i++){
int cur = 1;
int minValue = Integer.MAX_VALUE;
//找到当前非访问过的节点中，最近的节点。
for(int j = 1 ; j <= n ; j++){
if(visited[j]) continue;
if(minDist[j] < minValue){
minValue = minDist[j];
cur = j;
}
}
visited[cur] = true;
//针对该节点的邻接点 中的 非访问过的 节点 到 source的距离进行更新
for(int j = 1 ; j <= n ; j++){
if(!visited[j] && grid[cur][j] != Integer.MAX_VALUE && minDist[cur] + grid[cur][j] < minDist[j]){
minDist[j] = minDist[cur] +grid[cur][j];
parent[j] = cur;//记录路径
}
}
}
if(minDist[destination] != Integer.MAX_VALUE){
System.out.println(minDist[destination]);
}else{
System.out.println("-1");
}
}
}debug方法
在每一次选择后输出日志，输出当前选择的节点和minDist数组，看和自己的预期是否相同。
出现负数
如果图中边的权值为负数，dijkstra 还合适吗？
看一下这个图： （有负权值）
节点1 到 节点5 的最短路径 应该是 节点1 -> 节点2 -> 节点3 -> 节点4 -> 节点5
那我们来看dijkstra 求解的路径是什么样的，继续dijkstra 三部曲来模拟 ：（dijkstra模拟过程上面已经详细讲过，以下只模拟重要过程，例如如何初始化就省略讲解了）
初始化：
1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
源点距离源点最近，距离为0，且未被访问。
2、该最近节点被标记访问过
标记源点访问过
3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：
更新 minDist数组，即：源点（节点1） 到 节点2 和 节点3的距离。
- 源点到节点2的最短距离为100，小于原minDist[2]的数值max，更新minDist[2] = 100
- 源点到节点3的最短距离为1，小于原minDist[3]的数值max，更新minDist[4] = 1
1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
源点距离节点3最近，距离为1，且未被访问。
2、该最近节点被标记访问过
标记节点3访问过
3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：
由于节点3的加入，那么源点可以有新的路径链接到节点4 所以更新minDist数组：
- 源点到节点4的最短距离为2，小于原minDist[4]的数值max，更新minDist[4] = 2
1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
源点距离节点4最近，距离为2，且未被访问。
2、该最近节点被标记访问过
标记节点4访问过
3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：
由于节点4的加入，那么源点可以有新的路径链接到节点5 所以更新minDist数组：
- 源点到节点5的最短距离为3，小于原minDist[5]的数值max，更新minDist[5] = 5
1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
源点距离节点5最近，距离为3，且未被访问。
2、该最近节点被标记访问过
标记节点5访问过
3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：
节点5的加入，而节点5 没有链接其他节点， 所以不用更新minDist数组，仅标记节点5被访问过了
1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
源点距离节点2最近，距离为100，且未被访问。
2、该最近节点被标记访问过
标记节点2访问过
3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：
至此dijkstra的模拟过程就结束了，根据最后的minDist数组，我们求 节点1 到 节点5 的最短路径的权值总和为 3，路径： 节点1 -> 节点3 -> 节点4 -> 节点5
通过以上的过程模拟，我们可以发现 之所以 没有走有负权值的最短路径 是因为 在 访问 节点 2 的时候，节点 3 已经访问过了，就不会再更新了。
那有录友可能会想： 我可以改代码逻辑啊，访问过的节点，也让它继续访问不就好了？
那么访问过的节点还能继续访问会不会有死循环的出现呢？控制逻辑不让其死循环？那特殊情况自己能都想清楚吗？（可以试试，实践出真知）
对于负权值的出现，大家可以针对某一个场景 不断去修改 dijkstra 的代码，但最终会发现只是 拆了东墙补西墙，对dijkstra的补充逻辑只能满足某特定场景最短路求解。
对于求解带有负权值的最短路问题，可以使用 Bellman-Ford 算法 ，后序会详细讲解。
dijkstra与prim算法的区别
大家可以发现 dijkstra的代码看上去 怎么和 prim算法这么像呢。
其实代码大体不差，唯一区别在 三部曲中的 第三步： 更新minDist数组
因为prim是求 非访问节点到最小生成树的最小距离，而 dijkstra是求 非访问节点到源点的最小距离。
prim 更新 minDist数组的写法：
cpp
for (int j = 1; j <= v; j++) {
if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) {
minDist[j] = grid[cur][j];
}
}因为 minDist表示 节点到最小生成树的最小距离，所以 新节点cur的加入，只需要 使用 grid[cur][j] ，grid[cur][j] 就表示 cur 加入生成树后，生成树到 节点j 的距离。
dijkstra 更新 minDist数组的写法：
cpp
for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}因为 minDist表示 节点到源点的最小距离，所以 新节点 cur 的加入，需要使用 源点到cur的距离 （minDist[cur]） + cur 到 节点 v 的距离 （grid[cur][v]），才是 源点到节点v的距离。
此时大家可能不禁要想 prim算法 可以有负权值吗？
当然可以，prim算法只需要将节点以最小权值和链接在一起，不涉及到单一路径。
二、dijkstra（堆优化版）精讲
在节点数很大的情况下（稀疏图），考虑维护边集合来实现dijkstra算法。
使用邻接表来存储图。
同时，因为每一步要选择未访问节点中minDist最小的节点，考虑使用堆来进行优化。
堆优化细节
其实思路依然是 dijkstra 三部曲：
- 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
- 第二步，该最近节点被标记访问过
- 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
只不过之前是 通过遍历节点来遍历边，通过两层for循环来寻找距离源点最近节点。 这次我们直接遍历边，且通过堆来对边进行排序，达到直接选择距离源点最近节点。
先来看一下针对这三部曲，如果用 堆来优化。
那么三部曲中的第一步（选源点到哪个节点近且该节点未被访问过），我们如何选？
我们要选择距离源点近的节点（即：该边的权值最小），所以 我们需要一个 小顶堆 来帮我们对边的权值排序，每次从小顶堆堆顶 取边就是权值最小的边。
C++定义小顶堆，可以用优先级队列实现，代码如下：
cpp
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
return lhs.second > rhs.second;
}
};
// 优先队列中存放 pair<节点编号，源点到该节点的权值>
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;（pair<int, int>中 第二个int 为什么要存 源点到该节点的权值，因为 这个小顶堆需要按照权值来排序）
有了小顶堆自动对边的权值排序，那我们只需要直接从 堆里取堆顶元素（小顶堆中，最小的权值在上面），就可以取到离源点最近的节点了 （未访问过的节点，不会加到堆里进行排序）
所以三部曲中的第一步，我们不用 for循环去遍历，直接取堆顶元素：
cpp
// pair<节点编号，源点到该节点的权值>
pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();第二步（该最近节点被标记访问过） 这个就是将 节点做访问标记，和 朴素dijkstra 一样 ，代码如下：
cpp
// 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
visited[cur.first] = true;（cur.first 是指取 pair<int, int> 里的第一个int，即节点编号 ）
第三步（更新非访问节点到源点的距离），这里的思路 也是 和朴素dijkstra一样的。
但很多录友对这里是最懵的，主要是因为两点：
- 没有理解透彻 dijkstra 的思路
- 没有理解 邻接表的表达方式
我们来回顾一下 朴素dijkstra 在这一步的代码和思路（如果没看过我讲解的朴素版dijkstra，这里会看不懂）
cpp
// 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}其中 for循环是用来做什么的？ 是为了 找到 节点cur 链接指向了哪些节点，因为使用邻接矩阵的表达方式 所以把所有节点遍历一遍。
而在邻接表中，我们可以以相对高效的方式知道一个节点链接指向哪些节点。
再回顾一下邻接表的构造（数组 + 链表）：
假如 加入的cur 是节点 2， 那么 grid[2] 表示的就是图中第二行链表。 （grid数组的构造我们在 上面 「图的存储」中讲过）
所以在邻接表中，我们要获取 节点cur 链接指向哪些节点，就是遍历 grid[cur节点编号] 这个链表。
这个遍历方式，C++代码如下：
cpp
for (Edge edge : grid[cur.first]) cur.first 就是cur节点编号， 参考上面pair的定义： pair<节点编号，源点到该节点的权值>
接下来就是更新 非访问节点到源点的距离，代码实现和 朴素dijkstra 是一样的，代码如下：
cpp
// 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
// cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
}
}确定该节点没有被访问过，!visited[edge.to] ， 目前 源点到cur.first的最短距离（minDist） + cur.first 到 edge.to 的距离 （edge.val） 是否 小于 minDist已经记录的 源点到 edge.to 的距离 （minDist[edge.to]）
如果是的话，就开始更新操作。
即：
cpp
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to])); // 由于cur节点的加入，而新链接的边，加入到优先级队里中
}同时，由于cur节点的加入，源点又有可以新链接到的边，将这些边加入到优先级队里中。
以上代码思路 和 朴素版dijkstra 是一样一样的，主要区别是两点：
- 邻接表的表示方式不同
- 使用优先级队列（小顶堆）来对新链接的边排序
代码实现
堆优化dijkstra完整代码如下：
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std;
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
return lhs.second > rhs.second;
}
};
// 定义一个结构体来表示带权重的边
struct Edge {
int to; // 邻接顶点
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数
};
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<list<Edge>> grid(n + 1);
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1 指向 p2，权值为 val
grid[p1].push_back(Edge(p2, val));
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
// 存储从源点到每个节点的最短距离
std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);
// 记录顶点是否被访问过
std::vector<bool> visited(n + 1, false);
// 优先队列中存放 pair<节点，源点到该节点的权值>
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;
// 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
pq.push(pair<int, int>(start, 0));
minDist[start] = 0; // 起始点到自身的距离为0
while (!pq.empty()) {
// 1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过 （通过优先级队列来实现）
// <节点， 源点到该节点的距离>
pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();
if (visited[cur.first]) continue;
// 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
visited[cur.first] = true;
// 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
// cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
}
}
}
if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}- 时间复杂度：O(ElogE) E 为边的数量
- 空间复杂度：O(N + E) N 为节点的数量
堆优化的时间复杂度 只和边的数量有关 和节点数无关，在 优先级队列中 放的也是边。
以上代码中，while (!pq.empty()) 里套了 for (Edge edge : grid[cur.first])
for 里 遍历的是 当前节点 cur 所连接边。
那 当前节点cur 所连接的边 也是不固定的， 这就让大家分不清，这时间复杂度究竟是多少？
其实 for (Edge edge : grid[cur.first]) 里最终的数据走向 是 给队列里添加边。
那么跳出局部代码，整个队列 一定是 所有边添加了一次，同时也弹出了一次。
所以边添加一次时间复杂度是 O(E)， while (!pq.empty()) 里每次都要弹出一个边来进行操作，在优先级队列（小顶堆）中 弹出一个元素的时间复杂度是 O(logE) ，这是堆排序的时间复杂度。
（当然小顶堆里 是 添加元素的时候 排序，还是 取数元素的时候排序，这个无所谓，时间复杂度都是O(E)，总之是一定要排序的，而小顶堆里也不会滞留元素，有多少元素添加 一定就有多少元素弹出）
所以 该算法整体时间复杂度为 O（ElogE)
网上的不少分析 会把 n （节点的数量）算进来，这个分析是有问题的，举一个极端例子，在n 为 10000，且是有一条边的 图里，以上代码，大家感觉执行了多少次？
while (!pq.empty()) 中的 pq 存的是边，其实只执行了一次。
所以该算法时间复杂度 和 节点没有关系。
至于空间复杂度，邻接表是 数组 + 链表 数组的空间 是 N ，有E条边 就申请对应多少个链表节点，所以是 复杂度是 N + E
Java实现如下：
java
import java.util.*;
import java.util.List;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
if(n == 1){
System.out.println(0);
return ;
}
int m = scanner.nextInt();
//邻接表存储表
List<List<Edge>> grid = new ArrayList<>(n+1);
for(int i = 0 ; i <= n ; i++){
grid.add(new ArrayList<>());
}
//读入表
for(int i = 0 ; i < m ; i++){
int from = scanner.nextInt();
int to = scanner.nextInt();
int value = scanner.nextInt();
grid.get(from).add(new Edge(to,value));
}
//构建优先队列维护边集合
PriorityQueue<Edge> pq = new PriorityQueue<>(new MyComparision());
boolean[] visited = new boolean[n+1];
int[] minDist = new int[n+1];
Arrays.fill(minDist,Integer.MAX_VALUE);
//初始化
int start = 1;
int destination = n;
minDist[start] = 0;
pq.add(new Edge(start,0));
//dijkstra算法
while(!pq.isEmpty()){
//访问距离源点最小的未访问过的节点
Edge edge = pq.poll();
if(visited[edge.to]) continue;
visited[edge.to] = true;
//更新当前访问节点的 未访问过的邻接点的 minDist
for(Edge e : grid.get(edge.to)){
if(visited[e.to] == false && minDist[edge.to] + e.value < minDist[e.to]){
minDist[e.to] = minDist[edge.to] + e.value;
pq.add(new Edge(e.to,minDist[e.to]));//pq中加入更新过的节点及其对应的与源点的距离。
//这里不用作删除操作，因为取的一定是权重最小的那一个，并且访问过之后由于visited数组存在，不会再次访问
}
}
}
if(minDist[destination] == Integer.MAX_VALUE){
System.out.println("-1");
}else{
System.out.println(minDist[destination]);
}
}
}
class Edge{
int to;
int value;
Edge(int to , int value){
this.to = to;
this.value = value;
}
}
class MyComparision implements Comparator<Edge>{
@Override
public int compare(Edge o1, Edge o2) {
return Integer.compare(o1.value,o2.value);
}
}也可以像C++里一样，定义一个Pair类使用泛型，PriorityQueue里维护Pair：
java
import java.util.*;
class Edge {
int to; // 邻接顶点
int val; // 边的权重
Edge(int to, int val) {
this.to = to;
this.val = val;
}
}
class MyComparison implements Comparator<Pair<Integer, Integer>> {
@Override
public int compare(Pair<Integer, Integer> lhs, Pair<Integer, Integer> rhs) {
return Integer.compare(lhs.second, rhs.second);
}
}
class Pair<U, V> {
public final U first;
public final V second;
public Pair(U first, V second) {
this.first = first;
this.second = second;
}
}
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
List<List<Edge>> grid = new ArrayList<>(n + 1);
for (int i = 0; i <= n; i++) {
grid.add(new ArrayList<>());
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
int p1 = scanner.nextInt();
int p2 = scanner.nextInt();
int val = scanner.nextInt();
grid.get(p1).add(new Edge(p2, val));
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
// 存储从源点到每个节点的最短距离
int[] minDist = new int[n + 1];
Arrays.fill(minDist, Integer.MAX_VALUE);
// 记录顶点是否被访问过
boolean[] visited = new boolean[n + 1];
// 优先队列中存放 Pair<节点，源点到该节点的权值>
PriorityQueue<Pair<Integer, Integer>> pq = new PriorityQueue<>(new MyComparison());
// 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
pq.add(new Pair<>(start, 0));
minDist[start] = 0; // 起始点到自身的距离为0
while (!pq.isEmpty()) {
// 1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过（通过优先级队列来实现）
// <节点， 源点到该节点的距离>
Pair<Integer, Integer> cur = pq.poll();
if (visited[cur.first]) continue;
// 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
visited[cur.first] = true;
// 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (Edge edge : grid.get(cur.first)) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
// cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.add(new Pair<>(edge.to, minDist[edge.to]));
}
}
}
if (minDist[end] == Integer.MAX_VALUE) {
System.out.println(-1); // 不能到达终点
} else {
System.out.println(minDist[end]); // 到达终点最短路径
}
}
}拓展
当然也有录友可能想 堆优化dijkstra 中 我为什么一定要用邻接表呢，我就用邻接矩阵 行不行 ？
也行的。
但 正是因为稀疏图，所以我们使用堆优化的思路， 如果我们还用 邻接矩阵 去表达这个图的话，就是 一个高效的算法 使用了低效的数据结构，那么 整体算法效率 依然是低的。
总结
在学习一种优化思路的时候，首先就要知道为什么要优化，遇到了什么问题。
正如我在开篇就给大家交代清楚 堆优化方式的背景。
堆优化的整体思路和 朴素版是大体一样的，区别是 堆优化从边的角度出发且利用堆来排序。
三、Bellman_ford 算法精讲
本题依然是单源最短路问题，求 从 节点1 到节点n 的最小费用。 但本题不同之处在于 边的权值是有负数了。
Bellman_ford算法可以解决图中有负权值的求单源最短路问题（不能解决有负环的问题）。
Bellman_ford算法的核心思想是 对所有边进行松弛n-1次操作（n为节点数量），从而求得目标最短路。
什么叫做松弛
《算法四》里面把这个操作叫做 "放松"， 英文版里叫做 "relax the edge"
所以大家翻译过来，就是 "放松" 或者 "松弛" 。
但《算法四》没有具体去讲这个 "放松" 究竟是个啥？ 网上很多题解也没有讲题解里的 "松弛这条边，松弛所有边"等等 里面的 "松弛" 究竟是什么意思？
这里我给大家举一个例子，每条边有起点、终点和边的权值。例如一条边，节点A 到 节点B 权值为value，如图：
minDist[B] 表示 到达B节点 最小权值，minDist[B] 有哪些状态可以推出来？
状态一： minDist[A] + value 可以推出 minDist[B] 状态二： minDist[B]本身就有权值 （可能是其他边链接的节点B 例如节点C，以至于 minDist[B]记录了其他边到minDist[B]的权值）
minDist[B] 应为如何取舍。
本题我们要求最小权值，那么 这两个状态我们就取最小的
cpp
if (minDist[B] > minDist[A] + value) minDist[B] = minDist[A] + value也就是说，如果 通过 A 到 B 这条边可以获得更短的到达B节点的路径，即如果 minDist[B] > minDist[A] + value，那么我们就更新 minDist[B] = minDist[A] + value ，这个过程就叫做 "松弛" 。
以上讲了这么多，其实都是围绕以下这句代码展开：
cpp
if (minDist[B] > minDist[A] + value) minDist[B] = minDist[A] + value这句代码就是 Bellman_ford算法的核心操作。
以上代码也可以这么写：minDist[B] = min(minDist[A] + value, minDist[B])
如果大家看过代码随想录的动态规划章节，会发现 无论是背包问题还是子序列问题，这段代码（递推公式）出现频率非常高的。
其实 Bellman_ford算法 也是采用了动态规划的思想，即：将一个问题分解成多个决策阶段，通过状态之间的递归关系最后计算出全局最优解。
即 松弛操作就是Bellman_ford算法里进行动态规划中的一个单步操作，这个单步操作取当前遍历到的元素 在 当前状态下 最优的minDist.
那么为什么是 n - 1次 松弛呢？
这里要模拟一遍 Bellman_ford 的算法才行，接下来看对所有边松弛 n - 1 次的操作是什么样的。
依然使用minDist数组来表达 起点到各个节点的最短距离，例如minDist[3] = 5 表示起点到达节点3 的最小距离为5
模拟过程
初始化过程。
起点为节点1， 起点到起点的距离为0，所以 minDist[1] 初始化为0
如图：
其他节点对应的minDist初始化为max，因为我们要求最小距离，那么还没有计算过的节点 默认是一个最大数，这样才能更新最小距离。
对所有边 进行第一次松弛： （什么是松弛，在上面我已经详细讲过）
以示例给出的所有边为例：
5 6 -2
1 2 1
5 3 1
2 5 2
2 4 -3
4 6 4
1 3 5
接下来我们来松弛一遍所有的边。
边：节点5 -> 节点6，权值为-2 ，minDist[5] 还是默认数值max，所以不能基于 节点5 去更新节点6，如图：
（在复习一下，minDist[5] 表示起点到节点5的最短距离）
边：节点1 -> 节点2，权值为1 ，minDist[2] > minDist[1] + 1 ，更新 minDist[2] = minDist[1] + 1 = 0 + 1 = 1 ，如图：
边：节点5 -> 节点3，权值为1 ，minDist[5] 还是默认数值max，所以不能基于节点5去更新节点3 如图：
边：节点2 -> 节点5，权值为2 ，minDist[5] > minDist[2] + 2 （经过上面的计算minDist[2]已经不是默认值，而是 1），更新 minDist[5] = minDist[2] + 2 = 1 + 2 = 3 ，如图：
边：节点2 -> 节点4，权值为-3 ，minDist[4] > minDist[2] + (-3)，更新 minDist[4] = minDist[2] + (-3) = 1 + (-3) = -2 ，如图：
边：节点4 -> 节点6，权值为4 ，minDist[6] > minDist[4] + 4，更新 minDist[6] = minDist[4] + 4 = -2 + 4 = 2
边：节点1 -> 节点3，权值为5 ，minDist[3] > minDist[1] + 5，更新 minDist[3] = minDist[1] + 5 = 0 + 5 = 5 ，如图：
以上是对所有边进行一次松弛之后的结果。
那么需要对所有边松弛几次才能得到 起点（节点1） 到终点（节点6）的最短距离呢？
对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离。
上面的距离中，我们得到里 起点达到 与起点一条边相邻的节点2 和 节点3 的最短距离，分别是 minDist[2] 和 minDist[3]
这里有录友疑惑了 minDist[3] = 5，分明不是 起点到达 节点3 的最短距离，节点1 -> 节点2 -> 节点5 -> 节点3 这条路线 距离才是4。
注意我上面讲的是 对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离，这里 说的是 一条边相连的节点。
与起点（节点1）一条边相邻的节点，到达节点2 最短距离是 1，到达节点3 最短距离是5。
而 节点1 -> 节点2 -> 节点5 -> 节点3 这条路线 是 与起点 三条边相连的路线了。
所以对所有边松弛一次 能得到 与起点 一条边相连的节点最短距离。
那对所有边松弛两次 可以得到与起点 两条边相连的节点的最短距离。
那对所有边松弛三次 可以得到与起点 三条边相连的节点的最短距离，这个时候，我们就能得到到达节点3真正的最短距离，也就是 节点1 -> 节点2 -> 节点5 -> 节点3 这条路线。
那么再回归刚刚的问题，需要对所有边松弛几次才能得到 起点（节点1） 到终点（节点6）的最短距离呢？
节点数量为n，那么起点到终点，最多是 n-1 条边相连。
那么无论图是什么样的，边是什么样的顺序，我们对所有边松弛 n-1 次 就一定能得到 起点到达 终点的最短距离。
其实也同时计算出了，起点 到达 所有节点的最短距离，因为所有节点与起点连接的边数最多也就是 n-1 条边。
截止到这里，Bellman_ford 的核心算法思路，大家就了解的差不多了。
共有两个关键点。
- "松弛"究竟是个啥？
- 为什么要对所有边松弛 n - 1 次 （n为节点个数） ？
那么Bellman_ford的解题解题过程其实就是对所有边松弛 n-1 次，然后得出得到终点的最短路径。
Java实现如下：
java
import java.util.*;
import java.util.List;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
List<Edge> edges = new ArrayList<>();
for(int i = 0 ; i < m ; i++){
edges.add(new Edge(scanner.nextInt(),scanner.nextInt(),scanner.nextInt()));
}
//初始化
int start = 1;
int end = n;
int[] minDist = new int[n+1];
Arrays.fill(minDist,Integer.MAX_VALUE);
minDist[start] = 0;
for(int i = 0 ; i < n-1 ; i++){
//对所有的边进行n-1次松弛操作
for(Edge edge : edges){
if(minDist[edge.from] != Integer.MAX_VALUE && minDist[edge.from] + edge.value < minDist[edge.to]){
minDist[edge.to] = minDist[edge.from] + edge.value;
}
}
}
if(minDist[end] == Integer.MAX_VALUE){
System.out.println("unconnected");
}else{
System.out.println(minDist[end]);
}
}
}
class Edge{
int from;
int to;
int value;
Edge(int from, int to , int value){
this.from = from;
this.to = to;
this.value = value;
}
}总结
Bellman_ford 是可以计算 负权值的单源最短路算法。
其算法核心思路是对 所有边进行 n-1 次 松弛。
弄清楚 什么是 松弛？ 为什么要 n-1 次？ 对理解Bellman_ford 非常重要。
四、Bellman_ford 队列优化算法（又名SPFA）
可以发现 Bellman_ford 算法每次松弛 都是对所有边进行松弛。
但真正有效的松弛，是基于已经计算过的节点在做的松弛。
给大家举一个例子：
本图中，对所有边进行松弛，真正有效的松弛，只有松弛 边（节点1->节点2） 和 边（节点1->节点3） 。
而松弛 边（节点4->节点6） ，边（节点5->节点3）等等 都是无效的操作，因为 节点4 和 节点 5 都是没有被计算过的节点。
所以 Bellman_ford 算法 每次都是对所有边进行松弛，其实是多做了一些无用功。
只需要对 上一次松弛的时候更新过的节点作为出发节点所连接的边 进行松弛就够了 。（对上一轮更新结点的出发边做松弛）
基于以上思路，如何记录 上次松弛的时候更新过的节点呢？
用队列来记录。（其实用栈也行，对元素顺序没有要求）
模拟过程
接下来来举例这个队列是如何工作的。
以示例给出的所有边为例：
5 6 -2
1 2 1
5 3 1
2 5 2
2 4 -3
4 6 4
1 3 5
我们依然使用minDist数组来表达 起点到各个节点的最短距离，例如minDist[3] = 5 表示起点到达节点3 的最小距离为5
初始化，起点为节点1， 起点到起点的最短距离为0，所以minDist[1] 为 0。 将节点1 加入队列 （下次松弛从节点1开始）
从队列里取出节点1，松弛节点1 作为出发点连接的边（节点1 -> 节点2）和边（节点1 -> 节点3）
边：节点1 -> 节点2，权值为1 ，minDist[2] > minDist[1] + 1 ，更新 minDist[2] = minDist[1] + 1 = 0 + 1 = 1 。
边：节点1 -> 节点3，权值为5 ，minDist[3] > minDist[1] + 5，更新 minDist[3] = minDist[1] + 5 = 0 + 5 = 5。
将节点2、节点3 加入队列，如图：
从队列里取出节点2，松弛节点2 作为出发点连接的边（节点2 -> 节点4）和边（节点2 -> 节点5）
边：节点2 -> 节点4，权值为1 ，minDist[4] > minDist[2] + (-3) ，更新 minDist[4] = minDist[2] + (-3) = 1 + (-3) = -2 。
边：节点2 -> 节点5，权值为2 ，minDist[5] > minDist[2] + 2 ，更新 minDist[5] = minDist[2] + 2 = 1 + 2 = 3 。
将节点4，节点5 加入队列，如图：
从队列里出去节点3，松弛节点3 作为出发点连接的边。
因为没有从节点3作为出发点的边，所以这里就从队列里取出节点3就好，不用做其他操作，如图：
从队列中取出节点4，松弛节点4作为出发点连接的边（节点4 -> 节点6）
边：节点4 -> 节点6，权值为4 ，minDist[6] > minDist[4] + 4，更新 minDist[6] = minDist[4] + 4 = -2 + 4 = 2 。
将节点6加入队列
如图：
从队列中取出节点5，松弛节点5作为出发点连接的边（节点5 -> 节点3），边（节点5 -> 节点6）
边：节点5 -> 节点3，权值为1 ，minDist[3] > minDist[5] + 1 ，更新 minDist[3] = minDist[5] + 1 = 3 + 1 = 4
边：节点5 -> 节点6，权值为-2 ，minDist[6] > minDist[5] + (-2) ，更新 minDist[6] = minDist[5] + (-2) = 3 - 2 = 1
如图，将节点3加入队列，因为节点6已经在队列里，所以不用重复添加
所以我们在加入队列的过程可以有一个优化，用visited数组记录已经在队列里的元素，已经在队列的元素不用重复加入
从队列中取出节点6，松弛节点6 作为出发点连接的边。
节点6作为终点，没有可以出发的边。
同理从队列中取出节点3，也没有可以出发的边
所以直接从队列中取出，如图：
这样我们就完成了基于队列优化的bellman_ford的算法模拟过程。
大家可以发现 基于队列优化的算法，要比bellman_ford 算法 减少很多无用的松弛情况，特别是对于边数众多的大图 优化效果明显。
Java代码如下：
java
import java.util.*;
import java.util.List;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
List<List<Edge>> edges = new ArrayList<>(n+1);
for(int i = 0 ; i <= n; i++){
edges.add(new ArrayList<>());
}
for(int i = 0 ; i < m ; i++){
int from = scanner.nextInt();
int to = scanner.nextInt();
int value = scanner.nextInt();
edges.get(from).add(new Edge(from,to,value));
}
boolean[] visited = new boolean[n+1];
int[] minDist = new int[n+1];
Arrays.fill(minDist,Integer.MAX_VALUE);
int start = 1;
int end = n;
minDist[start] = 0;
Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
queue.add(start);
visited[start] = true;
//进行松弛操作
while(!queue.isEmpty()){
int node = queue.remove();
visited[node] = false;
for(Edge edge : edges.get(node)){
if(!visited[node] && minDist[node] + edge.value < minDist[edge.to]){
minDist[edge.to] = minDist[node] + edge.value;
queue.add(edge.to);
visited[edge.to] = true;
}
}
}
if(minDist[end] == Integer.MAX_VALUE){
System.out.println("unconnected");
}else{
System.out.println(minDist[end]);
}
}
}
class Edge{
int from;
int to;
int value;
Edge(int from, int to , int value){
this.from = from;
this.to = to;
this.value = value;
}
}效率分析
队列优化版Bellman_ford 的时间复杂度 并不稳定，效率高低依赖于图的结构。
例如 如果是一个双向图，且每一个节点和所有其他节点都相连的话，那么该算法的时间复杂度就接近于 Bellman_ford 的 O(N * E) N 为节点数量，E为边的数量。
在这种图中，每一个节点都会重复加入队列 n - 1次，因为 这种图中 每个节点 都有 n-1 条指向该节点的边，每条边指向该节点，就需要加入一次队列。
如果图越稠密，则 SPFA的效率越接近与 Bellman_ford。
反之，图越稀疏，SPFA的效率就越高。
一般来说，SPFA 的时间复杂度为 O(K * N) K 为不定值，因为 节点需要计入几次队列取决于 图的稠密度。
如果图是一条线形图且单向的话，每个节点的入度为1，那么只需要加入一次队列，这样时间复杂度就是 O(N)。
所以 SPFA 在最坏的情况下是 O(N * E)，但 一般情况下 时间复杂度为 O(K * N)。
尽管如此，以上分析都是 理论上的时间复杂度分析。
并没有计算 出队列 和 入队列的时间消耗。 因为这个在不同语言上 时间消耗也是不一定的。
拓展
这里可能有录友疑惑，while (!que.empty()) 队里里 会不会造成死循环？ 例如 图中有环，这样一直有元素加入到队列里？
其实有环的情况，要看它是 正权回路 还是 负权回路。
题目描述中，已经说了，本题没有 负权回路 。
如图：
正权回路 就是有环，但环的总权值为正数。
在有环且只有正权回路的情况下，即使元素重复加入队列，最后，也会因为 所有边都松弛后，节点数值（minDist数组）不在发生变化了 而终止。
（而且有重复元素加入队列是正常的，多条路径到达同一个节点，节点必要要选择一个最短的路径，而这个节点就会重复加入队列进行判断，选一个最短的）
在0094.城市间货物运输I 中我们讲过对所有边 最多松弛 n -1 次，就一定可以求出所有起点到所有节点的最小距离即 minDist数组。
即使再松弛n次以上， 所有起点到所有节点的最小距离（minDist数组） 不会再变了。 （这里如果不理解，建议认真看0094.城市间货物运输I讲解）
所以本题我们使用队列优化，有元素重复加入队列，也会因为最后 minDist数组 不会在发生变化而终止。
节点再加入队列，需要有松弛的行为， 而 每个节点已经都计算出来 起点到该节点的最短路径，那么就不会有 执行这个判断条件if (minDist[to] > minDist[from] + value)，从而不会有新的节点加入到队列。
但如果本题有 负权回路，那情况就不一样了。
五、bellman_ford之判断负权回路
本题中，在评估从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中综合政府补贴后的最低运输成本时，存在一种情况：图中可能出现负权回路。
负权回路是指一系列道路的总权值为负，这样的回路使得通过反复经过回路中的道路，理论上可以无限地减少总成本或无限地增加总收益。
为了避免货物运输商采用负权回路这种情况无限的赚取政府补贴，算法还需检测这种特殊情况。
思路
使用 bellman_ford 算法来判断 负权回路。
在 kama94.城市间货物运输I 中 我们讲了 bellman_ford 算法的核心就是一句话：对 所有边 进行 n-1 次松弛。 同时文中的 【拓展】部分， 我们也讲了 松弛n次以上 会怎么样？
在没有负权回路的图中，松弛 n 次以上 ，结果不会有变化。
但本题有 负权回路，如果松弛 n 次，结果就会有变化了，因为 有负权回路 就是可以无限最短路径（一直绕圈，就可以一直得到无限小的最短距离）。
那么每松弛一次，都会更新最短路径，所以结果会一直有变化。
在代码中，进行n次松弛，前n-1次计算最短路，第n次判断是否有负环。如果第n次仍然有minDist需要更新的情况，那么说明有负环：
java
import java.util.*;
import java.util.List;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
List<Edge> edges = new ArrayList<>();
for(int i = 0 ; i < m ; i++){
edges.add(new Edge(scanner.nextInt(),scanner.nextInt(),scanner.nextInt()));
}
//初始化
int start = 1;
int end = n;
int[] minDist = new int[n+1];
Arrays.fill(minDist,Integer.MAX_VALUE);
minDist[start] = 0;
boolean flag = false;
for(int i = 0 ; i < n ; i++){
//对所有的边进行n次松弛操作，其中第n次用于判断是否有负环
if(i < n-1){
for(Edge edge : edges){
if(minDist[edge.from] != Integer.MAX_VALUE && minDist[edge.from] + edge.value < minDist[edge.to]){
minDist[edge.to] = minDist[edge.from] + edge.value;
}
}
}else{
for(Edge edge : edges){
if(minDist[edge.from] != Integer.MAX_VALUE && minDist[edge.from] + edge.value < minDist[edge.to]){
flag = true;
break;
}
}
}
}
if(flag){
System.out.println("circle");
}else if(minDist[end] == Integer.MAX_VALUE){
System.out.println("unconnected");
}else{
System.out.println(minDist[end]);
}
}
}
class Edge{
int from;
int to;
int value;
Edge(int from, int to , int value){
this.from = from;
this.to = to;
this.value = value;
}
}拓展
本题可不可 使用 队列优化版的bellman_ford（SPFA）呢？
上面的解法中，我们对所有边松弛了n-1次后，在松弛一次，如果出现minDist出现变化就判断有负权回路。
如果使用 SPFA 那么节点都是进队列的，那么节点进入队列几次后 足够判断该图是否有负权回路呢？
在 0094.城市间货物运输I-SPFA 中，我们讲过 在极端情况下，即：所有节点都与其他节点相连，每个节点的入度为 n-1 （n为节点数量），所以每个节点最多加入 n-1 次队列。
那么如果节点加入队列的次数 超过了 n-1次 ，那么该图就一定有负权回路。
所以本题也是可以使用 SPFA 来做的。
六、bellman_ford之单源有限最短路
本题要求计算在最多经过 k 个城市的条件下，从城市 src 到城市 dst 的最低运输成本。
根据bellman_ford算法的思路，容易想到可以进行k+1次松弛。
问题在于在每一次松弛的时候，受到松弛边的处理顺序的影响，当前在处理的边的结果可能在本次松弛过程中影响到其他边，实际起到了一条边被多次松弛的效果，这就导致了k实际上不起作用，这不是我们期望的。
我们期望的是第一次松弛只更新和start直接相连的边，第二次松弛在第一次松弛的基础上更新和start间隔1个城市的边。参考讲解：代码随想录：bellman_ford之单源有限最短路
那么只需要将上一次的minDist记录下来，本次更新使用上一次的minDist，避免本次更新minDist过程中使用到本次的结果。
Java实现如下：
java
import java.util.*;
import java.util.List;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
List<Edge> edges = new ArrayList<>();
for(int i = 0; i < m; i++){
int from = scanner.nextInt();
int to = scanner.nextInt();
int value = scanner.nextInt();
edges.add(new Edge(from,to,value));
}
int[] minDist = new int[n+1];
int[] minDist_pre ;
Arrays.fill(minDist,Integer.MAX_VALUE);
int start = scanner.nextInt();
int end = scanner.nextInt();
minDist[start] = 0;
int k = scanner.nextInt();
for(int i = 0 ; i < k+1 ; i++){
minDist_pre = Arrays.copyOf(minDist,n+1);
for(Edge edge : edges){
if(minDist_pre[edge.from] != Integer.MAX_VALUE && minDist_pre[edge.from] + edge.value < minDist[edge.to]){
//要更新的是 minDist[edge.to] 使用 minDist_pre进行更新
minDist[edge.to] = minDist_pre[edge.from] + edge.value;
}
}
}
if(minDist[end] == Integer.MAX_VALUE){
System.out.println("unreachable");
}else{
System.out.println(minDist[end]);
}
}
}
class Edge{
int from;
int to;
int value;
Edge(int from, int to , int value){
this.from = from;
this.to = to;
this.value = value;
}
}拓展一（边的顺序的影响）
其实边的顺序会影响我们每一次拓展的结果。
我来给大家举个例子。
我上面讲解中，给出的示例是这样的：
4 4
1 2 -1
2 3 1
3 1 -1
3 4 1
1 4 3
我将示例中边的顺序改一下，给成：
4 4
3 1 -1
3 4 1
2 3 1
1 2 -1
1 4 3
所构成是图是一样的，都是如下的这个图，但给出的边的顺序是不一样的。
再用版本一的代码是运行一下，发现结果输出是 1， 是对的。
分明刚刚输出的结果是 -2，是错误的，怎么 一样的图，这次输出的结果就对了呢？
其实这是和示例中给出的边的顺序是有关的，
我们按照修改后的示例再来模拟 对所有边的第一次拓展情况。
初始化：
边：节点3 -> 节点1，权值为-1 ，节点3还没有被计算过，节点1 不更新。
边：节点3 -> 节点4，权值为1 ，节点3还没有被计算过，节点4 不更新。
边：节点2 -> 节点3，权值为 1 ，节点2还没有被计算过，节点3 不更新。
边：节点1 -> 节点2，权值为 -1 ，minDist[2] > minDist[1] + (-1)，更新 minDist[2] = 0 + (-1) = -1 ，如图：
以上是对所有边 松弛一次的状态。
可以发现 同样的图，边的顺序不一样，使用版本一的代码 每次松弛更新的节点也是不一样的。
而边的顺序是随机的，是题目给我们的，所以本题我们才需要 记录上一次松弛的minDist，来保障 每一次对所有边松弛的结果。
拓展二（本题本质）
那么前面讲解过的 94.城市间货物运输I 和 95.城市间货物运输II 也是bellman_ford经典算法，也没使用 minDist_copy，怎么就没问题呢？
94.城市间货物运输I， 是没有 负权回路的，那么 多松弛多少次，对结果都没有影响。
求 节点1 到 节点n 的最短路径，松弛n-1 次就够了，松弛 大于 n-1次，结果也不会变。
那么在对所有边进行第一次松弛的时候，如果基于 本次计算的 minDist 来计算 minDist （相当于多做松弛了），也是对最终结果没影响。
95.城市间货物运输II 是判断是否有 负权回路，一旦有负权回路， 对所有边松弛 n-1 次以后，在做松弛 minDist 数值一定会变，根据这一点来判断是否有负权回路。
所以，95.城市间货物运输II 只需要判断minDist数值变化了就行，而 minDist 的数值对不对，并不是我们关心的。
那么本题 为什么计算minDist 一定要基于上次 的 minDist 数值。
其关键在于本题的两个因素：
- 本题可以有负权回路，说明只要多做松弛，结果是会变的。
- 本题要求最多经过k个节点，对松弛次数是有限制的。（这就不允许有多松弛的效果）
如果本题中 没有负权回路的测试用例， 那版本一的代码就可以过了，也就不用我费这么大口舌去讲解的这个坑了。
拓展三（SPFA）
本题也可以用 SPFA来做，关于 SPFA ，已经在这里 0094.城市间货物运输I-SPFA 有详细讲解。
使用SPFA算法解决本题的时候，关键在于 如何控制松弛k次。
其实实现不难，但有点技巧，可以用一个变量 que_size 记录每一轮松弛入队列的所有节点数量。
下一轮松弛的时候，就把队列里 que_size 个节点都弹出来，就是上一轮松弛入队列的节点。
（SPFA实际上更符合对k个节点的要求，更加直观）
代码如下（详细注释）
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;
struct Edge { //邻接表
int to; // 链接的节点
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数
};
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<list<Edge>> grid(n + 1); // 邻接表
// 将所有边保存起来
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1 指向 p2，权值为 val
grid[p1].push_back(Edge(p2, val));
}
int start, end, k;
cin >> start >> end >> k;
k++;
vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
vector<int> minDist_copy(n + 1); // 用来记录每一次遍历的结果
minDist[start] = 0;
queue<int> que;
que.push(start); // 队列里放入起点
int que_size;
while (k-- && !que.empty()) {
minDist_copy = minDist; // 获取上一次计算的结果
que_size = que.size(); // 记录上次入队列的节点个数
while (que_size--) { // 上一轮松弛入队列的节点，这次对应的边都要做松弛
int node = que.front(); que.pop();
for (Edge edge : grid[node]) {
int from = node;
int to = edge.to;
int price = edge.val;
if (minDist[to] > minDist_copy[from] + price) {
minDist[to] = minDist_copy[from] + price;
que.push(to);
}
}
}
}
if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unreachable" << endl;
else cout << minDist[end] << endl;
}时间复杂度： O(K * H) H 为不确定数，取决于 图的稠密度，但H 一定是小于等于 E 的
关于 SPFA的是时间复杂度分析，我在0094.城市间货物运输I-SPFA 有详细讲解
但大家会发现，以上代码大家提交后，怎么耗时这么多？
理论上，SPFA的时间复杂度不是要比 bellman_ford 更优吗？
怎么耗时多了这么多呢？
以上代码有一个可以改进的点，每一轮松弛中，重复节点可以不用入队列。
因为重复节点入队列，下次从队列里取节点的时候，该节点要取很多次，而且都是重复计算。
所以代码可以优化成这样：
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;
struct Edge { //邻接表
int to; // 链接的节点
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数
};
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<list<Edge>> grid(n + 1); // 邻接表
// 将所有边保存起来
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1 指向 p2，权值为 val
grid[p1].push_back(Edge(p2, val));
}
int start, end, k;
cin >> start >> end >> k;
k++;
vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
vector<int> minDist_copy(n + 1); // 用来记录每一次遍历的结果
minDist[start] = 0;
queue<int> que;
que.push(start); // 队列里放入起点
int que_size;
while (k-- && !que.empty()) {
vector<bool> visited(n + 1, false); // 每一轮松弛中，控制节点不用重复入队列
minDist_copy = minDist;
que_size = que.size();
while (que_size--) {
int node = que.front(); que.pop();
for (Edge edge : grid[node]) {
int from = node;
int to = edge.to;
int price = edge.val;
if (minDist[to] > minDist_copy[from] + price) {
minDist[to] = minDist_copy[from] + price;
if(visited[to]) continue; // 不用重复放入队列，但需要重复松弛，所以放在这里位置
visited[to] = true;
que.push(to);
}
}
}
}
if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unreachable" << endl;
else cout << minDist[end] << endl;
}以上代码提交后，耗时情况：
大家发现 依然远比 bellman_ford 的代码版本 耗时高。
这又是为什么呢？
对于后台数据，我特别制作的一个稠密大图，该图有250个节点和10000条边， 在这种情况下， SPFA 的时间复杂度 是接近与 bellman_ford的。
但因为 SPFA 节点的进出队列操作，耗时很大，所以相同的时间复杂度的情况下，SPFA 实际上更耗时了。
这一点我在 0094.城市间货物运输I-SPFA 有分析，感兴趣的录友再回头去看看。
拓展四（能否用dijkstra）
本题能否使用 dijkstra 算法呢？
dijkstra 是贪心的思路 每一次搜索都只会找距离源点最近的非访问过的节点。
如果限制最多访问k个节点，那么 dijkstra 未必能在有限次就能到达终点，即使在经过k个节点确实可以到达终点的情况下。
这么说大家会感觉有点抽象，我用 dijkstra朴素版精讲 里的示例在举例说明： （如果没看过我讲的dijkstra朴素版精讲，建议去仔细看一下，否则下面讲解容易看不懂）
在以下这个图中，求节点1 到 节点7 最多经过2个节点 的最短路是多少呢？
最短路显然是：
最多经过2个节点，也就是3条边相连的路线：节点1 -> 节点2 -> 节点6-> 节点7
如果是 dijkstra 求解的话，求解过程是这样的： （下面是dijkstra的模拟过程，我精简了很多，如果看不懂，一定要先看dijkstra朴素版精讲）
初始化如图所示：
找距离源点最近且没有被访问过的节点，先找节点1
距离源点最近且没有被访问过的节点，找节点2：
距离源点最近且没有被访问过的节点，找到节点3：
距离源点最近且没有被访问过的节点，找到节点4：
此时最多经过2个节点的搜索就完毕了，但结果中minDist[7] （即节点7的结果）并没有被更。
那么 dijkstra 会告诉我们 节点1 到 节点7 最多经过2个节点的情况下是不可到达的。
通过以上模拟过程，大家应该能感受到 dijkstra 贪心的过程，正是因为 贪心，所以 dijkstra 找不到 节点1 -> 节点2 -> 节点6-> 节点7 这条路径。
本质上的原因是dijkstra是贪心的。
总结
本题是单源有限最短路问题，也是 bellman_ford的一个拓展问题，如果理解bellman_ford 其实思路比较容易理解，但有很多细节。
例如 为什么要用 minDist_copy 来记录上一轮 松弛的结果。 这也是本篇我为什么花了这么大篇幅讲解的关键所在。
接下来，还给大家做了四个拓展：
- 边的顺序的影响
- 本题的本质
- SPFA的解法
- 能否用dijkstra
学透了以上四个拓展，相信大家会对bellman_ford有更深入的理解。
七、Floyd 算法精讲
思路
本题是经典的多源最短路问题，即 求多个起点到多个终点的多条最短路径。
通过本题来系统讲解一个新的最短路算法-Floyd 算法。
Floyd 算法对边的权值正负没有要求，都可以处理。
Floyd算法核心思想是动态规划。
例如我们再求节点1 到 节点9 的最短距离，用二维数组来表示即：grid[1][9]，如果最短距离是10 ，那就是 grid[1][9] = 10。
那 节点1 到 节点9 的最短距离 是不是可以由 节点1 到节点5的最短距离 + 节点5到节点9的最短距离组成呢？
即 grid[1][9] = grid[1][5] + grid[5][9]
节点1 到节点5的最短距离 是不是可以有 节点1 到 节点3的最短距离 + 节点3 到 节点5 的最短距离组成呢？
即 grid[1][5] = grid[1][3] + grid[3][5]
以此类推，节点1 到 节点3的最短距离 可以由更小的区间组成。
那么这样我们是不是就找到了，子问题推导求出整体最优方案的递归关系呢。
节点1 到 节点9 的最短距离 可以由 节点1 到节点5的最短距离 + 节点5到节点9的最短距离组成， 也可以有 节点1 到节点7的最短距离 + 节点7 到节点9的最短距离的距离组成。
那么选哪个呢？
是不是 要选一个最小的，毕竟是求最短路。
此时我们已经接近明确递归公式了。
之前在讲解动态规划的时候，给出过动规五部曲：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
那么接下来我们还是用这五部来给大家讲解 Floyd。
1、dp数组及下标含义
grid[i][j][k] = m：表示 从节点 i 考虑经过（可以选择经过或者不经过）节点1~k 到节点j 的代价是m.
2、确定递推公式
想要从 grid[i][j][k-1] 得到 grid[i][j][k] ，考虑两种情况
（1）从i到j的最短路径经过节点k，那么
grid[i][j][k] = grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1] 右边的两个依赖项均计算过了
（2）从i到j的最短路径经过节点k，那么
grid[i][j][k] = grid[i][j][k-1]
综上，递推公式为 grid[i][j][k] = Math.min(grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1] , grid[i][j][k-1]);
3、初始化
考虑 k = 0 的情况 ，根据定义，此时grid[i][j][0] 是 从i到j不经过任何节点所要付出的代价，那么只能是i和j直接相连，所以在读入边的时候对grid[i][j][0]和 grid[j][i][0]初始化成对应的权重（无向图）
4、遍历顺序
dp数组是三维数组，初始化的都是k=0这个平面，要保证每一次计算的时候，它所以来的项都已经计算出来，并且依赖于之前计算的结果，这就要求从k=0这个平面一层一层向上计算。所以最外层的循环是k，内层的i的循环和j的循环可以交换。
5、dp模拟
日志输出的时候可以按k=0,1,2...逐层输出。
Java实现如下：
java
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
int[][][] grid = new int[n+1][n+1][n+1];
for(int[][] grid1 : grid){
for(int[] grid2 : grid1){
Arrays.fill(grid2,Integer.MAX_VALUE);
}
}
//读图，初始化
for(int i = 0 ; i < m; i++){
int start = scanner.nextInt();
int end = scanner.nextInt();
int value = scanner.nextInt();
grid[start][end][0] = value;
grid[end][start][0] = value;
}
//动态规划
for(int k = 1 ; k <= n ; k++){
for(int i = 1 ; i <= n; i++){
for(int j = 1 ; j <= n; j++){
if(grid[i][k][k-1] == Integer.MAX_VALUE || grid[k][j][k-1] == Integer.MAX_VALUE) grid[i][j][k] = grid[i][j][k-1];
else grid[i][j][k] = Math.min(grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1],grid[i][j][k-1]); //如果初始化成Integer.MAX_VALUE,这里可能溢出，可以先判断一下是不是
}
}
}
//答案输出
int plans = scanner.nextInt();
for(int i = 0 ; i < plans ; i++){
int start = scanner.nextInt();
int end = scanner.nextInt();
if(grid[start][end][n] != Integer.MAX_VALUE){
System.out.println(grid[start][end][n]);
}else{
System.out.println("-1");
}
}
}
}注意一个问题，dp数组递推的过程中，可能会出现Integer.MAX_VALUE相加导致溢出，需要预先判断一下。
也可以选择一个题目中一定不会到达的大数同时还能够避免溢出的 来初始化。
空间优化
这里 我们可以做一下 空间上的优化，从滚动数组的角度来看，我们定义一个 grid[n + 1][ n + 1][2] 这么大的数组就可以，因为k 只是依赖于 k-1的状态，并不需要记录k-2，k-3，k-4 等等这些状态。
那么我们只需要记录 grid[i][j][1] 和 grid[i][j][0] 就好，之后就是 grid[i][j][1] 和 grid[i][j][0] 交替滚动。
在进一步想，如果本层计算（本层计算即k相同，从三维角度来讲） grid[i][j] 用到了 本层中刚计算好的 grid[i][k] 会有什么问题吗？
如果 本层刚计算好的 grid[i][k] 比上一层 （即k-1层）计算的 grid[i][k] 小，说明确实有 i 到 k 的更短路径，那么基于 更小的 grid[i][k] 去计算 gird[i][j] 没有问题。
如果 本层刚计算好的 grid[i][k] 比上一层 （即k-1层）计算的 grid[i][k] 大， 这不可能，因为这样也不会做更新 grid[i][k]的操作。
所以本层计算中，使用了本层计算过的 grid[i][k] 和 grid[k][j] 是没问题的。
那么就没必要区分，grid[i][k] 和 grid[k][j] 是 属于 k - 1 层的呢，还是 k 层的。
所以递归公式可以为：
grid[i][j] = min(grid[i][j], grid[i][k] + grid[k][j]);
Java实现如下：
java
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
int[][] grid = new int[n+1][n+1];
for(int[] grid1 : grid){
Arrays.fill(grid1,Integer.MAX_VALUE);
}
//读图，初始化
for(int i = 0 ; i < m; i++){
int start = scanner.nextInt();
int end = scanner.nextInt();
int value = scanner.nextInt();
grid[start][end] = value;
grid[end][start] = value;
}
//动态规划
for(int k = 1; k <= n ; k++){
for(int i = 1; i <= n ; i++){
for(int j = 1 ; j <= n ; j++){
if(grid[i][k] == Integer.MAX_VALUE || grid[k][j] == Integer.MAX_VALUE) continue;
else grid[i][j] = Math.min(grid[i][j],grid[i][k] + grid[k][j]);
}
}
}
//答案输出
int plans = scanner.nextInt();
for(int i = 0 ; i < plans ; i++){
int start = scanner.nextInt();
int end = scanner.nextInt();
if(grid[start][end] != Integer.MAX_VALUE){
System.out.println(grid[start][end]);
}else{
System.out.println("-1");
}
}
}
}总结
本期如果上来只用二维数组来讲的话，其实更容易，但遍历顺序那里用二维数组其实是讲不清楚的，所以我直接用三维数组来讲，目的是将遍历顺序这里讲清楚。
理解了遍历顺序才是floyd算法最精髓的地方。
floyd算法的时间复杂度相对较高，适合 稠密图且源点较多的情况。
如果是稀疏图，floyd是从节点的角度去计算了，例如 图中节点数量是 1000，就一条边，那 floyd的时间复杂度依然是 O(n^3) 。
如果 源点少，其实可以 多次dijsktra 求源点到终点。
八、A * 算法精讲 （A star算法）
bfs
本题要求求最短路径，容易想到bfs：
Java实现：
java
import java.util.*;
public class Main {
static int[][]directions = {{1,2},{2,1},{-1,2},{2,-1},{1,-2},{-2,1},{-1,-2},{-2,-1}};
public static void main(String[] args) {
int[][] grid = new int[1001][1001];
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
for(int i = 0 ; i < n; i++){
//注意每次都要把grid清0
for(int[] l : grid){
Arrays.fill(l,0);
}
int startX = scanner.nextInt();
int startY = scanner.nextInt();
int endX = scanner.nextInt();
int endY= scanner.nextInt();
if(startX == endX && startY == endY){
System.out.println(0);
continue;
}
Queue<int[]> queue = new ArrayDeque<>();
queue.add(new int[]{startX,startY});
while(!queue.isEmpty()){
int[] nowLocation = queue.remove();
int nowX = nowLocation[0];
int nowY = nowLocation[1];
for(int j = 0 ; j < 8 ; j++){
int nextX = nowX + directions[j][0];
int nextY = nowY + directions[j][1];
if(nextX < 1 || nextX > 1000 || nextY < 1 || nextY > 1000) continue;
if(grid[nextX][nextY] == 0){
grid[nextX][nextY] = grid[nowX][nowY] + 1;
queue.add(new int[]{nextX,nextY});
}
}
if(grid[endX][endY] != 0) break;
}
System.out.println(grid[endX][endY]);
}
}
}C++实现：
cpp
#include<iostream>
#include<queue>
#include<string.h>
using namespace std;
int moves[1001][1001];
int dir[8][2]={-2,-1,-2,1,-1,2,1,2,2,1,2,-1,1,-2,-1,-2};
void bfs(int a1,int a2, int b1, int b2)
{
queue<int> q;
q.push(a1);
q.push(a2);
while(!q.empty())
{
int m=q.front(); q.pop();
int n=q.front(); q.pop();
if(m == b1 && n == b2)
break;
for(int i=0;i<8;i++)
{
int mm=m + dir[i][0];
int nn=n + dir[i][1];
if(mm < 1 || mm > 1000 || nn < 1 || nn > 1000)
continue;
if(!moves[mm][nn])
{
moves[mm][nn]=moves[m][n]+1;
q.push(mm);
q.push(nn);
}
}
}
}
int main()
{
int n, a1, a2, b1, b2;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;
memset(moves,0,sizeof(moves));
bfs(a1, a2, b1, b2);
cout << moves[b1][b2] << endl;
}
return 0;
}但提交后会时间超限。
Astar
Astar 是一种 广搜的改良版。 有的是 Astar是 dijkstra 的改良版。
其实只是场景不同而已 我们在搜索最短路的时候， 如果是无权图（边的权值都是1） 那就用广搜，代码简洁，时间效率和 dijkstra 差不多 （具体要取决于图的稠密）
如果是有权图（边有不同的权值），优先考虑 dijkstra。
而 Astar 关键在于 启发式函数， 也就是 影响 广搜或者 dijkstra 从 容器（队列）里取元素的优先顺序。
A*算法通过启发函数的设计，实现有方向地搜索。
那么启发式函数落实到代码处，如果指引搜索的方向？
在本篇开篇中给出了BFS代码，指引 搜索的方向的关键代码在这里：
cpp
int m=q.front();q.pop();
int n=q.front();q.pop();从队列里取出什么元素，接下来就是从哪里开始搜索。
所以 启发式函数 要影响的就是队列里元素的排序！
这是影响BFS搜索方向的关键。
对队列里节点进行排序，就需要给每一个节点权值，如何计算权值呢？
每个节点的权值为F，给出公式为：F = G + H
G：起点达到目前遍历节点的距离
F：目前遍历的节点到达终点的距离
起点达到目前遍历节点的距离 + 目前遍历的节点到达终点的距离 就是起点到达终点的距离。
本题的图是无权网格状，在计算两点距离通常有如下三种计算方式：
- 曼哈顿距离，计算方式： d = abs(x1-x2)+abs(y1-y2)
- 欧氏距离（欧拉距离） ，计算方式：d = sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 )
- 切比雪夫距离，计算方式：d = max(abs(x1 - x2), abs(y1 - y2))
x1, x2 为起点坐标，y1, y2 为终点坐标 ，abs 为求绝对值，sqrt 为求开根号，
选择哪一种距离计算方式 也会导致 A * 算法的结果不同。
本题，采用欧拉距离才能最大程度体现 点与点之间的距离。
所以 使用欧拉距离计算 和 广搜搜出来的最短路的节点数是一样的。 （路径可能不同，但路径上的节点数是相同的）
可以使用 优先级队列 帮我们排好序，每次出队列，就是F最小的节点。
Java实现：
java
import java.util.*;
class Knight{
int x;
int y;
int g;
int h;
int weight;
Knight(int x, int y){
this.x = x;
this.y = y;
}
void calWeight(int g,int endX,int endY){
this.g = g;
this.h = (x - endX) * (x - endX) + (y - endY) * (y - endY); // 统一不开根号，这样可以提高精度
this.weight = this.g + this.h;
}
}
class MyComparison implements Comparator<Knight>{
@Override
public int compare(Knight o1, Knight o2) {
return Integer.compare(o1.weight,o2.weight);
}
}
public class Main {
static int[][]directions = {{1,2},{2,1},{-1,2},{2,-1},{1,-2},{-2,1},{-1,-2},{-2,-1}};
static int endX;
static int endY;
static PriorityQueue<Knight> queue = new PriorityQueue<>(new MyComparison());
static int[][] grid = new int[1001][1001];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
for(int i = 0 ; i < n; i++){
for(int[] arr : grid){
Arrays.fill(arr,0);
}
Knight knight = new Knight(scanner.nextInt(),scanner.nextInt());
endX = scanner.nextInt();
endY = scanner.nextInt();
knight.calWeight(0,endX,endY);
astar(knight);
while(!queue.isEmpty()) queue.remove();
System.out.println(grid[endX][endY]);
}
}
public static void astar(Knight knight){
Knight cur,next;
queue.add(knight);
while(!queue.isEmpty()){
cur = queue.remove();
if(cur.x == endX && cur.y == endY) break;
for(int i = 0 ; i < 8 ; i++){
int nextX = cur.x + directions[i][0];
int nextY = cur.y + directions[i][1];
if(nextX < 1 || nextX > 1000 || nextY < 1 || nextY > 1000) continue;
if(grid[nextX][nextY] == 0){
grid[nextX][nextY] = grid[cur.x][cur.y] + 1;
next = new Knight(nextX,nextY);
next.calWeight(cur.g+5,endX,endY);//统一不开根号，提高精度
queue.add(next);
}
}
}
}
}感觉这里有必要讲解一下代码架构。
（1）为了实现对位置的排序，定义了一个类Knight专门用来存储当前的位置、当前的g、h和weight。
（2）为了实现优先队列排序，自定义了MyComparison 取 implements Comparator<Knight> 实现对Knight的排序，使用Integer.compare维护一个最小堆。
（3）Knight类中calWeight函数需要传入当前的g，endX和endY，用来计算h，并把g和h加和得到weight。Knight的x,y是要在创建的时候传入的。
（4）将一些必要的量，诸如grid，endX,endY设为全局静态变量，方便类内函数沟通，降低传参的要求。但也要注意每一轮grid初始化，每一轮要把queue清空。
C++实现：
cpp
#include<iostream>
#include<queue>
#include<string.h>
using namespace std;
int moves[1001][1001];
int dir[8][2]={-2,-1,-2,1,-1,2,1,2,2,1,2,-1,1,-2,-1,-2};
int b1, b2;
// F = G + H
// G = 从起点到该节点路径消耗
// H = 该节点到终点的预估消耗
struct Knight{
int x,y;
int g,h,f;
bool operator < (const Knight & k) const{ // 重载运算符， 从小到大排序
return k.f < f;
}
};
priority_queue<Knight> que;
int Heuristic(const Knight& k) { // 欧拉距离
return (k.x - b1) * (k.x - b1) + (k.y - b2) * (k.y - b2); // 统一不开根号，这样可以提高精度
}
void astar(const Knight& k)
{
Knight cur, next;
que.push(k);
while(!que.empty())
{
cur=que.top(); que.pop();
if(cur.x == b1 && cur.y == b2)
break;
for(int i = 0; i < 8; i++)
{
next.x = cur.x + dir[i][0];
next.y = cur.y + dir[i][1];
if(next.x < 1 || next.x > 1000 || next.y < 1 || next.y > 1000)
continue;
if(!moves[next.x][next.y])
{
moves[next.x][next.y] = moves[cur.x][cur.y] + 1;
// 开始计算F
next.g = cur.g + 5; // 统一不开根号，这样可以提高精度，马走日，1 * 1 + 2 * 2 = 5
next.h = Heuristic(next);
next.f = next.g + next.h;
que.push(next);
}
}
}
}
int main()
{
int n, a1, a2;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;
memset(moves,0,sizeof(moves));
Knight start;
start.x = a1;
start.y = a2;
start.g = 0;
start.h = Heuristic(start);
start.f = start.g + start.h;
astar(start);
while(!que.empty()) que.pop(); // 队列清空
cout << moves[b1][b2] << endl;
}
return 0;
}复杂度分析
A * 算法的时间复杂度 其实是不好去量化的，因为他取决于 启发式函数怎么写。
最坏情况下，A * 退化成广搜，算法的时间复杂度 是 O(n * 2)，n 为节点数量。
最佳情况，是从起点直接到终点，时间复杂度为 O(dlogd)，d 为起点到终点的深度。
因为在搜索的过程中也需要堆排序，所以是 O(dlogd)。
实际上 A * 的时间复杂度是介于 最优 和最坏 情况之间， 可以 非常粗略的认为 A * 算法的时间复杂度是 O(nlogn) ，n 为节点数量。
A * 算法的空间复杂度 O(b ^ d) ,d 为起点到终点的深度，b 是 图中节点间的连接数量，本题因为是无权网格图，所以 节点间连接数量为 4。
拓展
如果本题大家使用 曼哈顿距离 或者 切比雪夫距离 计算的话，可以提交试一试，有的最短路结果是并不是最短的。
原因也是 曼哈顿 和 切比雪夫这两种计算方式在 本题的网格地图中，都没有体现出点到点的真正距离！
可能有些录友找到类似的题目，例如 poj 2243 (opens new window)，使用 曼哈顿距离 提交也过了， 那是因为题目中的地图太小了，仅仅是一张 8 * 8的地图，根本看不出来 不同启发式函数写法的区别。
A * 算法 并不是一个明确的最短路算法，A * 算法搜的路径如何，完全取决于 启发式函数怎么写。
A * 算法并不能保证一定是最短路，因为在设计 启发式函数的时候，要考虑 时间效率与准确度之间的一个权衡。
虽然本题中，A * 算法得到是最短路，也是因为本题 启发式函数 和 地图结构都是最简单的。
例如在游戏中，在地图很大、不同路径权值不同、有障碍 且多个游戏单位在地图中寻路的情况，如果要计算准确最短路，耗时很大，会给玩家一种卡顿的感觉。
而真实玩家在玩游戏的时候，并不要求一定是最短路，次短路也是可以的 （玩家不一定能感受出来，即使感受出来也不是很在意），只要奔着目标走过去 大体就可以接受。
所以 在游戏开发设计中，保证运行效率的情况下，A * 算法中的启发式函数 设计往往不是最短路，而是接近最短路的 次短路设计。
A * 的缺点
大家看上述 A * 代码的时候，可以看到 我们想 队列里添加了很多节点，但真正从队列里取出来的 仅仅是 靠启发式函数判断 距离终点最近的节点。
相对了 普通BFS，A * 算法只从 队列里取出 距离终点最近的节点。
那么问题来了，A * 在一次路径搜索中，大量不需要访问的节点都在队列里，会造成空间的过度消耗。
IDA * 算法 对这一空间增长问题进行了优化，关于 IDA * 算法，本篇不再做讲解，感兴趣的录友可以自行找资料学习。
另外还有一种场景 是 A * 解决不了的。
如果题目中，给出 多个可能的目标，然后在这多个目标中 选择最近的目标，这种 A * 就不擅长了， A * 只擅长给出明确的目标 然后找到最短路径。
如果是多个目标找最近目标（特别是潜在目标数量很多的时候），可以考虑 Dijkstra ，BFS 或者 Floyd。
总结参考：最短路算法总结篇
图论总结参考：图论总结篇