超平面(Hyperplane)是什么?

参考:【漫话机器学习系列】253.超平面(Hyperplane)

一句话解释超平面(Hyperplane)​

超平面就是高维空间中的"直线"或"平面"​。比如:

  • 在2D空间(平面),超平面是一条直线 (如 y = ax + b)。
  • 在3D空间,超平面是一个平面 (如 z = ax + by + c)。
  • 在更高维度(如100维),超平面就是一个​"看不见的平面"​ ,数学上定义为所有满足 w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wₙxₙ + b = 0 的点的集合。

通俗理解

想象你是一个高维空间的切西瓜师傅​:

  1. 2D空间(平面)​ :用一刀切西瓜,切口是一条直线(超平面=直线)。
  2. 3D空间 :用一刀切西瓜,切口是一个平面(超平面=平面)。
  3. 100维空间 :用一刀切西瓜,切口是一个超平面(人类无法直观想象,但数学存在)。

为什么机器学习用超平面?​

在分类问题中,​超平面是决策边界 ​,线性模型​(如SVM、逻辑回归)的决策边界就是超平面。

例如:用"工资"和"年龄"预测是否贷款违约,决策边界可能是:

0.5×工资 + 0.3×年龄 - 10 = 0(一条斜线)。

决策边界是机器学习模型在特征空间中画的一条"分界线"​,用于区分不同类别。比如:

  • 判断"是否批准贷款"时,模型会根据"收入"和"信用分"画一条线:线的一边批贷款,另一边拒绝。
  • 判断"猫 vs 狗"图片时,模型可能在像素空间画一个复杂边界,区分两种动物。

  1. 线性决策边界
  • 形状:直线(2D)、平面(3D)、超平面(高维)。
  • 对应模型:逻辑回归、线性SVM、线性判别分析(LDA)。
  1. 非线性决策边界
  • 形状:曲线、环形、不规则形状。
  • 对应模型:决策树、神经网络、带核函数的SVM。

超平面 vs. 非线性边界

超平面(线性) 非线性边界
例子 一刀切西瓜 用勺子挖球形的西瓜肉
模型 逻辑回归、线性SVM 神经网络、带核函数的SVM
特点 简单、可解释 复杂、拟合能力强

数学定义

在n维空间中,超平面的方程是:

  • w 是法向量(决定超平面的方向)。
  • b 是截距(决定超平面的位置)。

总结

  • 低维中的超平面:直线(2D)、平面(3D)。
  • 高维中的超平面:看不见但算得出的"广义平面"。
  • 机器学习中的作用:线性模型的决策边界。
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