数学公式篇

【一元二次方程的根】

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = {\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} x=2a−b±b2−4ac

△ = b 2 − 4 a c △ = b^2-4ac △=b2−4ac

其中根的判别式 △ > 0 ，有两个实根 △>0，有两个实根 △>0，有两个实根

其中根的判别式 △ ≥ 0 ，有实根 △≥0，有实根 △≥0，有实根

其中根的判别式 △ = 0 ，有两个相等的实根 △=0，有两个相等的实根 △=0，有两个相等的实根

其中根的判别式 △ < 0 ，无实根 △<0，无实根 △<0，无实根
【一元二次方程的根▪韦达定理】

x 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a x_1 = {\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} x1=2a−b+b2−4ac 、 x 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a x_2 = {\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} x2=2a−b−b2−4ac 、
x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2 = -\frac{b}{a} x1+x2=−ab
x 1 ∗ x 2 = c a x_1*x_2 = \frac{c}{a} x1∗x2=ac

1 x 1 + 1 x 2 = x 1 + x 2 x 1 x 2 {\frac{1}{x_1}}+{\frac{1}{x_2}} = {\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}} x11+x21=x1x2x1+x2

x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 {x_1}^2+{x_2}^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2

x 1 2 − x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 − x 2 ) {x_1}^2-{x_2}^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2) x12−x22=(x1+x2)(x1−x2)

x 1 − x 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 x_1-x_2=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2} x1−x2=(x1+x2)2−4x1x2

x 1 3 − x 2 3 = ( x 1 + x 2 ) [ ( x 1 + x 2 ) 2 − 3 x 1 x 2 ] {x_1}^3-{x_2}^3={(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]} x13−x23=(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]
【技巧▪根号】

① y x + x y 互为倒数的两项之和 ≥ 2 ，且根号里的数 ≥ 0 ①{\sqrt\frac{y}{x}+\sqrt\frac{x}{y}}互为倒数的两项之和≥2，且根号里的数≥0 ①xy +yx 互为倒数的两项之和≥2，且根号里的数≥0
②只有当 y ≥ 0 ， x > 0 时，才有 y x = y x ②只有当y≥0，x>0时，才有 {\sqrt\frac{y}{x}}={\frac{\sqrt y}{\sqrt x}} ②只有当y≥0，x>0时，才有xy =x y
【技巧▪函数】

①一次函数 y = k x + b （ k ≠ 0 ）图像为一条直线 ①一次函数y=kx+b（k≠0）图像为一条直线 ①一次函数y=kx+b（k=0）图像为一条直线
【二次函数▪图像】

模型： y = a x 2 + b x + c 模型：y=ax^2+bx+c 模型：y=ax2+bx+c
代入 x = 0 求图像与 y 轴交点 代入x=0求图像与y轴交点 代入x=0求图像与y轴交点。
抛物线与 y 轴交点的纵坐标 = 抛物线在 y 轴"截距"，就是 c 的值 抛物线与y轴交点的纵坐标 = 抛物线在y轴"截距"，就是c的值 抛物线与y轴交点的纵坐标=抛物线在y轴"截距"，就是c的值
c > 0 时，抛物线与 y 轴正半轴相交 c>0时，抛物线与y轴正半轴相交 c>0时，抛物线与y轴正半轴相交
c < 0 时，抛物线与 y 轴负半轴相交 c<0时，抛物线与y轴负半轴相交 c<0时，抛物线与y轴负半轴相交
代入 y = 0 求图像与 x 轴交点 代入y=0求图像与x轴交点 代入y=0求图像与x轴交点。
y = x 2 + 4 x − 5 = 0 、 ( x − 5 ) ( x + 1 ) = 0 、 x = 5 或 x = − 1 y = x^2+4x-5 =0、(x-5)(x+1)=0、x=5或x=-1 y=x2+4x−5=0、(x−5)(x+1)=0、x=5或x=−1
抛物线与 x 轴的交点 = 对应二次方程的根 抛物线与x轴的交点 = 对应二次方程的根 抛物线与x轴的交点=对应二次方程的根
【抛物线开口方向和大小】

a > 0 , 抛物线开口向上 a>0,抛物线开口向上 a>0,抛物线开口向上
a < 0 , 抛物线开口向下 a<0,抛物线开口向下 a<0,抛物线开口向下
a 越接近于 0 ，抛物线开口越大 a越接近于0，抛物线开口越大 a越接近于0，抛物线开口越大

【抛物线对称轴】

①它们纵坐标相等 y 1 = y 2 = y ①它们纵坐标相等y_1=y_2=y ①它们纵坐标相等y1=y2=y
②到对称轴距离相等，横坐标满足 x 1 + x 2 2 = − b 2 a ②到对称轴距离相等，横坐标满足 {\frac{x_1+x_2}{2}}= -{\frac{b}{2a}} ②到对称轴距离相等，横坐标满足2x1+x2=−2ab

【二次函数▪求最值】

【立方乘法公式】

立方和公式： a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

立方差公式： a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
【不等式▪两边同乘负号，不等式符号相反】

已知： x > 3 、 y < 5 x>3 、 y<5 x>3、y<5
y < 5 = − y > − 5 y<5 = -y>-5 y<5=−y>−5
x + y = x − y > 3 − 5 x+y = x-y>3-5 x+y=x−y>3−5
无论符号方向，不等式两边都不能相减。
不等式两边符号相同（同>或同<），才能相加。