问题一详细解答过程
2. 简化疲劳损伤计算模型
2.1 累积损伤的Palmgren-Miner理论
根据Palmgren-Miner线性累积损伤理论，疲劳损伤是通过在一定的应力循环下累积的。对于给定应力幅值 S i S_i Si，累积损伤值 D D D 是由经历的应力循环次数 n i n_i ni 和该应力幅值对应的疲劳寿命 N i N_i Ni 之比决定的：
D = ∑ i n i N i D = \sum_i \frac{n_i}{N_i} D=∑iNini
其中：
- n i n_i ni 是经历的应力循环数。
- N i N_i Ni 是在应力幅值 S i S_i Si 下达到失效的循环数，通常由S-N曲线确定。
2.2 S-N曲线
S-N曲线是材料疲劳特性的重要描述，用来表明不同应力幅值下的疲劳寿命。S-N曲线的基本形式为：
N i = ( S 0 S i ) k N_i = \left( \frac{S_0}{S_i} \right)^k Ni=(SiS0)k
其中：
- N i N_i Ni 是应力幅值 S i S_i Si 下的疲劳寿命。
- S 0 S_0 S0 是基准应力（材料疲劳强度）。
- k k k 是材料的疲劳指数（通常在3到5之间，取决于材料特性）。
2.3 应力幅值估算
为了在线计算疲劳损伤，我们需要在每秒钟对主轴扭矩和塔架推力进行实时应力估算。基于应力波峰和波谷的幅值差，可以计算每个时间段内的应力幅值 S i S_i Si ：
S i = 1 2 ( σ max − σ min ) S_i = \frac{1}{2} (\sigma_{\text{max}} - \sigma_{\text{min}}) Si=21(σmax−σmin)
其中：
- σ max \sigma_{\text{max}} σmax 和 σ min \sigma_{\text{min}} σmin 分别是时间段内的应力波峰和波谷值。
2.4 应力循环计数
通过简化雨流计数法或滑动窗口法，我们可以近似地统计主轴和塔架的应力循环次数。每个应力幅值区间（如通过幅值分组）内的循环数可以在实时中获得，并根据每个区间的应力幅值和S-N曲线计算累积损伤。
2.5 每秒疲劳损伤计算
在每一秒的时间段内，首先估算主轴和塔架的波峰和波谷应力，计算应力幅值 S i S_i Si，然后根据S-N曲线计算疲劳寿命 N i N_i Ni。假设每秒内发生的应力循环为 n i = 1 n_i = 1 ni=1，则每秒的累积疲劳损伤 D i D_i Di 为：
D i = 1 N i = 1 ( S 0 S i ) k = ( S i S 0 ) k D_i = \frac{1}{N_i} = \frac{1}{\left( \frac{S_0}{S_i} \right)^k} = \left( \frac{S_i}{S_0} \right)^k Di=Ni1=(SiS0)k1=(S0Si)k
2.6 累积疲劳损伤
将所有时间段内的疲劳损伤值累加，得到设备的累积疲劳损伤值：
D total = ∑ i D i = ∑ i ( S i S 0 ) k D_{\text{total}} = \sum_{i} D_i = \sum_{i} \left( \frac{S_i}{S_0} \right)^k Dtotal=∑iDi=∑i(S0Si)k
3. 模型解答过程
3.1 确定参数
- 材料的S-N曲线 ：根据实际材料的疲劳特性确定S-N曲线的基准应力 S 0 S_0 S0 和疲劳指数 k k k。
- 应力幅值的计算 ：在每秒内，利用主轴扭矩和塔架推力的数据，找到波峰 σ max \sigma_{\text{max}} σmax 和波谷 σ min \sigma_{\text{min}} σmin，计算应力幅值 S i = 1 2 ( σ max − σ min ) S_i = \frac{1}{2} (\sigma_{\text{max}} - \sigma_{\text{min}}) Si=21(σmax−σmin)。
- 循环计数 ：每秒内发生的应力循环数可以简化为 n i = 1 n_i = 1 ni=1，每秒发生一次应力循环。
3.2 每秒疲劳损伤的计算
对于每秒的应力幅值 S i S_i Si，通过以下公式计算该秒内的疲劳损伤：
D i = ( S i S 0 ) k D_i = \left( \frac{S_i}{S_0} \right)^k Di=(S0Si)k
3.3 累积疲劳损伤的计算
将每秒的疲劳损伤累加，得到总的累积疲劳损伤：
D total = ∑ i ( S i S 0 ) k D_{\text{total}} = \sum_{i} \left( \frac{S_i}{S_0} \right)^k Dtotal=∑i(S0Si)k
4. 示例计算过程
假设主轴材料的S-N曲线参数为：
- 基准应力 S 0 = 500 MPa S_0 = 500 \, \text{MPa} S0=500MPa
- 疲劳指数 k = 4 k = 4 k=4
在一个时段内，主轴扭矩产生的应力波峰为 σ max = 100 MPa \sigma_{\text{max}} = 100 \, \text{MPa} σmax=100MPa，波谷为 σ min = 50 MPa \sigma_{\text{min}} = 50 \, \text{MPa} σmin=50MPa，则应力幅值为：
S i = 1 2 ( 100 − 50 ) = 25 MPa S_i = \frac{1}{2} (100 - 50) = 25 \, \text{MPa} Si=21(100−50)=25MPa
该时段的疲劳损伤为：
D i = ( 25 500 ) 4 = 0.00000625 D_i = \left( \frac{25}{500} \right)^4 = 0.00000625 Di=(50025)4=0.00000625
假设在100秒内计算，每秒的应力幅值相同，则总的累积疲劳损伤为：
D total = 100 × 0.00000625 = 0.000625 D_{\text{total}} = 100 \times 0.00000625 = 0.000625 Dtotal=100×0.00000625=0.000625
此时得到主轴的累积疲劳损伤值。类似地可以对塔架推力进行相同的计算。
python代码实现：
python
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
# 常量定义
S0 = 200 # 材料的基准疲劳强度 (MPa)
k = 3 # 材料的疲劳指数
r_shaft = 0.5 # 主轴半径 (m)
r_tower = 2.0 # 塔架半径 (m)
H_tower = 80.0 # 塔架高度 (m)
# 计算主轴的剪切应力
def calculate_shaft_stress(torque, r_shaft):
J = np.pi * (r_shaft**4) / 2
return torque / J
# 计算塔架的弯曲应力
def calculate_tower_stress(thrust, H_tower, r_tower):
I = np.pi * (r_tower**4) / 4
return (thrust * H_tower) / I
# 根据S-N曲线计算疲劳寿命
def calculate_fatigue_life(stress):
return (S0 / stress)**k
# 根据Miner's Rule计算疲劳损伤
def calculate_fatigue_damage(stress_series):
damage = 0
for stress in stress_series:
N = calculate_fatigue_life(stress)
damage += 1 / N
return damage
# 模拟风速和功率输出关系
def power_output(wind_speed):
return min(1500, 0.5 * wind_speed**3) # 简化功率曲线
# 功率输出与扭矩、推力的关系
def calculate_torque_and_thrust(power, wind_speed):
torque = power / (wind_speed * 2 * np.pi) # 简化扭矩公式
thrust = 0.5 * wind_speed**2 * 1.2 * 3.14 * r_tower**2 # 简化推力公式
return torque, thrust
# 优化问题的目标函数：最小化疲劳损伤
def objective(power_outputs, wind_speeds):
total_damage = 0
for i in range(len(power_outputs)):
torque, thrust = calculate_torque_and_thrust(power_outputs[i], wind_speeds[i])
shaft_stress = calculate_shaft_stress(torque, r_shaft)
tower_stress = calculate_tower_stress(thrust, H_tower, r_tower)
damage = calculate_fatigue_damage([shaft_stress, tower_stress])
total_damage += damage
return total_damage
# 功率调度优化的约束：总功率输出的限制
def power_constraint(power_outputs):
return np.sum(power_outputs) - np.sum([power_output(ws) for ws in wind_speeds])
# 生成模拟风速数据
np.random.seed(42)
N = 1000 # 数据点数
wind_speeds = np.random.uniform(5, 25, N) # 风速 (m/s)
# 初始化功率输出（根据初始风速计算）
initial_power_outputs = np.array([power_output(ws) for ws in wind_speeds])
# 设置功率调度优化问题的约束条件
constraints = {'type': 'eq', 'fun': power_constraint}
# 执行优化，寻找最小化疲劳损伤的功率分配方案
result = minimize(objective, initial_power_outputs, args=(wind_speeds,), constraints=constraints)
# 计算最终的疲劳损伤
optimized_power_outputs = result.x
total_fatigue_damage = objective(optimized_power_outputs, wind_speeds)
# 输出结果
if __name__ == "__main__":
print(f"优化后的累积疲劳损伤: {total_fatigue_damage:.4f}")
print(f"优化后的功率输出: {optimized_power_outputs[:10]}") # 输出前10个功率数据问题二详细解答过程
1. 风速与功率输出的关系
风力发电机的功率输出与风速有如下关系：
P ( w ) = min ( 1500 , 0.5 ⋅ w 3 ) P(w) = \min(1500, 0.5 \cdot w^3) P(w)=min(1500,0.5⋅w3)
其中， P ( w ) P(w) P(w) 是风速 w w w 下的功率输出，单位为千瓦（kW），最大功率输出为1500 kW。
2. 推力和扭矩计算
风速和功率输出直接影响塔架的推力和主轴的扭矩。假设推力 F F F 和扭矩 T T T 分别与风速 w w w 和功率 P P P 相关：
- 推力 ：推力主要由风速引起，假设推力 F ( w ) F(w) F(w) 的计算公式为：
F ( w ) = 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ w 2 F(w) = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot w^2 F(w)=21⋅ρ⋅A⋅w2
其中， ρ \rho ρ 为空气密度， A A A 为风力发电机叶片的正投影面积。
- 扭矩 ：扭矩与功率 P P P 和风速 w w w 的关系为：
T ( P , w ) = P w ⋅ 2 π T(P, w) = \frac{P}{w \cdot 2 \pi} T(P,w)=w⋅2πP
3. 应力计算
应力是造成疲劳损伤的关键因素，包括塔架的弯曲应力和主轴的剪切应力：
- 塔架弯曲应力 ：塔架主要承受推力 F F F，引起的弯曲应力 σ tower \sigma_{\text{tower}} σtower 可表示为：
σ tower = F ⋅ H tower I \sigma_{\text{tower}} = \frac{F \cdot H_{\text{tower}}}{I} σtower=IF⋅Htower
其中， H tower H_{\text{tower}} Htower 是塔架高度， I I I 是塔架横截面积的惯性矩。
- 主轴剪切应力 ：主轴承受扭矩 T T T，引起的剪切应力 τ shaft \tau_{\text{shaft}} τshaft 为：
τ shaft = T J \tau_{\text{shaft}} = \frac{T}{J} τshaft=JT
其中， J J J 是主轴截面的极惯性矩。
4. 疲劳损伤计算
根据材料的S-N曲线，疲劳寿命 N N N（即在某一应力水平下能够承受的循环次数）与应力 σ \sigma σ 或 τ \tau τ 的关系为：
N ( σ ) = ( S 0 σ ) k N(\sigma) = \left( \frac{S_0}{\sigma} \right)^k N(σ)=(σS0)k
其中， S 0 S_0 S0 是材料的基准疲劳强度， k k k 是材料的疲劳指数。
疲劳损伤的计算遵循Miner's Rule，累积疲劳损伤 D D D 可表示为：
D = ∑ i = 1 n 1 N ( σ i ) D = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{N(\sigma_i)} D=∑i=1nN(σi)1
其中， σ i \sigma_i σi 是第 i i i 次循环中的应力， N ( σ i ) N(\sigma_i) N(σi) 是对应的疲劳寿命。
5. 优化问题
目标是最小化在所有风速和功率调度下的累积疲劳损伤，即最小化目标函数：
minimize D = ∑ i = 1 n D ( σ i , τ i ) \text{minimize } D = \sum_{i=1}^{n} D(\sigma_i, \tau_i) minimize D=∑i=1nD(σi,τi)
其中， σ i \sigma_i σi 是塔架在第 i i i 次循环中的应力， τ i \tau_i τi 是主轴在第 i i i 次循环中的应力。
6. 约束条件
功率调度策略的约束条件为：
∑ i = 1 n P i = ∑ i = 1 n P ( w i ) \sum_{i=1}^{n} P_i = \sum_{i=1}^{n} P(w_i) ∑i=1nPi=∑i=1nP(wi)
即调度后的总功率输出必须等于初始风速条件下的总功率输出。
python代码实现：
python
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
# 定义风速到功率的关系
def power_output(wind_speed):
# 最大功率为1500 kW
return np.minimum(1500, 0.5 * wind_speed ** 3)
# 推力计算函数 F(w) = 0.5 * rho * A * w^2
def thrust(wind_speed, rho=1.225, area=100): # 假设面积为100m^2
return 0.5 * rho * area * wind_speed ** 2
# 扭矩计算函数 T(P, w) = P / (w * 2 * pi)
def torque(power, wind_speed):
return power / (wind_speed * 2 * np.pi)
# 塔架弯曲应力计算 σ = F * H_tower / I (假设塔架高度和惯性矩)
def tower_stress(thrust, tower_height=80, moment_of_inertia=1e6):
return thrust * tower_height / moment_of_inertia
# 主轴剪切应力计算 τ = T / J (假设极惯性矩)
def shaft_stress(torque, polar_moment_of_inertia=1e4):
return torque / polar_moment_of_inertia
# 疲劳寿命函数 N(σ) = (S0 / σ)^k
def fatigue_life(stress, S0=1e8, k=3):
return (S0 / stress) ** k
# 疲劳损伤累积计算
def fatigue_damage(stresses, life_func):
damages = 1 / life_func(stresses)
return np.sum(damages)
# 优化目标函数：最小化累积疲劳损伤
def objective_function(power_dispatch, wind_speeds, initial_power, S0, k):
total_damage = 0
# 遍历每个风速
for i, wind_speed in enumerate(wind_speeds):
# 计算调度后的功率
power = power_dispatch[i]
# 计算推力与扭矩
F = thrust(wind_speed)
T = torque(power, wind_speed)
# 计算塔架弯曲应力与主轴剪切应力
sigma_tower = tower_stress(F)
tau_shaft = shaft_stress(T)
# 计算疲劳寿命和损伤
stress = np.sqrt(sigma_tower**2 + tau_shaft**2) # 计算等效应力
N = fatigue_life(stress, S0, k)
total_damage += 1 / N
return total_damage
# 功率调度约束条件
def power_constraint(power_dispatch, initial_power):
return np.sum(power_dispatch) - np.sum(initial_power)
# 主程序
def main():
# 假设风速数据和对应的功率输出
wind_speeds = np.array([8, 12, 15, 18, 20]) # 以 m/s 为单位
initial_power = power_output(wind_speeds) # 初始功率输出
# 设置优化问题的初始猜测和边界
initial_guess = initial_power.copy()
bounds = [(0, 1500) for _ in wind_speeds] # 功率调度边界条件
# 优化问题的约束条件
constraints = [{'type': 'eq', 'fun': power_constraint, 'args': (initial_power,)}]
# 调用优化函数
result = minimize(objective_function, initial_guess, args=(wind_speeds, initial_power, 1e8, 3),
bounds=bounds, constraints=constraints)
# 输出优化结果
if result.success:
print("优化成功！")
print("最优功率调度为：", result.x)
print("最小累积疲劳损伤为：", result.fun)
else:
print("优化失败！")
if __name__ == '__main__':
main()问题3详细解答过程
1. 问题概述与目标
目标是优化风力涡轮机的功率调度，使其在给定的实时风速数据下，最小化涡轮机关键组件（如塔架和主轴）的疲劳损伤。问题的挑战在于，考虑通信延迟和测量噪声的同时，要确保功率输出与风速变化的响应快速且准确。
建模目标：
- 最小化累积疲劳损伤：疲劳损伤取决于涡轮机的应力状态，包括塔架弯曲应力与主轴剪切应力，这些应力与功率输出和风速直接相关。
- 保证实时响应：优化调度的功率输出需及时反映风速变化，同时满足系统约束。
2. 输入变量与输出变量
- 输入变量 ：
- 风速 w ( t ) w(t) w(t)：给定时间 t t t 的风速数据，带有噪声。
- 通信延迟 τ \tau τ：风速测量和功率调度信号之间的延迟。
- 初始功率 P 0 P_0 P0：涡轮机当前时刻的功率输出。
- 输出变量 ：
- 功率调度 P ( t ) P(t) P(t)：优化后涡轮机在时间 t t t 下的功率输出。
3. 风速与功率输出关系
风速与功率输出的非线性关系可以用以下公式描述：
P ( w ( t ) ) = min ( P max , 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ w ( t ) 3 ) P(w(t)) = \min\left(P_{\text{max}}, \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot w(t)^3\right) P(w(t))=min(Pmax,21⋅ρ⋅A⋅w(t)3)
其中， P max P_{\text{max}} Pmax 为涡轮机的最大功率输出， ρ \rho ρ 为空气密度， A A A 为涡轮机扫风面积。
4. 塔架推力与主轴扭矩
- 推力计算：
F ( w ( t ) ) = 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ w ( t ) 2 F(w(t)) = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot w(t)^2 F(w(t))=21⋅ρ⋅A⋅w(t)2
- 主轴扭矩：
T ( P ( t ) , w ( t ) ) = P ( t ) w ( t ) ⋅ 2 π T(P(t), w(t)) = \frac{P(t)}{w(t) \cdot 2 \pi} T(P(t),w(t))=w(t)⋅2πP(t)
5. 疲劳损伤模型
塔架弯曲应力与主轴剪切应力是关键影响因素，我们可以通过下面的公式计算应力：
- 塔架弯曲应力：
σ tower ( t ) = F ( w ( t ) ) ⋅ H tower I \sigma_{\text{tower}}(t) = \frac{F(w(t)) \cdot H_{\text{tower}}}{I} σtower(t)=IF(w(t))⋅Htower
其中 H tower H_{\text{tower}} Htower 为塔架高度， I I I 为塔架的惯性矩。
- 主轴剪切应力：
τ shaft ( t ) = T ( P ( t ) , w ( t ) ) J \tau_{\text{shaft}}(t) = \frac{T(P(t), w(t))}{J} τshaft(t)=JT(P(t),w(t))
其中 J J J 为主轴的极惯性矩。
综合塔架和主轴的应力，计算等效应力：
σ eq ( t ) = σ tower ( t ) 2 + τ shaft ( t ) 2 \sigma_{\text{eq}}(t) = \sqrt{\sigma_{\text{tower}}(t)^2 + \tau_{\text{shaft}}(t)^2} σeq(t)=σtower(t)2+τshaft(t)2
6. 疲劳寿命模型
根据疲劳寿命的经验公式，疲劳寿命 N N N 与应力的关系为：
N ( σ eq ) = ( S 0 σ eq ) k N(\sigma_{\text{eq}}) = \left(\frac{S_0}{\sigma_{\text{eq}}}\right)^k N(σeq)=(σeqS0)k
其中 S 0 S_0 S0 为材料的疲劳强度系数， k k k 为疲劳指数。
7. 累积疲劳损伤的计算
使用 Miner 损伤累积法则 计算累积疲劳损伤：
D ( t ) = ∑ t = 1 T 1 N ( σ eq ( t ) ) D(t) = \sum_{t=1}^{T} \frac{1}{N(\sigma_{\text{eq}}(t))} D(t)=∑t=1TN(σeq(t))1
目标是最小化总损伤 D D D。
8. 优化问题的定义
优化目标是最小化累积疲劳损伤：
min P ( t ) ∑ t = 1 T 1 N ( σ eq ( t ) ) \min_{P(t)} \sum_{t=1}^{T} \frac{1}{N(\sigma_{\text{eq}}(t))} minP(t)∑t=1TN(σeq(t))1
约束条件包括：
- 功率输出与风速的关系 ： P ( t ) = P ( w ( t ) ) P(t) = P(w(t)) P(t)=P(w(t))
- 总功率不超过最大值 ： P ( t ) ≤ P max P(t) \leq P_{\text{max}} P(t)≤Pmax
- 实时调度响应 ：考虑通信延迟 τ \tau τ 和测量噪声 n ( t ) n(t) n(t)，风速的测量值为 w ~ ( t ) = w ( t − τ ) + n ( t ) \tilde{w}(t) = w(t - \tau) + n(t) w~(t)=w(t−τ)+n(t)。
9. 通信延迟与测量噪声的建模
风速测量数据带有通信延迟和测量噪声：
w ~ ( t ) = w ( t − τ ) + n ( t ) \tilde{w}(t) = w(t - \tau) + n(t) w~(t)=w(t−τ)+n(t)
其中， τ \tau τ 为通信延迟， n ( t ) n(t) n(t) 为测量噪声（假设为高斯白噪声）。
10. 优化问题的求解方法
可以使用基于梯度的优化方法（如L-BFGS）求解该优化问题，目标是找到最佳的功率调度 P ( t ) P(t) P(t)，使得累积疲劳损伤 D D D 最小，并确保系统对风速变化作出实时响应。
-
功率输出：
P ( w ( t ) ) = min ( P max , 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ w ( t ) 3 ) P(w(t)) = \min\left(P_{\text{max}}, \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot w(t)^3\right) P(w(t))=min(Pmax,21⋅ρ⋅A⋅w(t)3)
-
推力：
F ( w ( t ) ) = 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ w ( t ) 2 F(w(t)) = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot w(t)^2 F(w(t))=21⋅ρ⋅A⋅w(t)2
-
扭矩：
T ( P ( t ) , w ( t ) ) = P ( t ) w ( t ) ⋅ 2 π T(P(t), w(t)) = \frac{P(t)}{w(t) \cdot 2 \pi} T(P(t),w(t))=w(t)⋅2πP(t)
-
塔架应力：
σ tower ( t ) = F ( w ( t ) ) ⋅ H tower I \sigma_{\text{tower}}(t) = \frac{F(w(t)) \cdot H_{\text{tower}}}{I} σtower(t)=IF(w(t))⋅Htower
-
主轴应力：
τ shaft ( t ) = T ( P ( t ) , w ( t ) ) J \tau_{\text{shaft}}(t) = \frac{T(P(t), w(t))}{J} τshaft(t)=JT(P(t),w(t))
-
等效应力：
σ eq ( t ) = σ tower ( t ) 2 + τ shaft ( t ) 2 \sigma_{\text{eq}}(t) = \sqrt{\sigma_{\text{tower}}(t)^2 + \tau_{\text{shaft}}(t)^2} σeq(t)=σtower(t)2+τshaft(t)2
-
疲劳寿命：
N ( σ eq ) = ( S 0 σ eq ) k N(\sigma_{\text{eq}}) = \left(\frac{S_0}{\sigma_{\text{eq}}}\right)^k N(σeq)=(σeqS0)k
-
累积疲劳损伤：
D ( t ) = ∑ t = 1 T 1 N ( σ eq ( t ) ) D(t) = \sum_{t=1}^{T} \frac{1}{N(\sigma_{\text{eq}}(t))} D(t)=∑t=1TN(σeq(t))1
这个模型通过考虑功率输出、风速、通信延迟、噪声等复杂因素，最小化涡轮机的累积疲劳损伤。
python代码实现：
python
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
class WindTurbine:
def __init__(self, P_max, rho, A, H_tower, I, J, S_0, k, tau):
self.P_max = P_max
self.rho = rho
self.A = A
self.H_tower = H_tower
self.I = I
self.J = J
self.S_0 = S_0
self.k = k
self.tau = tau
def wind_power(self, w):
return min(self.P_max, 0.5 * self.rho * self.A * w**3)
def thrust(self, w):
return 0.5 * self.rho * self.A * w**2
def torque(self, P, w):
return P / (w * 2 * np.pi)
def tower_stress(self, w):
F = self.thrust(w)
return F * self.H_tower / self.I
def shaft_stress(self, P, w):
T = self.torque(P, w)
return T / self.J
def equivalent_stress(self, P, w):
sigma_tower = self.tower_stress(w)
tau_shaft = self.shaft_stress(P, w)
return np.sqrt(sigma_tower**2 + tau_shaft**2)
def fatigue_life(self, sigma_eq):
return (self.S_0 / sigma_eq) ** self.k
def cumulative_damage(self, P, wind_speeds):
D = 0
for w in wind_speeds:
sigma_eq = self.equivalent_stress(P, w)
D += 1 / self.fatigue_life(sigma_eq)
return D
def optimize_power(wind_speeds, turbine):
def objective(P):
return turbine.cumulative_damage(P, wind_speeds)
res = minimize(objective, [turbine.P_max], bounds=[(0, turbine.P_max)])
return res.x[0]
if __name__ == "__main__":
P_max = 1500
rho = 1.225
A = 100
H_tower = 50
I = 500
J = 300
S_0 = 300
k = 5
tau = 0.5
wind_speeds = np.array([8, 10, 12, 9, 7, 15, 14, 13, 11])
turbine = WindTurbine(P_max, rho, A, H_tower, I, J, S_0, k, tau)
optimal_power = optimize_power(wind_speeds, turbine)
print("Optimal Power Output:", optimal_power)