C++ 红黑树 - 技术栈

[2. 红黑树的特性](#2. 红黑树的特性)

1.红黑树的概念

红黑树 ，是一种 二叉搜索树 ，但 在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是 Red 或
Black 。通过对 任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路
径会比其他路径长出俩倍 ，因而是接近平衡的。

2. 红黑树的特性

在讲解红黑树性质之前，先简单了解一下几个概念：

parent：父节点

sibling：兄弟节点

uncle：叔父节点（ parent 的兄弟节点）

grand：祖父节点（ parent 的父节点）

首先，红黑树是一个二叉搜索树，它在每个节点增加了一个存储位记录节点的颜色，可以是RED,也可以是BLACK；通过任意一条从根到叶子简单路径上颜色的约束，红黑树保证最长路径不超过最短路径的二倍，因而近似平衡（最短路径就是全黑节点，最长路径就是一个红节点一个黑节点，当从根节点到叶子节点的路径上黑色节点相同时，最长路径刚好是最短路径的两倍）。它同时满足以下特性：

节点是红色或黑色

根是黑色

叶子节点（外部节点，空节点）都是黑色，这里的叶子节点指的是最底层的空节点（外部节点），下图中的那些null节点才是叶子节点，null节点的父节点在红黑树里不将其看作叶子节点

红色节点的子节点都是黑色 1.红色节点的父节点都是黑色 2.从根节点到叶子节点的所有路径上不能有 2 个连续的红色节点

从任一节点到叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点

根据上面的特性，我们来分辨一下下面的是不是红黑树

上面这棵树首先很容易就能知道是满足性质1-4条的，关键在于第5条性质，可能乍一看好像也是符合第5条的，但实际就会陷入一个误区，直接将图上的最后一层的节点看作叶子节点，这样看的话每一条从根节点到叶子结点的路径确实都经过了3个黑节点。

但实际上，在红黑树中真正被定义为叶子结点的，是那些空节点

3.红黑树的效率

红黑树的查找，插入和删除操作，时间复杂度都是O(logN)。

查找操作时，它和普通的相对平衡的二叉搜索树的效率相同，都是通过相同的方式来查找的，没有用到红黑树特有的特性。

但如果插入的时候是有序数据，那么红黑树的查询效率就比二叉搜索树要高了，因为此时二叉搜索树不是平衡树，它的时间复杂度O(N)。

插入和删除操作时，由于红黑树的每次操作平均要旋转一次和变换颜色，所以它比普通的二叉搜索树效率要低一点，不过时间复杂度仍然是O(logN)。总之，红黑树的优点就是对有序数据的查询操作不会慢到O(logN)的时间复杂度。

4.红黑树节点的定义

cpp 复制代码

enum color
{
	RED,
	BLACK
};
template <class k,class v>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode* left;
	RBTreeNode* right;
	RBTreeNode* _parent;

	color col;
	pair<k, v> kv;

	RBTreeNode(const pair<k,v> kv)
		:left(nullptr)
		,right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,col(RED)
		,kv(kv)
	{}
	
};

这里思考一下为什么把节点默认颜色为红色呢

红黑树的结构
为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为跟节点必须为黑色，为了
与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 Parent 域指向红黑树的根节点， Left
域指向红黑树中最小的节点， Right 域指向红黑树中最大的节点，如下：

5.红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

cpp 复制代码

template<class ValueType>
class RBTree
{
	//......
	bool Insert(const ValueType& data)
	{
		PNode& pRoot = GetRoot();
		if (nullptr == pRoot)
		{
			pRoot = new Node(data, BLACK);
			// 根的双亲为头节点
			pRoot->_pParent = _pHead;
			_pHead->_pParent = pRoot;
		}
		else
		{
			// 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点
						// 2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏，
			//   若满足直接退出，否则对红黑树进行旋转着色处理
		}
		// 根节点的颜色可能被修改，将其改回黑色
		pRoot->_color = BLACK;
		_pHead->_pLeft = LeftMost();
		_pHead->_pRight = RightMost();
		return true;
	}
private:
	PNode& GetRoot() { return _pHead->_pParent; }
	// 获取红黑树中最小节点，即最左侧节点
	PNode LeftMost();
	// 获取红黑树中最大节点，即最右侧节点
	PNode RightMost();
private:
	PNode _pHead;
};

检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
因为 新节点的默认颜色是红色 ，因此：如果 其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何
性质，则不需要调整；但 当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连
在一起的红色节点 ，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定 :cur 为当前节点， p 为父节点， g 为祖父节点， u 为叔叔节点
情况一 : cur 为红， p 为红， g 为黑， u 存在且为红

cur和p均为红，违反了性质三，此处能否将p直接改为黑？

解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u****存在且为黑

p 为 g 的左孩子， cur 为 p 的左孩子，则进行右单旋转；相反，
p 为 g 的右孩子， cur 为 p 的右孩子，则进行左单旋转
p 、 g 变色 --p 变黑， g 变红
情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p 为 g 的左孩子， cur 为 p 的右孩子，则针对 p 做左单旋转；相反，
p 为 g 的右孩子， cur 为 p 的左孩子，则针对 p 做右单旋转
则转换成了情况 2

cpp 复制代码

	while (parent && parent->col == RED)
	{
		Node* grandparent = parent->_parent;
		if (parent == grandparent->left)      当parent是grandparent的左子树时
		{
			Node* uncle = grandparent->right;
			if (uncle && uncle->col == RED)        当叔叔存在且叔叔为红色
			{
				parent->col = uncle->col = BLACK;
				if (grandparent == root)
				{
					grandparent->col = BLACK;
					return true;
				}
				else
				{
					grandparent->col = RED;
					cur = grandparent;
					parent = cur->_parent;
				}
			}
			else          叔叔不存在时
			{
				if (cur = parent->left)
				{
					RotateR(grandparent);
					parent->col = RED;
					grandparent->col = BLACK;
				}
				else
				{
					RotateL(parent);
					RotateR(grandparent);
					cur->col = BLACK;
					grandparent->col = RED;
				}
				break;
			}
		}
		else           //parent=grandparent->right
		{
			Node* uncle = grandparent->left;
			if (uncle && uncle == RED)
			{
				parent->col = uncle->col = BLACK;
				if (grandparent == root)
				{
					grandparent->col = BLACK;
					return true;
				}
				else
				{
					grandparent->col = RED;
					cur = grandparent;
					parent = cur->_parent;
				}
			}
			else
			{
				if (cur == parent->right)
				{
					RotateL(grandparent);
					parent->col = BLACK;
					grandparent->col = RED;
				}
				else
				{
					RotateR(parent);
					RotateL(grandparent);
					cur->col = BLACK;
					grandparent->col = RED;
				}
				break;
			}
		}
	}

}
root->col = BLACK;
return true;

这里涉及的旋转问题在上一章讲AVL树提到过

左单旋右单旋

RotateR（左单旋） RotateL（右单旋）

6.红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

检测其是否满足二叉搜索树 ( 中序遍历是否为有序序列 )

检测其是否满足红黑树的性质

cpp 复制代码

bool check(Node* root, int blacknum, const int refval)
{
	if (root == nullptr)
	{
		if (blacknum != refval)
		{
			cout << "存在黑色结点数量不相等路径" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}
	if (root->col == RED && root->_parent->col == RED)
	{
		return false;
	}
	if (root->col == BLACK)
	{
		blacknum++;
	}
	return check(root->left, blacknum, refval) && check(root->right, blacknum, refval);
}
bool IsValidRBTRee()
{
	if (root == nullptr)
	{
		return true;
	}
	if (root->col == RED)
		return false;
	int refval = 0; //参考值
	Node* cur = root;
	while (cur)
	{
		if (cur->col == BLACK)
		{
			refval++;
		}
		cur = cur->left;
	}
	int blacknum = 0;
	return check(root, blacknum, refval);
}

7.红黑树和AVL树的对比

AVL树的时间复杂度虽然优于红黑树，但是对于现在的计算机，cpu太快，可以忽略性能差异

红黑树的插入删除比AVL树更便于控制操作

红黑树整体性能略优于AVL树（红黑树旋转情况少于AVL树）