本节是使用代数而不是消元法来求解 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b 和 A − 1 A^{-1} A−1。所有的公式都会除以 det A \det A detA， A − 1 A^{-1} A−1 和 A − 1 b A^{-1}\boldsymbol b A−1b 中的每个元素都是一个行列式除以 A A A 的行列式。
一、克拉默法则
克拉默法则 （Cramer's Rule）用来求解 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b。一个简洁的的公式得到第一分量 x 1 x_1 x1，将单位矩阵 I I I 的第一列用 x \boldsymbol x x 代替，得到一个行列式为 x 1 x_1 x1 的矩阵。如果用 A A A 乘上这个矩阵，第一列会得到 A x A\boldsymbol x Ax 也就是 b \boldsymbol b b。 B 1 B_1 B1 的其它列和 A A A 一样： 关键思想 [ A ] [ x 1 0 0 x 2 1 0 x 3 0 1 ] = [ b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 ] = B 1 ( 5.3.1 ) \pmb{关键思想}\kern 10pt\begin{bmatrix}&\\&A&\\&\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\pmb{x_1}&0&0\\\pmb{x_2}&1&0\\\pmb{x_3}&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pmb{b_1}&a_{12}&a_{13}\\\pmb{b_2}&a_{22}&a_{23}\\\pmb{b_3}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}=B_1\kern 10pt(5.3.1) 关键思想 A x1x2x3010001 = b1b2b3a12a22a32a13a23a33 =B1(5.3.1)一次乘一列。上式对三个矩阵去行列式可以求得 x 1 x_1 x1： 乘积规则 ( det A ) ( x 1 ) = det B 1 或 x 1 = det B 1 det A ( 5.3.2 ) \boxed{\pmb{乘积规则}\kern 25pt(\det A)(x_1)=\det B_1\kern 10pt或\kern 10pt\pmb{x_1=\frac{\det B_1}{\det A}}}\kern 15pt(5.3.2) 乘积规则(detA)(x1)=detB1或x1=detAdetB1(5.3.2)这是用克拉默法则求得的 x \boldsymbol x x 的第一分量，改变 A A A 的一列得到 B 1 B_1 B1。要求 x 2 x_2 x2 和 B 2 B_2 B2，将向量 x \boldsymbol x x 和 b \boldsymbol b b 放到 I I I 和 A A A 的第二列： 同样的思想 [ a 1 a 2 a 3 ] [ 1 x 1 0 0 x 2 0 0 x 3 1 ] = [ a 1 b a 3 ] = B 2 ( 5.3.3 ) \pmb{同样的思想}\kern 20pt\begin{bmatrix}\\\pmb{a_1}&\pmb{a_2}&\pmb{a_3}\\&\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&x_1&0\\0&x_2&0\\0&x_3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\\\pmb{a_1}&\boldsymbol b&\boldsymbol a_3\\&\end{bmatrix}=B_2\kern 15pt(5.3.3) 同样的思想 a1a2a3 100x1x2x3001 = a1ba3 =B2(5.3.3)取行列式得 ( det A ) ( x 2 ) = det B 2 (\det A)(x_2)=\det B_2 (detA)(x2)=detB2，即可得到 x 2 = det B 2 det A \pmb{x_2=\displaystyle\frac{\det B_2}{\det A}} x2=detAdetB2.
【例1 】求解 3 x 1 + 4 x 2 = 2 3x_1+4x_2=\pmb2 3x1+4x2=2 和 5 x 1 + 6 x 2 = 4 5x_1+6x_2=\pmb4 5x1+6x2=4 需要三个行列式： det A = ∣ 3 4 5 6 ∣ , det B 1 = ∣ 2 4 4 6 ∣ , det B 2 = ∣ 3 2 5 4 ∣ \pmb{\det A}=\begin{vmatrix}3&4\\5&6\end{vmatrix},\kern 12pt\pmb{\det B_1}=\begin{vmatrix}\pmb2&4\\\pmb4&6\end{vmatrix},\kern 12pt\pmb{\det B_2}=\begin{vmatrix}3&\pmb2\\5&\pmb4\end{vmatrix} detA= 3546 ,detB1= 2446 ,detB2= 3524 A 1 , B 1 , B 2 A_1,B_1,B_2 A1,B1,B2 的行列式分别是 − 2 , − 4 -2,-4 −2,−4 和 2 2 2，所有的比值都是除以 det A = − 2 \det A=-2 detA=−2： 求解 x = A − 1 b ： x 1 = − 4 − 2 = 2 , x 2 = 2 − 2 = − 1 , 检验 [ 3 4 5 6 ] [ 2 − 1 ] = [ 2 4 ] 求解\kern 3pt\boldsymbol x=A^{-1}\boldsymbol b：\kern 13ptx_1=\frac{-4}{-2}=2,\kern 10ptx_2=\frac{2}{-2}=-1,\kern 11pt\pmb{检验}\kern 4pt\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix} 求解x=A−1b：x1=−2−4=2,x2=−22=−1,检验[3546][2−1]=[24]
克拉默法则（CRAMER's RULE） \kern 5pt 如果 det A \det A detA 不为零， A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b 可以由行列式求出： x 1 = det B 1 det A x 2 = det B 2 det A ⋯ x n = det B n det A ( 5.3.4 ) {\color{blue}x_1=\frac{\det B_1}{\det A}\kern 15ptx_2=\frac{\det B_2}{\det A}\kern 15pt\cdots\kern 15ptx_n=\frac{\det B_n}{\det A}}\kern 20pt(5.3.4) x1=detAdetB1x2=detAdetB2⋯xn=detAdetBn(5.3.4)矩阵 B j B_j Bj 是把 A A A 的第 j j j 列用向量 b \boldsymbol b b 替换。
要求洁 n × n n\times n n×n 的系统，克拉默法则要计算 n + 1 n+1 n+1 个行列式（ A A A 和 n n n 个不同的 B B B），每个行列式都是 n ! n! n! 个项的和 ------ 使用所有排列的 "大公式"，这些总共会有 ( n + 1 ) ! (n+1)! (n+1)! 项。使用这种方法来求解那无疑是疯狂的，但是我们最终有了一个明确的求解 x \boldsymbol x x 的公式。
二、逆矩阵
【例2 】克拉默法则对于数字来说没什么效率，但是确很适合字母。对于 n = 2 n=2 n=2 的情况，通过求解 A A − 1 = I AA^{-1}=I AA−1=I 得到 A − 1 = [ x y ] A^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol x&\boldsymbol y\end{bmatrix} A−1=[xy] 的列： A − 1 的列是 x 和 y [ a b c d ] [ x 1 x 2 ] = [ 1 0 ] [ a b c d ] [ y 1 y 2 ] = [ 0 1 ] \pmb{A^{-1}\,的列是\,\boldsymbol x\,和\,\boldsymbol y}\kern 15pt\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pmb1\\\pmb0\end{bmatrix}\kern 15pt\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pmb0\\\pmb1\end{bmatrix} A−1的列是x和y[acbd][x1x2]=[10][acbd][y1y2]=[01]它们有相同的矩阵 A A A，我们需要 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 和关于 x 1 , x 2 , y 1 , y 2 x_1,x_2,y_1,y_2 x1,x2,y1,y2 的四个行列式： ∣ a b c d ∣ 和 ∣ 1 b 0 d ∣ , ∣ a 1 c 0 ∣ , ∣ 0 b 1 d ∣ , ∣ a 0 c 1 ∣ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}和\begin{vmatrix}\pmb1&b\\\pmb0&d\end{vmatrix},\kern 8pt\begin{vmatrix}a&\pmb1\\c&\pmb0\end{vmatrix},\kern 8pt\begin{vmatrix}\pmb0&b\\\pmb1&d\end{vmatrix},\kern 8pt\begin{vmatrix}a&\pmb0\\c&\pmb1\end{vmatrix} acbd 和 10bd , ac10 , 01bd , ac01 后四个行列式分别是 d , − c , − b , a d,-c,-b,a d,−c,−b,a（它们都是代数余子式！）下面是 A − 1 A^{-1} A−1： x 1 = d ∣ A ∣ , x 2 = − c ∣ A ∣ , y 1 = − b ∣ A ∣ , y 2 = a ∣ A ∣ ，则 A − 1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] x_1=\frac{d}{|A|},\kern 7ptx_2=\frac{-c}{|A|},\kern 7pty_1=\frac{-b}{|A|},\kern 7pty_2=\frac{a}{|A|}，则\,A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}\kern 7ptd&-b\\-c&\kern 7pta\end{bmatrix} x1=∣A∣d,x2=∣A∣−c,y1=∣A∣−b,y2=∣A∣a，则A−1=ad−bc1[d−c−ba]这里选择 2 × 2 2\times2 2×2 的矩阵，重点会很清晰。新的概念是：A − 1 A^{-1} A−1 和代数余子式有关 。当右侧是单位矩阵 I I I 的一列，就如同 A A − 1 = I AA^{-1}=I AA−1=I，克拉默法则中的每个 B j B_j Bj 的行列式都是 A A A 的一个代数余子式 。
对于 n = 3 n=3 n=3 的情况也可以看到这些代数余子式，求解 A x = ( 1 , 0 , 0 ) A\boldsymbol x=(1,0,0) Ax=(1,0,0) 来得到 A − 1 A^{-1} A−1 的第 1 1 1 列： B ′ s 的行列式 = A 的代数余子式 ∣ 1 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 a 32 a 33 ∣ ∣ a 11 1 a 13 a 21 0 a 23 a 31 0 a 33 ∣ ∣ a 11 a 12 1 a 21 a 22 0 a 31 a 32 0 ∣ ( 5.3.5 ) \begin{array}{l}\pmb{B's\,的行列式}\\\pmb{=A的代数余子式}\end{array}\kern 6pt\begin{vmatrix}\pmb1&a_{12}&a_{13}\\\pmb0&a_{22}&a_{23}\\\pmb0&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\kern 6pt\begin{vmatrix}a_{11}&\pmb1&a_{13}\\a_{21}&\pmb0&a_{23}\\a_{31}&\pmb0&a_{33}\end{vmatrix}\kern 6pt\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\pmb1\\a_{21}&a_{22}&\pmb0\\a_{31}&a_{32}&\pmb0\end{vmatrix}\kern 15pt(5.3.5) B′s的行列式=A的代数余子式 100a12a22a32a13a23a33 a11a21a31100a13a23a33 a11a21a31a12a22a32100 (5.3.5)第一个行列式 ∣ B 1 ∣ |B_1| ∣B1∣ 是代数余子式 C 11 = a 22 a 33 − a 23 a 32 C_{11}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} C11=a22a33−a23a32，第二个行列式 ∣ B 2 ∣ |B_2| ∣B2∣ 是代数余子式 C 12 C_{12} C12，注意前面有一个负号 − ( a 21 a 33 − a 23 a 31 ) -(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) −(a21a33−a23a31)，这个代数余子式 C 12 C_{12} C12 在 A − 1 A^{-1} A−1 的第一列，当我们除以 det A \det A detA，就可以得到逆矩阵！
A − 1 A^{-1} A−1 的第 i , j i,j i,j 元素是代数余子式 C j i C_{ji} Cji（不是 C i j C_{ij} Cij）除以 det A \det A detA： A − 1 的公式 ( A − 1 ) i j = C j i det A 和 A − 1 = C T det A ( 5.3.6 ) \pmb{A^{-1}\,的公式}\kern 15pt{\color{blue}(A^{-1}){ij}=\frac{C{ji}}{\det A}}\,和\,{\color{blue}A^{-1}=\frac{C^T}{\det A}}\kern 18pt(5.3.6) A−1的公式(A−1)ij=detACji和A−1=detACT(5.3.6)
代数余子式 C i j C_{ij} Cij 进到 "代数余子式矩阵"（cofactor matrix） C C C，C C C 的转置得到 A − 1 A^{-1} A−1 ， C T C^{T} CT 称为伴随矩阵 。要计算 A − 1 A^{-1} A−1 的第 i , j i,j i,j 元素，去掉 A A A 的第 j j j 行和第 i i i 列的行列式，然后 ( − 1 ) i + j (-1)^{i+j} (−1)i+j 乘上这个行列式得到代数余子式 C j i C_{ji} Cji，最后再除以 det A \det A detA。
用 A − 1 A^{-1} A−1 的第 3 , 1 3,1 3,1 个元素来检验一下这个规则。对于列 1 1 1 我们要求解 A x = ( 1 , 0 , 0 ) A\boldsymbol x=(1,0,0) Ax=(1,0,0)，第三个分量 x 3 x_3 x3 是式（5.3.5）的第三个行列式除以 det A \det A detA，这个行列式就是代数余子式 C 13 = a 21 a 32 − a 22 a 31 C_{13}=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} C13=a21a32−a22a31。所以 ( A − 1 ) 31 = C 13 / det A (A^{-1}){31}=C{13}/\det A (A−1)31=C13/detA。
总结： 求解 A A − 1 = I AA^{-1}=I AA−1=I 时， I I I 的每一列得到 A − 1 A^{-1} A−1 的每一列。 A − 1 A^{-1} A−1 的每个元素都是一个比值：大小为 n − 1 n-1 n−1 的行列式 / 大小为 n n n 的行列式。
直接证明公式 A − 1 = C T / det A \pmb{A^{-1}=C^{T}/\det A} A−1=CT/detA ：即 A C T = ( det A ) I \pmb{AC^T=(\det A)I} ACT=(detA)I：
[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] [ C 11 C 21 C 31 C 12 C 22 C 32 C 13 C 23 C 33 ] = [ det A 0 0 0 det A 0 0 0 det A ] ( 5.3.7 ) \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&C_{31}\\C_{12}&C_{22}&C_{32}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{blue}\det A}&0&0\\0&{\color{blue}\det A}&0\\0&0&{\color{blue}{\det A}}\end{bmatrix}\kern 13pt(5.3.7) a11a21a31a12a22a32a13a23a33 C11C12C13C21C22C23C31C32C33 = detA000detA000detA (5.3.7)
( A 的第 1 行 ) (A\,的第\,1\,行) (A的第1行) 乘 ( C T 的第 1 列 ) (C^T\,的第\,1\,列) (CT的第1列) 得到右侧的第一个 det A \det A detA： a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = det A 这个就是代数余子式公式！ a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}=\det A\kern 10pt这个就是代数余子式公式！ a11C11+a12C12+a13C13=detA这个就是代数余子式公式！同理， A A A 的第 2 2 2 行乘 C T C^T CT（注意转置） 的第 2 2 2 列也得到 det A \det A detA，元素 a 2 j a_{2j} a2j 应乘上代数余子式 C 2 j C_{2j} C2j 以得到行列式。
下面解释式（5.3.7）中的非对角线元素为什么是零？ A A A 的行乘上不同行的代数余子式，为什么是零呢？ A 的第 2 行 C 的第 1 行 a 21 C 11 + a 22 C 12 + a 23 C 13 = 0 ( 5.3.8 ) \begin{matrix}\pmb{A\,的第\,2\,行}\\\pmb{C\,的第\,1\,行}\end{matrix}\kern 15pta_{21}C_{11}+a_{22}C_{12}+a_{23}C_{13}=0\kern 20pt(5.3.8) A的第2行C的第1行a21C11+a22C12+a23C13=0(5.3.8)原因：这是一个新矩阵的代数余子式公式，将 A A A 的第二行复制到它的第一行，则新矩阵 A ∗ A^* A∗ 就有两个相等的行，所以式（5.3.8）中的 det A ∗ = 0 \det A^*=0 detA∗=0，注意 A ∗ A^* A∗ 和 A A A 有相同的代数余子式 C 11 , C 12 , C 13 C_{11},C_{12},C_{13} C11,C12,C13，因为除了第一行其它行都是一样的。所以式（5.3.7）是正确的： A C T = ( det A ) I 或 A − 1 = C T det A AC^T=(\det A)I\kern 15pt或\kern 15ptA^{-1}=\frac{C^T}{\det A} ACT=(detA)I或A−1=detACT【例3 】"求和矩阵" A A A 的行列式为 1 1 1，则 A − 1 A^{-1} A−1 只包含代数余子式： A = [ 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 ] 的逆矩阵是 A − 1 = C T 1 = [ 1 0 0 0 − 1 1 0 0 0 − 1 1 0 0 0 − 1 1 ] A=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{bmatrix}的逆矩阵是\kern 5ptA^{-1}=\frac{C^T}{1}=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&\kern 7pt0&\kern 7pt0&0\\-1&\kern 7pt1&\kern 7pt0&0\\\kern 7pt0&-1&\kern 7pt1&0\\\kern 7pt0&\kern 7pt0&-1&1\end{bmatrix} A= 1111011100110001 的逆矩阵是A−1=1CT= 1−10001−10001−10001 去掉 A A A 的第 1 1 1 行和第 1 1 1 列可得 3 × 3 3\times3 3×3 的代数余子式 C 11 = 1 C_{11}=1 C11=1，然后去掉 A A A 的第 1 1 1 行和第 2 2 2 列得到 C 12 C_{12} C12，这个 3 × 3 3\times3 3×3 的子矩阵仍然是三角形的，行列式为 1 1 1，但是由于符号是 ( − 1 ) 1 + 2 (-1)^{1+2} (−1)1+2，所以代数余子式 C 12 C_{12} C12 是 − 1 -1 −1，这个 − 1 -1 −1 是 A − 1 A^{-1} A−1 的元素 ( 2 , 1 ) (2,1) (2,1)，不要忘了 C C C 需要转置。
三角矩阵的逆矩阵也是三角矩阵。代数余子式可以给出解释。
【例4 】如果所有的代数余子式都不是零，那么 A A A 一定是可逆的吗？
\kern 5pt 答： 不可能 !
三、三角形的面积
我们都知道矩形的面积是底乘高，三角形的面积是底乘高的一半。但是下面这个问题无法用这些公式来回答。如果我们已知三角形的三个角 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) \pmb{(x_1,y_1),(x_2,y_2)} (x1,y1),(x2,y2) 和 ( x 3 , y 3 ) \pmb{(x_3,y_3)} (x3,y3)，它的面积是多少 ？用这些角求出底和高并不算是一个好方法。
这个问题行列式是求面积最好的方法。三角形的面积是一个 3 × 3 \pmb{3\times3} 3×3 的行列式的一半 。这里并不会出现底和高中的那些平方根。如果一个角是原点，即 ( x 3 , y 3 ) = ( 0 , 0 ) (x_3,y_3)=(0,0) (x3,y3)=(0,0)，则行列式只是一个 2 × 2 2\times2 2×2 的。
三角形的三个角在 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) (x_1,y_1),(x_2,y_2) (x1,y1),(x2,y2) 和 ( x 3 , y 3 ) (x_3,y_3) (x3,y3)，则它的 面积 = 行列式/2 ： 三角形的面积 1 2 ∣ x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 ∣ 当 ( x 3 , y 3 ) = ( 0 , 0 ) 时，面积 = 1 2 ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ \pmb{三角形的面积}\kern 10pt\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}\kern 15pt当\,(x_3,y_3)=(0,0)\,时，面积=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix} 三角形的面积21 x1x2x3y1y2y3111 当(x3,y3)=(0,0)时，面积=21 x1x2y1y2
若在 3 × 3 3\times3 3×3 的行列式中令 x 3 = y 3 = 0 x_3=y_3=0 x3=y3=0，则通过代数余子式展开就可以得到一个 2 × 2 2\times2 2×2 的行列式，这些公式没有平方根，也很容易记忆。 3 × 3 3\times3 3×3 的行列式利用代数余子式展开可以分成 3 3 3 个 2 × 2 2\times2 2×2 的行列式，就如 Figure 5.1 中的第三个三角形，分成了三个一个角为 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 的特殊三角形： 面积 = 1 2 ∣ x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 ∣ = 1 2 ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) + 1 2 ( x 2 y 3 − x 3 y 2 ) + 1 2 ( x 3 y 1 − x 1 y 3 ) ( 5.3.9 ) \pmb{面积}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}=\frac{1}{2}(x_1y_2-x_2y_1)+\frac{1}{2}(x_2y_3-x_3y_2)+\frac{1}{2}(x_3y_1-x_1y_3)\kern 15pt(5.3.9) 面积=21 x1x2x3y1y2y3111 =21(x1y2−x2y1)+21(x2y3−x3y2)+21(x3y1−x1y3)(5.3.9)如果 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 在三角形的外面，则其中两个三角形的面积可能是负的，但是和是对的。真正的问题是解释一个角是 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 的三角形的面积。
为什么 1 2 ∣ x 1 y 2 − x 2 y 1 ∣ \displaystyle\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1| 21∣x1y2−x2y1∣ 是三角形的面积呢？我们将因数 1 2 \displaystyle\frac{1}{2} 21 移去，将剩下的当成一个平行四边形（面积变为原来的两倍，因为平行四边形包含两个相等的三角形）。现在证明平行四边形的面积是行列式 x 1 y 2 − x 2 y 1 x_1y_2-x_2y_1 x1y2−x2y1，Figure 5.2 中的面积是 11 11 11，因此三角形的面积是 11 2 \displaystyle\frac{11}{2} 211。
证明从 ( 0 , 0 ) 开始的平行四边形的面积 = 2 × 2 的行列式 \pmb{证明从\,(0,0)\,开始的平行四边形的面积=2\times2\,的行列式} 证明从(0,0)开始的平行四边形的面积=2×2的行列式证明的方法有很多种，这里选择从行列式的性质来证明。我们要证明面积和行列式有同样的性质 1 − 2 − 3 1-2-3 1−2−3，则 面积 = 行列式 ！满足这三个性质就可以定义行列式，然后推出其它的所有性质。
- 当 A = I A=I A=I，平行四边形将变成一个单位的正方形，它的面积是 det I = 1 \det I=1 detI=1。
- 若进行行交换，行列式的符号会反转。绝对值（正的面积）保持不变，这是因为它是相同的平行四边形。
- 如果行 1 1 1 乘上 t t t，Figure 5.3a 表示面积也会乘上 t t t。假设一个新行 ( x 1 ′ , y 1 ′ ) (x'_1,y'_1) (x1′,y1′) 加到 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1)（第 2 2 2 行固定），Figure 5.3b 表明实线平行四边形的面积加起来等于虚线平行四边形的面积（因为两个虚线三角形的面积相等），注意这个图都是在同一平面上，而不是立体的！
这是一个奇异的证明，我们使用了平面几何的知识。但是这个证明的主要吸引力是它也适用于 n n n 维的情形。从原点出发的 n n n 个边得到一个 n × n n\times n n×n 矩阵的行，这个盒子会有更多的边来完成，就行平行四边形一样。
Figure 5.4 画出了一个三维的盒子，它的边都不是直角。它的体积等于 det A \pmb{\det A} detA 的绝对值 。我们证明需要再次验证这个体积满足行列式的性质 1 − 3 1-3 1−3。当一条边被因数 t t t 拉伸，它的体积会乘上 t t t。若边 1 1 1 加到边 1 ′ 1' 1′ 上，体积将会是两个原始体积之和。这是将 Figure 5.3b 提升至三维甚至是 n n n 维的情况，再高的维度我们就无法画出了。
单位立方体的体积 = 1 1 1，就是 det I \det I detI。行交换即是边的交换得到相同的盒子，它们体积的绝对值是相等的。行列式改变符号，表明是右手系（ det A > 0 \det A>0 detA>0）或是左手系（ det A < 0 \det A<0 detA<0）。盒子的体积满足行列式的性质，所以体积 = det A \det A detA 的绝对值。
【例5 】假设一个矩形盒子（ 90 ° 90° 90° 角）的边长是 r , s , t r,s,t r,s,t，则它的体积是 r r r 乘 s s s 乘 t t t。对角矩阵 A A A 的元素 r , s , t r,s,t r,s,t 生成这三个边， det A \det A detA 也等于体积 r s t rst rst。
【例6 】微积分中，盒子是无限小的！若要对一个圆积分，我们可能要将 x x x 和 y y y 转变成 r r r 和 θ \theta θ，这是极坐标系的转换： x = r cos θ ， y = r sin θ x=r\cos\theta，y=r\sin\theta x=rcosθ，y=rsinθ。极坐标盒子的面积是行列式 J J J 乘 d r d θ \textrm dr\,\textrm d\theta drdθ： 微积分中的面积 J = ∣ ∂ x / ∂ r ∂ x / ∂ θ ∂ y / ∂ r ∂ y / ∂ θ ∣ = ∣ cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ∣ = r \pmb{微积分中的面积}\kern 15ptJ=\begin{vmatrix}\partial x/\partial r&\partial x/\partial\theta\\\partial y/\partial r&\partial y/\partial\theta\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}=r 微积分中的面积J= ∂x/∂r∂y/∂r∂x/∂θ∂y/∂θ = cosθsinθ−rsinθrcosθ =r在小面积 d A = r d r d θ \textrm dA=r\,\textrm dr\,\textrm d\theta dA=rdrdθ 的行列式是 r r r，拉伸因子 J J J 进到双重积分，就像 d x / d u \textrm dx/\textrm du dx/du 进入到正常积分 ∫ d x = ∫ ( d x / d u ) d u \int\textrm dx=\int(\textrm dx/\textrm du)\textrm du ∫dx=∫(dx/du)du。在三重积分中， 3 × 3 3\times3 3×3 的雅可比矩阵有 9 9 9 个导数。
四、叉积
叉积（cross product）是行列式的另一个应用，尤其对于三维情况。从向量 u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) \boldsymbol u=(u_1,u_2,u_3) u=(u1,u2,u3) 和 v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) \boldsymbol v=(v_1,v_2,v_3) v=(v1,v2,v3) 开始，它不像点积是一个数字，叉积是一个向量 ------ 也是三维的。写作 u × v \boldsymbol u\times\boldsymbol v u×v，读作 u \boldsymbol u u 叉乘（cross） v \boldsymbol v v。叉积的分量是 2 × 2 2\times2 2×2 的代数余子式，下面会有叉积的一些性质，这些性质使得 u × v \boldsymbol u\times \boldsymbol v u×v 在几何学和物理学中非常有用。
叉积的定义：
定义 ： u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) \kern 5pt\boldsymbol u=(u_1,u_2,u_3) u=(u1,u2,u3) 和 v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) \boldsymbol v=(v_1,v_2,v_3) v=(v1,v2,v3) 的叉积 是一个向量 u × v = ∣ i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 ∣ = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) i + ( u 3 v 1 − u 1 v 3 ) j + ( u 1 v 2 − u 2 v 1 ) k ( 5.3.10 ) {\color{blue}\boldsymbol u\times \boldsymbol v}={\color{blue}\begin{vmatrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}}=(u_2v_3-u_3v_2)\boldsymbol i+(u_3v_1-u_1v_3)\boldsymbol j+(u_1v_2-u_2v_1)\boldsymbol k\kern 16pt(5.3.10) u×v= iu1v1ju2v2ku3v3 =(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k(5.3.10)向量 u × v \boldsymbol u\times\boldsymbol v u×v 垂直于 u \boldsymbol u u 和 v \boldsymbol v v，叉积 v × u = − ( u × v ) \boldsymbol v\times\boldsymbol u=-(\boldsymbol u\times\boldsymbol v) v×u=−(u×v)。
注解： 3 × 3 3\times3 3×3 的行列式是记住 u × v \boldsymbol u\times\boldsymbol v u×v 最简单的方法，这种并不太合法，因为第一行是向量 i , j , k \boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k i,j,k，后面两行都是数字。在行列式中，向量 i = ( 1 , 0 , 0 ) \boldsymbol i=(1,0,0) i=(1,0,0) 乘 u 2 v 3 u_2v_3 u2v3 和 − u 3 v 2 -u_3v_2 −u3v2，得到的是 ( u 2 v 3 − u 3 v 2 , 0 , 0 ) (u_2v_3-u_3v_2,0,0) (u2v3−u3v2,0,0)，这就是叉积的第一个分量。
注意下标的循环模式： 2 2 2 和 3 3 3 得到 u × v \boldsymbol u\times\boldsymbol v u×v 的分量 1 1 1； 3 3 3 和 1 1 1 得到分量 2 2 2； 1 1 1 和 2 2 2 得到分量 3 3 3。这些就完成了 u × v \boldsymbol u\times\boldsymbol v u×v 的定义。下面列出叉积的性质：
性质1： v × u \boldsymbol v\times\boldsymbol u v×u 会较好行列式的第 2 2 2 行和第 3 3 3 行，所以它等于 − ( u × v ) -(\boldsymbol u\times\boldsymbol v) −(u×v)。
性质2： 叉积 u × v \boldsymbol u\times\boldsymbol v u×v 垂直于 u \boldsymbol u u（也垂直于 v \boldsymbol v v）。直接的证明就是做点积，展开后各项消去后得到零： u ⋅ ( u × v ) = u 1 ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) + u 2 ( u 3 v 1 − u 1 v 3 ) + u 3 ( u 1 v 2 − u 2 v 1 ) = 0 ( 5.3.11 ) \boldsymbol u\cdot(\boldsymbol u\times\boldsymbol v)=u_1(u_2v_3-u_3v_2)+u_2(u_3v_1-u_1v_3)+u_{3}(u_1v_2-u_2v_1)=0\kern 14pt(5.3.11) u⋅(u×v)=u1(u2v3−u3v2)+u2(u3v1−u1v3)+u3(u1v2−u2v1)=0(5.3.11)上式就是 u ⋅ ( u × v ) \boldsymbol u\cdot(\boldsymbol u\times\boldsymbol v) u⋅(u×v) 的代数余子式公式，这个行列式的行分别是 u , u \boldsymbol u,\boldsymbol u u,u 和 v \boldsymbol v v，有两个相等的行，所以结果是零。
性质3： 任何向量与它自己的叉积（两个相等的行） u × u = 0 \boldsymbol u\times\boldsymbol u=\boldsymbol 0 u×u=0.
若 u \boldsymbol u u 和 v \boldsymbol v v 平行，叉积是零；若 u \boldsymbol u u 和 v \boldsymbol v v 垂直，则点积为零。因为一个含有 sin θ \sin\theta sinθ，另一个含有 cos θ \cos\theta cosθ：
∣ ∣ u × v ∣ ∣ = ∣ ∣ u ∣ ∣ ∣ ∣ v ∣ ∣ ∣ sin θ ∣ ∣ u ⋅ v ∣ = ∣ ∣ u ∣ ∣ ∣ ∣ v ∣ ∣ ∣ cos θ ∣ ( 5.3.12 ) ||\boldsymbol u\times\boldsymbol v||=||\boldsymbol u||\,||\boldsymbol v||\,|\sin\theta|\kern 25pt|\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v|=||\boldsymbol u||\,||\boldsymbol v||\,|\cos\theta|\kern 18pt(5.3.12) ∣∣u×v∣∣=∣∣u∣∣∣∣v∣∣∣sinθ∣∣u⋅v∣=∣∣u∣∣∣∣v∣∣∣cosθ∣(5.3.12)
【例7 】 u = ( 3 , 2 , 0 ) \boldsymbol u=(3,2,0) u=(3,2,0) 和 v = ( 1 , 4 , 0 ) \boldsymbol v=(1,4,0) v=(1,4,0) 在 x y xy xy 平面， u × v \boldsymbol u\times\boldsymbol v u×v 沿着 z z z 轴向上： u × v = ∣ i j k 3 2 0 1 4 0 ∣ = 10 k . 叉积是 u × v = ( 0 , 0 , 10 ) . \boldsymbol u\times\boldsymbol v=\begin{vmatrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\3&2&0\\1&4&0\end{vmatrix}=10\boldsymbol k.\kern 15pt叉积是\,\boldsymbol u\times\boldsymbol v=(0,0,10). u×v= i31j24k00 =10k.叉积是u×v=(0,0,10). u × v \boldsymbol u\times\boldsymbol v u×v 的长度等于以 u \boldsymbol u u 和 v \boldsymbol v v 为边的平行四边形的面积 ，这个性质很重要，本例中面积是 10 10 10。
【例8 】 u = ( 1 , 1 , 1 ) \boldsymbol u=(1,1,1) u=(1,1,1) 和 v = ( 1 , 1 , 2 ) \boldsymbol v=(1,1,2) v=(1,1,2) 的叉积是 ( 1 , − 1 , 0 ) (1,-1,0) (1,−1,0)： ∣ i j k 1 1 1 1 1 2 ∣ = i ∣ 1 1 1 2 ∣ − j ∣ 1 1 1 2 ∣ + k ∣ 1 1 1 1 ∣ = i − j \begin{vmatrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\1&1&1\\1&1&2\end{vmatrix}=\boldsymbol i\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}-\boldsymbol j\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}+\boldsymbol k\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=\boldsymbol i-\boldsymbol j i11j11k12 =i 1112 −j 1112 +k 1111 =i−j向量 ( 1 , − 1 , 0 ) (1,-1,0) (1,−1,0) 垂直于 ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) (1,1,1) 和 ( 1 , 1 , 2 ) (1,1,2) (1,1,2)，面积是 2 \sqrt2 2 。
【例9 】 i = ( 1 , 0 , 0 ) \boldsymbol i=(1,0,0) i=(1,0,0) 和 j = ( 0 , 1 , 0 ) \boldsymbol j=(0,1,0) j=(0,1,0) 的叉积遵循右手规则，叉积 k = i × j \boldsymbol k=\boldsymbol i\times\boldsymbol j k=i×j 是向上而不向下：
由右手规则， i × j = k \boldsymbol i\times\boldsymbol j=\boldsymbol k i×j=k，也可以得到 j × k = i \boldsymbol j\times\boldsymbol k=\boldsymbol i j×k=i 和 k × i = j \boldsymbol k\times\boldsymbol i=\boldsymbol j k×i=j，注意这个循环的顺序。若是相反的顺序（反循环）拇指反向且叉积会指向另一边： k × j = − i ， i × k = − j \boldsymbol k\times\boldsymbol j=-\boldsymbol i，\boldsymbol i\times\boldsymbol k=-\boldsymbol j k×j=−i，i×k=−j 和 j × i = − k \boldsymbol j\times\boldsymbol i=-\boldsymbol k j×i=−k。我们从 3 × 3 3\times3 3×3 的行列式中可以看到 3 3 3 个正号和 3 3 3 个负号。
u × v \boldsymbol u\times\boldsymbol v u×v 的定义可以基于向量，而不是它们的分量：
定义 \kern 5pt 叉积 是长度为 ∣ ∣ u ∣ ∣ ∣ ∣ v ∣ ∣ ∣ sin θ ∣ 的向量 \color{blue}\pmb{叉积}是长度为\,||\boldsymbol u||\,||\boldsymbol v||\,|\sin\theta| 的向量 叉积是长度为∣∣u∣∣∣∣v∣∣∣sinθ∣的向量。它的方向垂直于 u \boldsymbol u u 和 v \boldsymbol v v，方向 "向上" 或 "向下" 由右手规则决定。
这个定义在物理上很有用， ( u 1 , u 2 , u 3 ) (u_1,u_2,u_3) (u1,u2,u3) 是一个有质量物体的位置， ( F x , F y , F z ) (F_x,F_y,F_z) (Fx,Fy,Fz) 是作用在它上的力，如果 F \boldsymbol F F 和 u \boldsymbol u u 平行，则 u × F = 0 \boldsymbol u\times\boldsymbol F=\boldsymbol 0 u×F=0 ------ 表示没有转动。叉积 u × F \boldsymbol u\times\boldsymbol F u×F 是转动力（turning force）或力矩（torque）。它的指向沿着转动轴（垂直于 u \boldsymbol u u 和 F \boldsymbol F F），它的长度 ∣ ∣ u ∣ ∣ ∣ ∣ F ∣ ∣ ∣ sin θ ∣ ||\boldsymbol u||\,||\boldsymbol F||\,|\sin\theta| ∣∣u∣∣∣∣F∣∣∣sinθ∣ 是产生转动的 "矩"（moment）的量测值。
五、三重积 = 行列式 = 体积
由于 u × v \boldsymbol u\times\boldsymbol v u×v 是一个向量，我们将它与第三个向量 w \boldsymbol w w 做点积，就得到三重积 （triple product） ( u × v ) ⋅ w (\boldsymbol u\times\boldsymbol v)\cdot\boldsymbol w (u×v)⋅w，这个称为 "数量" 三重积，因为它是一个数字，也称为混合积 。实际上它也是一个行列式 ------ 是边长为 u , v , w \boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w u,v,w 的盒子的体积： 三重积 ( u × v ) ⋅ w = ∣ w 1 w 2 w 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 ∣ = ∣ u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 ∣ ( 5.3.13 ) \pmb{三重积}\kern 15pt{\color{blue}(\boldsymbol u\times\boldsymbol v)\cdot\boldsymbol w}=\begin{vmatrix}w_1&w_2&w_3\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{vmatrix}\kern 18pt(5.3.13) 三重积(u×v)⋅w= w1u1v1w2u2v2w3u3v3 = u1v1w1u2v2w2u3v3w3 (5.3.13)我们可以将 w \boldsymbol w w 放在顶部或者底部，这两个行列式是相等的，因为从一个到另一个行列式需要进行两次行交换。注意当行列式为零时： ( u × v ) ⋅ w = 0 当且仅当向量 u , v , w 在同一平面上 (\boldsymbol u\times\boldsymbol v)\cdot\boldsymbol w=0\kern 10pt当且仅当向量\,\boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w\,在同一平面上 (u×v)⋅w=0当且仅当向量u,v,w在同一平面上原因一 ： u × v \boldsymbol u\times\boldsymbol v u×v 垂直于这个平面，所以它与 w \boldsymbol w w 的点积为零。
原因二： 一个平面内的三个向量是相关的，矩阵是奇异的（ det = 0 \det =0 det=0）。
原因三： 当 u , v , w \boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w u,v,w 的盒子展成一个平面，它的体积为零。
( u × v ) ⋅ w (\boldsymbol u\times\boldsymbol v)\cdot\boldsymbol w (u×v)⋅w 等于边是 u , v , w \boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w u,v,w 的盒子的体积这个性质非常重要，这个 3 × 3 3\times3 3×3 的行列式携带了大量的信息。像 a d − b c ad-bc ad−bc 对于 2 × 2 2\times2 2×2 的矩阵，它可以分成可逆和奇异。
六、主要内容总结
- 克拉默法则是用行列式的比值求解 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b，如 x 1 = ∣ B 1 ∣ ∣ A ∣ = ∣ b a 1 ⋯ a n ∣ ∣ A ∣ x_1=\displaystyle\frac{|B_1|}{|A|}=\frac{\begin{vmatrix}\boldsymbol b&\boldsymbol a_1&\cdots&\boldsymbol a_n\end{vmatrix}}{|A|} x1=∣A∣∣B1∣=∣A∣ ba1⋯an 。
- C C C 是 A A A 的代数余子式矩阵， C T C^T CT 是 A A A 的伴随矩阵，则逆矩阵 A − 1 = C T det A A^{-1}=\displaystyle\frac{C^T}{\det A} A−1=detACT。
- 当盒子的边是 A A A 的行时，盒子的体积是 ∣ det A ∣ |\det A| ∣detA∣。
- 在二重和三重积分中，面积和体积需要改变变量。
- 在 R 3 \textrm {\pmb R}^3 R3 中，叉积 u × v \boldsymbol u\times\boldsymbol v u×v 垂直于 u \boldsymbol u u 和 v \boldsymbol v v。注意 i × j = k \boldsymbol i\times\boldsymbol j=\boldsymbol k i×j=k。
七、例题
【例10 】如果 A A A 是奇异的，则方程 A C T = ( det A ) I AC^T=(\det A)I ACT=(detA)I 将变成 A C T = 零矩阵 \pmb{AC^T=零矩阵} ACT=零矩阵。 C T C^T CT 的每一列都在 A A A 的零空间中，这些列包含沿着 A A A 的行的代数余子式。所以代数余子式可以快速的找到秩 2 2 2 的 3 × 3 3\times3 3×3 的矩阵的零空间。
对于下面秩 2 2 2 的奇异矩阵，通过 x = 沿着一行的代数余子式 \boldsymbol x=沿着一行的代数余子式 x=沿着一行的代数余子式 来求解 A x = 0 A\boldsymbol x=\boldsymbol 0 Ax=0： 代数余子式得到零空间 A = [ 1 4 7 2 3 9 2 2 8 ] A = [ 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ] \pmb{代数余子式得到零空间}\kern 10ptA=\begin{bmatrix}1&4&7\\2&3&9\\2&2&8\end{bmatrix}\kern 10ptA=\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix} 代数余子式得到零空间A= 122432798 A= 111111211 解： 第一个矩阵沿着第一行的代数余子式如下（注意每个负号）： ∣ 3 9 2 8 ∣ = 6 − ∣ 2 9 2 8 ∣ = 2 ∣ 2 3 2 2 ∣ = − 2 \begin{vmatrix}3&9\\2&8\end{vmatrix}=6\kern 20pt-\begin{vmatrix}2&9\\2&8\end{vmatrix}=2\kern 20pt\begin{vmatrix}2&3\\2&2\end{vmatrix}=-2 3298 =6− 2298 =2 2232 =−2则 x = ( 6 , 2 , − 2 ) \boldsymbol x=(6,2,-2) x=(6,2,−2) 是 A x = 0 A\boldsymbol x=\boldsymbol 0 Ax=0 的解。沿着第二行的代数余子式是 ( − 18 , − 6 , 6 ) (-18,-6,6) (−18,−6,6)，这就是 − 3 x -3\boldsymbol x −3x，它也在 A A A 的一维零空间中。
第二个矩阵沿着第一行的代数余子式都是零，零向量 x = ( 0 , 0 , 0 ) \boldsymbol x=(0,0,0) x=(0,0,0) 没什么意义，沿着第二行的代数余子式得到 x = ( 1 , − 1 , 0 ) \boldsymbol x=(1,-1,0) x=(1,−1,0)，它是 A x = 0 A\boldsymbol x=\boldsymbol 0 Ax=0 的解。
每个秩为 n − 1 n-1 n−1 的 n × n n\times n n×n 矩阵至少有一个沿着某一行非零的代数余子式，但是对于秩 n − 2 n-2 n−2 的矩阵，所有的代数余子式都为零，我们就只能找到 x = 0 \boldsymbol x=\boldsymbol 0 x=0 这一个解。
【例9 】使用克拉默法则的比值 det B j det A \displaystyle\frac{\det B_j}{\det A} detAdetBj 来求解 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b，也求出逆矩阵 A − 1 = C T det A A^{-1}=\displaystyle\frac{C^T}{\det A} A−1=detACT。对于 b = ( 0 , 0 , 1 ) \boldsymbol b=(0,0,1) b=(0,0,1)，解 x \boldsymbol x x 是 A − 1 A^{-1} A−1 的第 3 3 3 列! 在计算列 x = ( x , y , z ) \boldsymbol x=(x,y,z) x=(x,y,z) 时，都和那些代数余子式相关？ A − 1 的第 3 列 [ 2 6 2 1 4 2 5 9 0 ] [ x y z ] = [ 0 0 1 ] \pmb{A^{-1}\,的第\,3\,列}\kern 15pt\begin{bmatrix}2&6&2\\1&4&2\\5&9&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} A−1的第3列 215649220 xyz = 001 求两个盒子的体积：边是 A A A 的列和边是 A − 1 A^{-1} A−1 的行。
解： B j B_j Bj 的行列式（右侧的 b \boldsymbol b b 代替第 j j j 列）是： ∣ B 1 ∣ = ∣ 0 6 2 0 4 2 1 9 0 ∣ = 4 ∣ B 2 ∣ = ∣ 2 0 2 1 0 2 5 1 0 ∣ = − 2 ∣ B 3 ∣ = ∣ 2 6 0 1 4 0 5 9 1 ∣ = 2 |B_1|=\begin{vmatrix}\pmb0&6&2\\\pmb0&4&2\\\pmb1&9&0\end{vmatrix}=4\kern 20pt|B_2|=\begin{vmatrix}2&\pmb0&2\\1&\pmb0&2\\5&\pmb1&0\end{vmatrix}=-2\kern 20pt|B_3|=\begin{vmatrix}2&6&\pmb0\\1&4&\pmb0\\5&9&\pmb1\end{vmatrix}=2 ∣B1∣= 001649220 =4∣B2∣= 215001220 =−2∣B3∣= 215649001 =2这些就是第 3 3 3 行的代数余子式 C 31 , C 32 , C 33 C_{31},C_{32},C_{33} C31,C32,C33，它们与第三行的点积是 det A = 2 \det A=2 detA=2： det A = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33 = ( 5 , 9 , 0 ) ⋅ ( 4 , − 2 , 2 ) = 2 \det A=a_{31}C_{31}+a_{32}C_{32}+a_{33}C_{33}=(5,9,0)\cdot(4,-2,2)=2 detA=a31C31+a32C32+a33C33=(5,9,0)⋅(4,−2,2)=2这三个比值 det B j det A \displaystyle\frac{\det B_j}{\det A} detAdetBj 得到解的三个分量 x = ( 2 , − 1 , 1 ) \boldsymbol x=(2,-1,1) x=(2,−1,1)，这个 x \boldsymbol x x 就是 A − 1 A^{-1} A−1 的第三列，因为 b = ( 0 , 0 , 1 ) \boldsymbol b=(0,0,1) b=(0,0,1) 是 I I I 的第三列。
沿着 A A A 其它行的代数余子式，除以 det A \det A detA，得到 A − 1 A^{-1} A−1 的其它列： A − 1 = C T det A = 1 2 [ − 18 18 4 10 − 10 − 2 − 11 12 2 ] . 验证 A A − 1 = I A^{-1}=\frac{C^T}{\det A}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-18&\kern 7pt18&\kern 7pt4\\\kern 7pt10&-10&-2\\-11&\kern 7pt12&\kern 7pt2\end{bmatrix}.\kern 15pt验证\kern 5ptAA^{-1}=I A−1=detACT=21 −1810−1118−10124−22 .验证AA−1=I边是 A A A 的列盒子的体积 = det A = 2 =\det A=2 =detA=2，边是 A A A 的行的盒子的体积也是 2 2 2，因为 ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^{T}|=|A| ∣AT∣=∣A∣。边是 A − 1 A^{-1} A−1 行的盒子体积是 1 ∣ A ∣ = 1 2 \displaystyle\frac{1}{|A|}=\frac{1}{2} ∣A∣1=21。