物理学基础精解【24】

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行列式
参考文献

行列式

行列式的主要性质

行列式与其转置行列式相等：
- 行列式与其转置行列式（即行列互换后的行列式）的值相等。这意味着行列式对行和列的操作具有对称性。
行列式两行（列）互换，值变号：
- 如果行列式中的两行（或两列）互换，那么行列式的值将改变符号。即，如果原行列式的值为D，互换两行后的行列式值为-D。
行列式某行（列）有公因子，可以提出：
- 如果行列式中的某一行（或某一列）的所有元素都有公因子k，那么可以将这个公因子k提到行列式记号的外面。即，行列式可以表示为k乘以去掉公因子后的行列式。
行列式某行（列）的元素都是两数之和，则行列式可拆：
- 如果行列式中的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，那么行列式可以拆分为两个行列式之和。这两个行列式在拆分的那一行（列）上分别取这两个数，而其他行（列）保持不变。
行列式某行（列）的k倍加另一行（列），值不变：
- 如果行列式中的某一行（或某一列）的每个元素都乘以一个数k，然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不会改变。这是行列式计算中的一个重要性质，常用于行列式的化简。
行列式中两行（列）成比例，值为零：
- 如果行列式中有两行（或两列）成比例，即它们对应位置的元素之间的比值相等，那么这个行列式的值为零。这是因为成比例的两行（列）可以通过线性组合相互表示，从而导致行列式为零。
行列式中某一行（列）全为零，则行列式为零：
- 如果行列式中的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么这个行列式的值显然为零。因为行列式的值是由其所有元素通过特定的运算得到的，而全为零的行（列）不会对结果产生任何贡献。

这些性质是行列式计算和应用中的基础，它们不仅有助于简化行列式的计算过程，还为我们提供了深入理解行列式本质的途径。在实际应用中，我们可以根据这些性质对行列式进行变换和化简，从而更容易地求出其值或判断其性质。

行列式按行展开

是线性代数中的一个重要技巧，它允许我们通过逐行（或逐列）计算来求出行列式的值。这里以三阶行列式为例来说明按行展开的方法。

设三阶行列式为：
∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33

按第一行展开，行列式的值可以表示为：
a 11 ⋅ ( − 1 ) 1 + 1 ⋅ ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} a11⋅(−1)1+1⋅ a22a32a23a33

a 12 ⋅ ( − 1 ) 1 + 2 ⋅ ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} +a12⋅(−1)1+2⋅ a21a31a23a33
a 13 ⋅ ( − 1 ) 1 + 3 ⋅ ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ + a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} +a13⋅(−1)1+3⋅ a21a31a22a32

其中， ( − 1 ) i + j (-1)^{i+j} (−1)i+j 是代数余子式的符号，它根据元素 a i j a_{ij} aij 在行列式中的位置（第i行第j列）来确定。对于第一行，i=1，所以符号分别为 ( − 1 ) 1 + 1 = 1 (-1)^{1+1} = 1 (−1)1+1=1， ( − 1 ) 1 + 2 = − 1 (-1)^{1+2} = -1 (−1)1+2=−1， ( − 1 ) 1 + 3 = 1 (-1)^{1+3} = 1 (−1)1+3=1。

接下来，需要计算二阶行列式的值。以第一个二阶行列式为例：
∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ = a 22 ⋅ a 33 − a 23 ⋅ a 32 \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{32} a22a32a23a33 =a22⋅a33−a23⋅a32

类似地，可以计算出其他两个二阶行列式的值，并将它们代入到按行展开的表达式中。最终，三阶行列式的值就是这三个项的和。

对于更高阶的行列式，按行展开的方法类似。首先，选择一行（或一列），然后对该行的每个元素，计算其代数余子式（即去掉该元素所在的行和列后得到的行列式），并将该元素与代数余子式的值相乘。最后，将所有这些乘积相加（或相减，取决于代数余子式的符号），就得到了行列式的值。

行列式的排行、逆序和对换是线性代数中涉及行列式计算和理解的重要概念。以下是对这些概念的详细解释：

逆序

逆序是线性代数中一个重要的概念，特别是在行列式的计算中。逆序的定义如下：

逆序的定义 ：在一个n级排列（即由连续自然数1, 2, ..., n组成的一个有序数组）中，若 i s > i t i_s > i_t is>it（ i s 和 i t i_s和i_t is和it是排列中的任意两个数，且 i s i_s is排在 i t i_t it前面），则称这两个数构成一个逆序。
逆序数 ：一个排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数，记作 τ ( i 1 i 2 . . . i n ) τ(i_1i_2...i_n) τ(i1i2...in)。逆序数用于确定行列式计算中每一项的符号。

例如，在排列312中，逆序有31和32，所以逆序数为2。在排列4231中，逆序有42、41、31和21，所以逆序数为4。

对换

对换是排列理论中的一个基本概念，也是行列式计算中常用的操作。

对换的定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种操作称为对换。如果对换的两个元素是相邻的，则称为相邻对换。
对换与排列奇偶性的关系：一个排列中的任意两个元素对换会改变排列的奇偶性。即，奇排列经过一次对换变成偶排列，偶排列经过一次对换变成奇排列。这一性质在行列式的计算中尤为重要，因为行列式的值与其行（列）排列的奇偶性密切相关。

行列式计算中的应用

在行列式的计算中，这些概念起着至关重要的作用。行列式的每一项都是由不同行不同列的元素相乘得到的，而该项的符号则由其行标和列标的逆序数决定。具体来说，行列式的值等于其某一行（列）的所有元素与其代数余子式（即去掉该元素所在行和列后得到的子行列式的值，并乘以(-1)的i+j次方，其中i和j分别是该元素的行标和列标）的乘积之和。在这个过程中，逆序数用于确定代数余子式的符号。

在行列式中，逆序是一个核心概念，它对于确定行列式每一项的符号至关重要。以下是对逆序及其在行列式中应用的详细解释和例子。

逆序的定义

逆序：在一个n级排列（即由1, 2, ..., n这n个自然数组成的排列）中，若某个数i_s排在另一个数i_t的前面，但i_s > i_t，则称这两个数构成一个逆序。例如，在排列321中，3与2、3与1、2与1都构成逆序。

逆序数：一个排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数，记作τ(i_1i_2...i_n)。逆序数是确定行列式每一项符号的关键因素。

逆序在行列式中的应用

确定行列式每一项的符号：
- 在行列式的计算中，每一项的符号由其对应排列的逆序数决定。具体来说，如果排列的逆序数为偶数，则对应的行列式项的符号为正；如果逆序数为奇数，则对应的行列式项的符号为负。这种通过逆序数来确定符号的方法，确保了行列式计算中的正负项平衡，从而保证了行列式的值是一个实数而不是复数。
行列式的展开定理：
- 在行列式的按行（列）展开定理中，每一项都是某一行（列）的元素与其代数余子式的乘积。而代数余子式的符号正是由去掉该元素所在行和列后剩下的元素组成的排列的逆序数决定的。

例子

考虑一个3x3的行列式：

∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33

在按第一行展开时，我们会遇到三个二阶行列式，它们分别对应着第一行的三个元素a_{11}、a_{12}和a_{13}。以a_{11}为例，它对应的二阶行列式是：

∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} a22a32a23a33

此时，我们需要考虑去掉a_{11}所在行和列后剩下的元素组成的排列（即2, 3）的逆序数。由于这个排列是自然顺序，逆序数为0（偶数），所以该项的符号为正。整个行列式按第一行展开后的表达式为：

a 11 ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} a11 a22a32a23a33
− a 12 ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} −a12 a21a31a23a33

a 13 ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} +a13 a21a31a22a32

注意，这里的"+"和"-"符号就是由逆序数决定的。对于a_{12}和a_{13}对应的项，同样需要考虑去掉它们所在行和列后剩下的元素组成的排列的逆序数来确定符号。

逆序在行列式计算中的作用

确定行列式每项符号：
- 逆序数，也称为逆序对的数量，是在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反（即前面的数大于后面的数），则它们构成一个逆序。一个排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数。
- 在行列式的计算中，每一项的符号由其对应排列的逆序数决定。如果逆序数为偶数，则该项为正；如果逆序数为奇数，则该项为负。这种通过逆序数来确定符号的方法，确保了行列式计算中的正负项平衡，从而保证了行列式的值是一个实数而不是复数。
保证行列式计算的正确性：
- 逆序数的应用使得行列式的计算过程更加严谨和准确。通过确定每一项的符号，逆序数帮助避免了因符号错误而导致的计算失误。

例子

以三元全排列"1,2,3"为例，其所有排列及对应的逆序数如下：

123：逆序数为0（没有逆序对），对应行列式项符号为正。
132：逆序数为1（逆序对为2和3），对应行列式项符号为负。
213：逆序数为1（逆序对为2和1），对应行列式项符号为负。
231：逆序数为1（逆序对为2和1），对应行列式项符号为负。
312：逆序数为2（逆序对为3和1，1和2），对应行列式项符号为正。
321：逆序数为3（逆序对为3和1、3和2、2和1），对应行列式项符号为正。

注意：在行列式的计算中，通常不会直接列出所有排列及逆序数，而是根据具体的行列式形式和计算规则来应用逆序数的概念。

例题

求排列32514的逆序数及在行列式计算中的应用：

求逆序数：
- 第一个数是3，后面比3小的数有2、1共两个，所以逆序数为2。
- 第二个数是2，后面比2小的数只有1，所以逆序数为1。
- 第三个数是5，后面比5小的数有1、4共两个，所以逆序数为2。
- 第四个数是1，后面没有比1小的数，所以逆序数为0。
- 最后一个数是4，后面没有数了，所以不需要计算最后一个数的逆序数。
- 因此，该排列的逆序数为2+1+2+0=5。
在行列式计算中的应用：
- 假设这是某个n阶行列式中的一个n元排列，且该排列对应的行列式项为a_32 * a_51 * a_14 * ...（其他元素省略）。
- 根据逆序数的结果，该排列的逆序数为奇数（5），所以该项的符号为负。
- 在行列式的计算中，会将该项与其他项（包括符号和元素值）一起进行加减运算，最终得到行列式的值。

综上所述，逆序在行列式计算中通过确定每一项的符号来保证计算的准确性和严谨性。在实际应用中，需要根据具体的行列式形式和计算规则来灵活应用逆序数的概念。

逆序在行列式计算中起着决定性作用

主要体现在确定行列式每项符号的正负上。以下通过具体例子来说明逆序在行列式计算中的作用：

例子说明

假设我们有一个3x3的行列式，其元素排列如下：

∣ a b c d e f g h i ∣ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} adgbehcfi

在行列式的计算中，我们通常会通过展开法来计算其值，而展开法涉及到对行列式的行或列进行展开，并计算相应的代数余子式。然而，在展开之前，我们需要确定每一项的符号。这时，逆序就发挥了关键作用。

以按第一行展开为例，行列式可以表示为以下三项之和（忽略元素值，仅考虑符号）：

a × ∣ e f h i ∣ +a \times \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} +a× ehfi
− b × ∣ d f g i ∣ - b \times \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} −b× dgfi
c × ∣ d e g h ∣ + c \times \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} +c× dgeh

注意这里的符号"+"、"-"，它们就是由逆序数决定的。具体来说：

对于第一项"+a"，它对应的是原行列式中的第一行第一列元素a，其后面的排列"e, f, h, i"相对于自然顺序"e, h, f, i"的逆序数为0（因为已经是自然顺序或经过重新排列后无逆序），逆序数为偶数，所以符号为正。
对于第二项"-b"，它对应的是原行列式中的第一行第二列元素b，如果我们考虑由"d, e, f, h, i"中去掉b所在列和a所在行后剩余的排列"d, f, h, i"，并假设b原本位于"d"的位置（即考虑"b, e, f, h, i"到"a, d, e, f, h, i"的变换），则b与后面的"d, f, h"构成逆序（因为b原本在d之前，但现在d在b的"前面"位置），逆序数为奇数（至少为1，实际计算中可能更多，但这里只关注奇偶性），所以符号为负。注意这里的解释是为了说明逆序数的概念，实际计算中我们不需要真的这样去考虑整个排列，而是直接根据行列式的定义和规则来确定符号。
对于第三项"+c"，其符号的判断逻辑与第二项类似，但结果为正，因为对应的逆序数为偶数（具体计算取决于c在原排列中的位置和后续元素的排列情况，但这里只关注结果）。

然而，上面的逆序数解释是为了直观理解而简化的。在行列式计算中，我们实际上并不需要显式地计算每一项的逆序数。行列式的定义和展开规则已经内置了对逆序数的考虑。具体来说，行列式的每一项都对应着一个排列，这个排列的逆序数决定了该项的符号。在行列式展开的过程中，我们直接根据行列式的定义和规则来确定每一项的符号和值，而无需单独计算逆序数。

但无论如何，逆序数在行列式计算中的核心作用是不可否认的：它决定了行列式每一项的符号，从而影响了行列式的最终计算结果。

逆序在行列式计算中起着至关重要的作用

主要体现在确定行列式每项符号的准则上，是计算行列式的基本方法。具体来说，逆序在行列式计算中的作用包括以下几个方面：

确定行列式每项符号

逆序数的定义：逆序数，也称为逆序对的数量，是在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反（即前面的数大于后面的数），则它们构成一个逆序。一个排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数。
符号的确定：在行列式的计算中，每一项的符号由其对应排列的逆序数决定。如果逆序数为偶数，则该项为正；如果逆序数为奇数，则该项为负。这种通过逆序数来确定符号的方法，确保了行列式计算中的正负项平衡，从而保证了行列式的值是一个实数而不是复数。

计算行列式值的基础

行列式展开式：行列式的展开式可以写成对所有排列进行求和的形式，其中每个排列对应的项都包含了一个逆序数因子，用于确定该项的符号。
逆序数与排列奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。在行列式的计算中，奇排列对应的项符号为负，偶排列对应的项符号为正。

应用实例

具体计算：在行列式的具体计算过程中，首先需要确定每一个元素的位置和符号，这通常通过逆序数来实现。例如，在三元全排列"1,2,3"中，可以计算出所有排列的逆序数，从而确定行列式中每项的正负号。
算法性能评估：在计算机科学中，逆序数也被用来评估排序算法的性能。例如，在冒泡排序中，排序操作的次数正比于逆序数，这可以作为评估排序算法效率的一个重要指标。

直接计算高阶行列式（比如4阶、5阶或更高阶）

通常比较复杂，需要按照行列式的定义和性质进行展开。但在这里，我可以展示一个4阶行列式的计算过程作为示例，让你了解基本的计算方法。

设4阶行列式为：

∣ a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44

按照行列式的定义，我们需要对每一行（或列）进行展开，并考虑所有可能的排列方式及其符号。为了简化计算，通常使用递归的方法，即将其降阶为较小的行列式进行计算。

一种常见的方法是按第一行展开（拉普拉斯展开）：

∣ A ∣ = a 11 ⋅ ∣ a 22 a 23 a 24 a 32 a 33 a 34 a 42 a 43 a 44 ∣ − a 12 ⋅ ∣ a 21 a 23 a 24 a 31 a 33 a 34 a 41 a 43 a 44 ∣ + a 13 ⋅ ∣ a 21 a 22 a 24 a 31 a 32 a 34 a 41 a 42 a 44 ∣ − a 14 ⋅ ∣ a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 ∣ \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = a_{11} \cdot \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} - a_{12} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} + a_{13} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} - a_{14} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{vmatrix} A =a11⋅ a22a32a42a23a33a43a24a34a44 −a12⋅ a21a31a41a23a33a43a24a34a44 +a13⋅ a21a31a41a22a32a42a24a34a44 −a14⋅ a21a31a41a22a32a42a23a33a43

这样，我们就将4阶行列式降为了3阶行列式的计算。接下来，对3阶行列式可以继续使用相同的方法降为2阶，直到计算出结果。

然而，对于更高阶的行列式，手动计算变得非常繁琐，通常使用计算机程序或数学软件（如Mathematica, MATLAB, Python的NumPy库等）来进行计算。

如果你需要计算一个具体的行列式，建议使用这些工具来简化计算过程。如果你只是想了解行列式的概念和性质，那么掌握基本的定义和计算方法就足够了。

四、总结

综上所述，逆序在行列式计算中扮演着关键角色，它不仅决定了行列式每项符号的正负，还是计算行列式值的基础。通过逆序数的应用，可以确保行列式展开后的每一项都有相应的正负项，从而保证了行列式的值是一个实数而不是复数。此外，逆序数在组合数学、计算机科学等多个领域也有着广泛的应用。

代数余子式

是线性代数中的一个重要概念，它与行列式的计算密切相关。具体来说，代数余子式定义如下：

在n阶行列式中，把元素a_ij（即位于第i行第j列的元素）所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a_ij的余子式，记作M_ij。然后，将余子式M_ij再乘以-1的i+j次幂记为A_ij，A_ij就叫做元素a_ij的代数余子式。

代数余子式有以下几个关键点需要注意：

与元素本身的关系：一个元素的代数余子式与该元素本身的值无关，只与该元素在行列式中的位置有关。
符号的确定：代数余子式带有一个由位置决定的符号，即-1的i+j次幂。这一点在计算时尤为重要，因为它决定了代数余子式是正是负。
行列式的计算：代数余子式在行列式的计算中起着关键作用。根据行列式的按行（列）展开定理，n阶行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。这一性质大大简化了高阶行列式的计算过程。
应用场合：代数余子式不仅用于行列式的计算，还在线性代数的其他领域如矩阵的逆、克拉默法则等中有重要应用。

综上所述，代数余子式是线性代数中的一个基础而重要的概念，它对于理解行列式的性质、计算行列式的值以及解决线性代数中的其他问题都具有重要意义。

行列式计算的例题

例题1：三阶行列式计算

题目：计算行列式

∣ a b c d e f g h i ∣ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} adgbehcfi

解法：三阶行列式可以直接使用对角线法则计算，也可以通过化上（下）三角形法或降阶法求解。以下展示化上三角形法：

将第一行的-d倍加到第二行，将第一行的-g倍加到第三行，得到新的行列式。
将新的第二行的适当倍数加到第三行，使得第三行除了最后一个元素外，其余元素均为0。
使用对角线法则计算上三角行列式的值，即主对角线元素之积减去副对角线元素之积。

例题2：范德蒙行列式计算

题目：计算范德蒙行列式

∣ 1 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 x 3 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 x 3 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 x 3 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} 1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−11x3x32⋮x3n−1⋯⋯⋯⋱⋯1xnxn2⋮xnn−1

解法：范德蒙行列式是一种特殊的行列式，其计算公式为

∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i ) \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) 1≤i<j≤n∏(xj−xi)

即所有 x j − x i x_j - x_i xj−xi（其中 i < j i < j i<j）的乘积。这个公式可以直接使用，也可以通过数学归纳法证明。

例题3：递推法计算行列式

题目：设 n n n阶行列式 ∣ A ∣ |A| ∣A∣的第 ( i , j ) (i,j) (i,j)元素 a i j = max ⁡ i , j a_{ij} = \max{i,j} aij=maxi,j，试求 ∣ A ∣ |A| ∣A∣的值。

解法：

将第一行的-1倍分别加到第 i i i行上（ i = 2 , 3 , ⋯ , n i=2,3,\cdots,n i=2,3,⋯,n），使得第一列除了第一个元素外，其余元素均为0。
此时，行列式可以按第一列展开，得到一个 ( n − 1 ) (n-1) (n−1)阶行列式，其形式与原行列式类似，但阶数降低。
重复上述步骤，直到得到一个二阶或三阶行列式，然后直接计算。
通过递推关系，可以得到 ∣ A ∣ |A| ∣A∣的通项公式。

例题4：按行（列）展开法计算行列式

题目：计算行列式

∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 0 ∣ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{vmatrix} 147258360

解法：

选择一个较为简单的行或列进行展开，例如选择第三行展开。
根据行列式按行（列）展开定理，行列式的值等于其任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。
分别计算第三行每个元素与其对应代数余子式的乘积，然后求和得到行列式的值。

例题5：利用性质化简行列式

题目：计算行列式

∣ a b c a b + d c a b c + e ∣ \begin{vmatrix} a & b & c \\ a & b+d & c \\ a & b & c+e \end{vmatrix} aaabb+dbccc+e
解法：

观察行列式，发现第二行和第一行有两个元素相同，第三行和第一行也有一个元素相同。
利用行列式的性质，将第二行减去第一行，第三行减去第一行，得到一个新的行列式。
新行列式中有两行元素完全相同（除了一个元素外），根据行列式的性质，这样的行列式值为0。

以上例题展示了行列式计算的不同方法和技巧，包括直接计算、范德蒙行列式、递推法、按行（列）展开法以及利用性质化简行列式等。在实际应用中，可以根据行列式的具体形式和特点选择合适的计算方法。

逆序在行列式计算中起着决定性作用，主要体现在确定行列式每项符号的正负上。以下通过具体例子来说明逆序在行列式计算中的作用：

例子说明

假设我们有一个3x3的行列式，其元素排列如下：

∣ a b c d e f g h i ∣ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} adgbehcfi

以按第一行展开为例，行列式可以表示为以下三项之和（忽略元素值，仅考虑符号）：

a × ∣ e f h i ∣ +a \times \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} +a× ehfi
− b × ∣ d f g i ∣ - b \times \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} −b× dgfi
c × ∣ d e g h ∣ + c \times \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} +c× dgeh

注意这里的符号"+"、"-"，它们就是由逆序数决定的。具体来说：

对于第一项"+a"，它对应的是原行列式中的第一行第一列元素a，其后面的排列"e, f, h, i"相对于自然顺序"e, h, f, i"的逆序数为0（因为已经是自然顺序或经过重新排列后无逆序），逆序数为偶数，所以符号为正。
对于第二项"-b"，它对应的是原行列式中的第一行第二列元素b，如果我们考虑由"d, e, f, h, i"中去掉b所在列和a所在行后剩余的排列"d, f, h, i"，并假设b原本位于"d"的位置（即考虑"b, e, f, h, i"到"a, d, e, f, h, i"的变换），则b与后面的"d, f, h"构成逆序（因为b原本在d之前，但现在d在b的"前面"位置），逆序数为奇数（至少为1，实际计算中可能更多，但这里只关注奇偶性），所以符号为负。注意这里的解释是为了说明逆序数的概念，实际计算中我们不需要真的这样去考虑整个排列，而是直接根据行列式的定义和规则来确定符号。
对于第三项"+c"，其符号的判断逻辑与第二项类似，但结果为正，因为对应的逆序数为偶数（具体计算取决于c在原排列中的位置和后续元素的排列情况，但这里只关注结果）。

但无论如何，逆序数在行列式计算中的核心作用是不可否认的：它决定了行列式每一项的符号，从而影响了行列式的最终计算结果。

参考文献

文心一言