4.3 AVL树
AVL 树 是 二叉搜索树 的一个自平衡扩展,它通过旋转操作来保持树的平衡。
与普通的二叉搜索树不同,AVL 树
在每次插入或删除节点时,都会检查树的平衡因子,并进行必要的调整以确保树的高度尽可能保持平衡。
本节我们将介绍AVL 树
的基本概念、平衡因子、旋转操作,以及AVL 树
的Go
语言实现。
本节代码存放目录为 lesson8
概念及原理
AVL 树 是第一种被发明的自平衡二叉搜索树 ,由两位苏联科学家Adelson-Velsky 和Landis 在1962
年提出,因此得名AVL 树。
AVL 树
的特点如下:
-
AVL 树
是二叉搜索树,所以它具有二叉搜索树的所有基本特性(左子小于父,右子大于父)。 -
它保持了自平衡 ,即对于每个节点,左子树和右子树的高度差不能超过
1
,这个高度差被称为平衡因子。 -
通过旋转操作来保持树的平衡,当插入或删除节点时,如果发现树失衡,就通过左旋或右旋来恢复平衡。
平衡因子: 节点左子树的高度减去右子树的高度。
根据平衡因子的不同,可以判断节点是否失衡。
-
平衡因子 = -1, 0, 1
,表示节点是平衡的。 -
平衡因子 > 1 或 < -1
,表示节点失衡,需要进行旋转操作来恢复平衡。
markdown
平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
总的来说就是:当左右子树的高度差异超过1
时,那么树就不平衡,就需要进行旋转操作来让树保持平衡。
如下图所示为平衡的二叉树:
markdown
8
/ \
4 10
/ \ \
2 6 12
在上面的示意中:
-
节点 8 的平衡因子
=左子树高度(2)
-右子树高度(2)
=0
,是平衡的。 -
节点 4 的平衡因子
=左子树高度(1)
-右子树高度(1)
=0
,是平衡的。 -
节点 10 的平衡因子
=左子树高度(0)
-右子树高度(1)
=-1
,是平衡的。
上面的每一个父节点平衡左右子树的高度差都没有超过1
,所以整个二叉树都是平衡的。
如下图所示为失衡的二叉树:
markdown
8
/ \
4 10
/ \ \
2 6 12
\
14
在上面的示意中,节点 10 的平衡因子
= 左子树高度(0)
- 右子树高度(2)
= -2
。
最终平衡因子超过了规则设定的1
,所以这个二叉树是不平衡的,需要进行旋转操作。
旋转后结果如下:
markdown
8
/ \
4 12
/ \ / \
2 6 10 14
总的来说,其实旋转操作就是将原本不平衡的二叉树进行一个重新排列,最终形成平衡的二叉树。
旋转操作
在AVL 树
中,当节点失衡时,通过旋转来恢复树的平衡。常见的旋转有四种:
-
左旋: 当右子比左子高,进行左旋。
-
右旋: 当左子比右子高,进行右旋。
-
左右旋: 当左子的右子导致失衡时,先对左子进行左旋,然后对当前节点进行右旋。
-
右左旋: 当右子树的左子树导致失衡时,先对右子树进行右旋,然后对当前节点进行左旋。
左旋示意图
markdown
1. 初始状态:
10
\
20
\
30
2. 左旋过程:
20
/ \
10 30
-
初始状态 :
10
的右子树高度过高,平衡因子为-2
。 -
左旋步骤 :右子比左子高,需要左旋。我们围绕
10
节点左旋,使20
成为新的根节点,10
变成20
的左子节点,30
保持为20
的右子节点。
右旋示意图
markdown
1. 初始状态:
30
/
20
/
10
2. 右旋过程:
20
/ \
10 30
-
初始状态 :
30
的左子树高度过高,平衡因子为2
。 -
右旋步骤 :左子比右子高,需要右旋。我们围绕
30
节点右旋,使20
成为新的根节点,30
变成20
的右子节点,10
保持为20
的左子节点。
左右旋
markdown
1. 初始状态:
30
/
10
\
20
2. 第一步左旋(围绕 10):
30
/
20
/
10
3. 第二步右旋(围绕 30):
20
/ \
10 30
-
初始状态 :
30
的左子树失衡,由于10
还有右子树,所以需要经过两步操作。 -
左右旋步骤 :左子
10
的右子20
导致失衡,进行左右旋。-
第一步左旋 :围绕
10
进行左旋,使20
成为10
的父节点。 -
第二步右旋 :围绕
30
进行右旋,使20
成为新的根节点。
-
右左旋
markdown
1. 初始状态:
10
\
30
/
20
2. 第一步右旋(围绕 30):
10
\
20
\
30
3. 第二步左旋(围绕 10):
20
/ \
10 30
-
初始状态 :
10
的右子树失衡,由于30
还有左子树,所以需要经过两步操作。 -
右左旋步骤:右子的左子导致失衡,进行右左旋。
-
第一步右旋 :围绕
30
进行右旋,使20
成为30
的父节点。 -
第二步左旋 :围绕
10
进行左旋,使20
成为新的根节点。
-
AVL 树的插入操作
在AVL 树
中,插入节点的步骤如下:
-
首先,按照二叉搜索树的规则插入新节点。
-
然后,从插入点向上回溯,检查每个祖先节点的平衡因子。
-
如果某个节点的平衡因子超过了范围
(-1, 0, 1)
,则需要通过旋转操作来恢复平衡。
AVL 树
的删除操作与二叉搜索树类似,但需要在删除后检查是否打破了树的平衡,并通过旋转操作来恢复平衡。
Go语言的实现
实现代码如下所示:
go
// Tree 定义树结构
type Tree struct {
data int
left *Tree
right *Tree
height int
}
// 获取节点的高度
func (t *Tree) getHeight() int {
if t == nil {
return 0
}
return t.height
}
// 计算平衡因子
func (t *Tree) getBalanceFactor() int {
if t == nil {
return 0
}
return t.left.getHeight() - t.right.getHeight()
}
// 更新节点的高度
func (t *Tree) updateHeight() {
leftHeight := t.left.getHeight()
rightHeight := t.right.getHeight()
if leftHeight > rightHeight {
t.height = leftHeight + 1
} else {
t.height = rightHeight + 1
}
}
// 左旋操作
func (t *Tree) leftRotate() *Tree {
newRoot := t.right
t.right = newRoot.left
newRoot.left = t
// 更新高度
t.updateHeight()
newRoot.updateHeight()
return newRoot
}
// 右旋操作
func (t *Tree) rightRotate() *Tree {
newRoot := t.left
t.left = newRoot.right
newRoot.right = t
// 更新高度
t.updateHeight()
newRoot.updateHeight()
return newRoot
}
// 插入节点
func (t *Tree) insert(data int) *Tree {
if t == nil {
return &Tree{data: data, height: 1}
}
if data < t.data {
t.left = t.left.insert(data)
} else if data > t.data {
t.right = t.right.insert(data)
} else {
// 不允许重复节点
return t
}
// 更新当前节点的高度
t.updateHeight()
// 检查是否需要旋转
balance := t.getBalanceFactor()
// 左子树过高,进行右旋
if balance > 1 {
if data < t.left.data {
return t.rightRotate()
}
// 左右情况,先左旋后右旋
if data > t.left.data {
t.left = t.left.leftRotate()
return t.rightRotate()
}
}
// 右子树过高,进行左旋
if balance < -1 {
if data > t.right.data {
return t.leftRotate()
}
// 右左情况,先右旋后左旋
if data < t.right.data {
t.right = t.right.rightRotate()
return t.leftRotate()
}
}
return t
}
// 中序遍历
func (t *Tree) inOrder() {
if t == nil {
return
}
t.left.inOrder()
fmt.Printf("%d ", t.data)
t.right.inOrder()
}
func main() {
root := &Tree{data: 10}
root = root.insert(20)
root = root.insert(30)
root = root.insert(40)
root = root.insert(50)
root = root.insert(25)
fmt.Println("中序遍历结果:")
root.inOrder() // 输出:10 20 25 30 40 50
}
执行结果输出如下所示:
中序遍历结果:
10 20 25 30 40 50
小结
AVL 树是一种自平衡的二叉搜索树,通过旋转操作来保持树的平衡,从而提高查找、插入和删除操作的效率。
通过本节的学习,我们了解了AVL树的特性、旋转操作以及如何使用Go
语言实现AVL 树
。
下一节我们将继续学习红黑树,它也是一种自平衡二叉搜索树,并且广泛应用于各种编程语言的标准库中。
我的GitHub:https://github.com/swxctx