灵感来自：bilibili，巨佬！
我们有 14 14 14 个头， 32 32 32 只脚，所有鸡和兔都没有变异，头和脚都完整，没有数错。还有什么 Bug 吗
小学奥数
假设全是鸡，则有 14 × 2 = 28 14 \times 2 = 28 14×2=28 只脚。
但是少了 4 4 4 只脚，因为我们看到一只兔子就施展膜法将其变成了鸡，导致所有兔子都变成了鸡。
每只兔子变成鸡，头数不变，少了两只脚，所以有 4 ÷ 2 = 2 4 \div 2 = 2 4÷2=2 只兔子，有 14 − 2 = 12 14 - 2 = 12 14−2=12 只鸡。
初中
鸡爷解：设有 x x x 只鸡， y y y 只兔。
则有：
{ x + y = 14 2 x + 4 y = 32 \begin{cases} x+y=14 \\ 2x+4y=32 \end{cases} {x+y=142x+4y=32
解得（过程太简单不写了 ，自行高斯消元）：
{ x = 12 y = 2 \begin{cases} x=12 \\ y=2 \end{cases} {x=12y=2
进入正题！（已经完全了解矩阵的神犇跳到最后）
线性变换（线性映射）是什么：一个函数，输入输出都是向量，满足如下性质：
f ( k x ⃗ ) = k f ( x ⃗ ) f ( x ⃗ + y ⃗ ) = f ( x ⃗ ) + f ( y ⃗ ) \begin{aligned} f(k\vec x)&=kf(\vec x) \\ f(\vec x + \vec y) &= f(\vec x) + f(\vec y) \end{aligned} f(kx )f(x +y )=kf(x )=f(x )+f(y )
这个 f f f 就是一个线性映射，通常记为 A A A。
向量是什么：一个 vector，还不懂吗。哦读者可能不是 C艹 党，所以说一下：向量就是一系列数，类似我们幼儿园就学过的数对。
向量也可以用来表示一个点，学习时通常是 2 2 2 维或 3 3 3 维的：
plain
+--+--+--+--+--+--+--+--+
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--O--+
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
| | | | H | | | |
+==+==+==+==+==+==+==+==+
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+（- 和 | 是坐标轴，= 是 x x x 轴，H 是 y y y 轴，每条小线段长度为 1 1 1）
我们要表示图中的 O 点，就可以用数对，注意到 O 点在第 3 3 3 列，第 2 2 2 行，所以可以表示为 ( 3 , 2 ) (3, 2) (3,2)。
如果我们想换种方法呢？
[ 3 2 ] \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} [32]
记为 O ⃗ \vec{O} O 怎么样？ O O O 是名字，上面的箭头 ⃗ \vec{} 表示它是一个向量。
实际上，向量可以理解为一个点，也可以理解为一条从原点指向某个点的箭头。
向量的数乘（就是一个数字乘上一个向量）就是把这个向量的长度乘上这个数，也就是把 x x x 和 y y y 坐标分别乘上这个数。
向量的加法（两个向量之和）就是把两个向量头尾拼起来，然后记录它们最终指向的点，它们的和就是这个点。
是不是感觉和复数有点像？没错，复数可以表示向量，但是仅限二维，然而向量可以是三维，四维，一维，零维，甚至 114514 114514 114514 维（我乱说的）和 12288 12288 12288 维（据说 GPT 内部的向量就是这个）。
现在我们有一个神奇的线性映射 A A A，作用是把向量的长度乘 2 2 2。容易验证它满足线性映射的条件。
则对 O ⃗ \vec{O} O 进行 A A A 映射会怎么样？原本要记作 A ( O ⃗ ) A(\vec{O}) A(O ) 的，但是我们可以省略括号（真的吗，函数也可以吗），记作 A O ⃗ A\vec{O} AO （不管你是怎么想的，反正目前数学界就是这么写的），也可以记作 A A A 和 O ⃗ \vec{O} O 的积，也就是它们相乘的结果。
其实，一个线性映射就是一个矩阵，它的具体含义暂且不谈，这里只需要知道两个矩阵相乘就是两个矩阵相继作用的结果，比如 A A A 和 B B B 相乘，就是 A B AB AB，表示先进行 B B B 变换再进行 A A A 变换，很奇怪，但是函数不就是这样的吗？ A ( B ( u ⃗ ) ) A(B(\vec{u})) A(B(u )) 嘛，省略掉括号。
我们来看看这种运算是否满足交换律，结合律（显然满足分配律，因为就是定义）：
f ( g ( x ) ) ≠ g ( f ( x ) ) f(g(x)) \not = g(f(x)) f(g(x))=g(f(x))，不满足交换律 😦
f ( g ( h ( x ) ) ) = f ( g ( h ( x ) ) ) f(g(h(x))) = f(g(h(x))) f(g(h(x)))=f(g(h(x)))，满足结合律 😃
不过好像有点不太好？我们来详细地说一下。
( A B ) C = A ( B C ) (AB)C = A(BC) (AB)C=A(BC)
对于前者：依次进行 C C C， B B B， A A A 变换。
对于后者：依次进行 C C C， B B B， A A A 变换。
有什么可以证明的？
接下来讲讲矩阵里面具体是什么。
对于一个二维空间，所有点都可以由两个向量 u ⃗ \vec{u} u 和 v ⃗ \vec{v} v 分别乘上两个数 a a a 和 b b b 的和得到，具体来讲是 x ⃗ = a u ⃗ + b v ⃗ \vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v} x =au +bv 。
通常，这个 u ⃗ \vec{u} u 就是 [ 1 0 ] \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix} [10]，一条指向正右方的长度为 1 1 1 的向量， v ⃗ \vec{v} v 就是 [ 0 1 ] \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} [01]，而你会惊喜地发现 a a a 和 b b b 就分别是 x x x 坐标和 y y y 坐标，而这个向量就记作 [ a b ] \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} [ab]。
而这里的 u ⃗ \vec{u} u 和 v ⃗ \vec{v} v 就称作二维空间中的两个基向量，两个二维的基向量可以张成一个二维空间（就是可以控制 a a a 和 b b b 到达二维空间上的每一个点），这个二维空间记作 s p a n ( u ⃗ , v ⃗ ) \mathrm{span}(\vec{u},\vec{v}) span(u ,v )，不过超纲了（大小写我也不大记得了）。
但如果 u ⃗ \vec{u} u 或者 v ⃗ \vec{v} v 不是这两个向量，那么还可不可以这样呢？绝大多数（无法这样的情况存在，但是是一个零测集）情况下，可以。但是就不会是 x x x 坐标和 y y y 坐标了。
比如加入 u ⃗ = [ 3 0 ] \vec{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} u =[30]， v ⃗ = [ 0 2 ] \vec{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} v =[02]，那么这里 a a a 和 b b b 就都是 1 1 1，可以记作由我们的新的基向量张成的空间上的点 [ 1 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} [11]，此时 a = b = 1 a=b=1 a=b=1。
而一个矩阵就是两个基向量拼起来，输入的向量在表达上不变。
具体来讲，设原来的（通常是由上面提到的最经典的使得 a = x , b = y a=x,b=y a=x,b=y 的两个基向量）空间上有一个向量 u ⃗ \vec{u} u ，然后这个矩阵所含有的两个向量张成的空间上找到一个向量 v ⃗ \vec{v} v ，使得两个向量字面上一样。
比如原本的空间是这样的，两个基向量分别是 [ 1 0 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} [10] 和 [ 0 1 ] \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} [01]：
plain
+--+--+--+--+--+--+--A--+
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--O--+
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
| | | | H | | | |
+==+==+==+==+==+==+==+==+
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+矩阵的两个向量张成的空间是这样的，两个基向量分别是 [ 1 0 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} [10] 和 [ 0 2 ] \begin{bmatrix} 0 \\ \color{red}2 \end{bmatrix} [02]：
plain
+--+--+--+--+--+--+--+--+
| | | | H | | | |
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--P--+
| | | | H | | | |
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
| | | | H | | | |
| | | | H | | | |
+==+==+==+==+==+==+==+==+
| | | | H | | | |
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
| | | | H | | | |
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
| | | | H | | | |
| | | | H | | | |
+--+--+--+--+--+--+--+--+其中 O 点和 P 点在字面上都是 [ 3 2 ] \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} [32]，但是它们的位置却完全不一样。
而实际上，如果把第二个空间直接平移到第一个空间上面，使得原点重合（线性映射的性质保证了原点必然不变），那么 P P P 点会移动到 A A A 点的位置（实际上不会，因为我画的坐标轴的线是有宽度的，实际上不应该有宽度），而这个 A A A 点就是这个结果，也就是 [ 3 4 ] \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} [34]。
那么，如何计算呢？每算一个都画两个网格完全没必要吧？没事，我们来跟踪一下 x x x 和 y y y，设两个基向量为 [ a b ] \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} [ab] 和 [ c d ] \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} [cd]。
那么先看 x x x 坐标，原本的基向量的 x x x 分别是 1 1 1 和 0 0 0，显然因为右边是 0 0 0，所以第一个基向量的系数（如果你记忆力还不错的话， a a a）就是原本的 x x x，而现在变成了 a x ax ax。而第二个基向量的系数为 y y y，所以 x x x 又增加了 c y cy cy，最终的 x x x 坐标为 a x + c y ax+cy ax+cy。
再看 y y y 坐标，同理，是 b x + d y bx+dy bx+dy。
而一个矩阵到底如何表示呢？很简单，把两个基向量拼到一起即可。
所以我们就得到了公式（注意，我把各个数的位置调换了一下，原本是 [ a c b d ] \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} [abcd]）：
[ a b c d ] [ e f ] = [ a e + b f c e + d f ] \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e \\ f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+bf \\ ce+df \end{bmatrix} [acbd][ef]=[ae+bfce+df]
鼓掌！
那么我们如何计算两个矩阵相继作用的结果，也就是它们的积呢？
[ a b c d ] [ e f g h ] = what? \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \text{what?} [acbd][egfh]=what?
我们可以看看两个基向量的去向。
首先，原本的基向量为 [ e g ] \begin{bmatrix} e \\ g \end{bmatrix} [eg] 和 [ f g ] \begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix} [fg]。
第一个基向量变换后为 [ a e + b g c e + d g ] \begin{bmatrix} ae+bg \\ ce + dg\end{bmatrix} [ae+bgce+dg]。
第二个基向量变换后为 $\begin{bmatrix} af+bh \ cf+dh \end{bmatrix} $。
所以最终的矩阵为 [ a e + b g a f + b h c e + d g c f + d h ] \begin{bmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh\end{bmatrix} [ae+bgce+dgaf+bhcf+dh]。
当然，多次用矩阵乘法也可以证明结合律，试试看！（会逝世的，最好别试）
矩阵除法咋办？ A B = A ⋅ 1 B = A B − 1 \dfrac{A}{B}=A \cdot \dfrac{1}{B} = AB^{-1} BA=A⋅B1=AB−1
矩阵求逆如何求？ A − 1 = ? A^{-1}=? A−1=?。
先介绍一个单位矩阵的概念，其实就是多个最纯粹的基向量拼起来。比如二阶单位矩阵为 [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [1001]，三阶单位矩阵为 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 100010001 。
介绍一种方法：先把这个矩阵和单位矩阵拼起来，类似这样：$ \left[\begin{array}{c c|c c} a&b&1&0 \ c&d&0&1 \end{array}\right] （我擦这 KaTeX \\KaTeX KATEX 好难打），然后进行初等行变换直到左边为单位矩阵，类似这样： \left[\begin{array}{c c|c c} 1&0&e&f \ 0&1&g&h \end{array}\right] $，右边的就是 A A A 的逆。
初等行变换是什么？
- 交换两行，记作 r a ↔ r b r_a \leftrightarrow r_b ra↔rb。
- 把一行所有元素同时变成原来的某一倍，记作 k r a kr_a kra。
- 把两行元素相加，存到这两行中的某一行中，记作 r a + r b r_a+r_b ra+rb。
其实第三种和第二种结合可以变成一种更厉害的，一般用这种：
- 把两行元素同时扩倍不同的（相同也可以）倍数后相加，结果存到这两行中的某一行中，记作 k 1 r a + k 2 r b k_1r_a+k_2r_b k1ra+k2rb。
于是我们就可以这样干：
将鸡兔同笼的矩阵记为 [ 1 1 2 4 ] \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} [1214]。
将题目记为 [ 14 32 ] \begin{bmatrix}14 \\ 32 \end{bmatrix} [1432]。
我们对矩阵求个逆：
[ 1 1 1 0 2 4 0 1 ] → r 2 − 2 r 1 [ 1 1 1 0 0 2 − 2 1 ] → r 1 − 1 2 r 2 [ 1 0 2 − 1 2 0 2 − 2 1 ] → 1 2 r 2 [ 1 0 2 − 1 2 0 1 − 1 1 2 ] \begin{aligned} & \left[\begin{array}{c c|c c} 1&1&1&0 \\ 2&4&0&1 \end{array}\right] \\ \xrightarrow{r_2-2r_1} & \left[\begin{array}{c c|c c} 1&1&1&0 \\ 0&2&-2&1 \end{array}\right] \\ \xrightarrow{r_1-{1 \over 2} r_2} & \left[\begin{array}{c c|c c} 1&0&2&-{1\over 2} \\ 0&2&-2&1 \end{array}\right] \\ \xrightarrow{{1 \over 2}r_2} & \left[\begin{array}{c c|c c} 1&0&2&-{1\over 2} \\ 0&1&-1&1 \over 2 \end{array}\right] \end{aligned} r2−2r1 r1−21r2 21r2 [12141001][10121−201][10022−2−211][10012−1−2121]
故逆矩阵为 [ 2 − 1 2 − 1 1 2 ] \begin{bmatrix} 2 & -{1 \over 2} \\ -1 & 1 \over 2 \end{bmatrix} [2−1−2121]。
将逆矩阵乘上 [ 14 32 ] \begin{bmatrix}14 \\ 32 \end{bmatrix} [1432]：
[ 2 − 1 2 − 1 1 2 ] [ 14 32 ] = [ 28 − 16 16 − 14 ] = [ 12 2 ] \begin{bmatrix} 2 & -{1 \over 2} \\ -1 & 1 \over 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}14 \\ 32 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}28-16 \\ 16-14 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12 \\ 2 \end{bmatrix} [2−1−2121][1432]=[28−1616−14]=[122]
我们成功地用 229 229 229 行 Markdown 代码解出了超级难的鸡兔同笼问题！鼓掌！