【杂谈一之概率论】CDF、PDF、PMF和PPF概念解释与分析

一、概念解释

1、CDF：累积分布函数（cumulative distribution function），又叫做分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布

2、PDF：连续型概率密度函数（probability density function），连续型随机变量的概率密度函数是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数

3、PMF：离散型概率密度函数（probability mass function）

4、PPF：概率点函数（probability point function），就是把概率密度函数的xy轴进行翻转

二、图像展示

cs 复制代码

% MATLAB代码：绘制正态分布的CDF、PDF和PPF

% 清空工作区，关闭所有图窗
clear;
clc;
close all;

% 设置正态分布的参数
mu = 0;    % 均值
sigma = 1; % 标准差

% 定义x的取值范围
x = linspace(-4, 4, 1000);

% 计算正态分布的PDF、CDF和PPF
pdf_values = normpdf(x, mu, sigma);  % 概率密度函数 (PDF)
cdf_values = normcdf(x, mu, sigma);  % 累积分布函数 (CDF)
ppf_values = norminv(cdf_values, mu, sigma);  % 分位点函数 (PPF)

% 创建图窗
figure;

% 绘制PDF (概率密度函数)
subplot(3,1,1);
plot(x, pdf_values, 'r', 'LineWidth', 2);
title('Probability Density Function (PDF)');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
grid on;

% 绘制CDF (累积分布函数)
subplot(3,1,2);
plot(x, cdf_values, 'b', 'LineWidth', 2);
title('Cumulative Distribution Function (CDF)');
xlabel('x');
ylabel('F(x)');
grid on;

% 绘制PPF (分位点函数)
subplot(3,1,3);
plot(cdf_values, ppf_values, 'g', 'LineWidth', 2);
title('Percent Point Function (PPF)');
xlabel('CDF value');
ylabel('x');
grid on;

% 调整图像布局
sgtitle('Normal Distribution: PDF, CDF, and PPF');

三、数学表示

1、CDF：分布函数

2、PDF：连续型概率密度函数

3、PMF：离散型概率密度函数

为什么要有CDF分布函数？

第一个原因主要是因为PMF表示离散随机变量的分布律，PDF表示连续随机变量的分布律，二者不能表示另一方，因此缺少一个统一的方式描述随机变量的统计规律，于是有了分布函数

第二个原因是CDF分布函数在x处的函数值表示X落在区间负无穷到x内的概率，所以分布函数就是定义域为R的一个普通函数，因此我们可以把概率问题转化为函数问题，从而可以利用普通的函数知识来研究概率问题，增大了概率的研究范围