DP35 【模板】二维前缀和

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文章目录

• 1.题目
• • 描述
  • • 输入描述：
    • 输出描述：
  • 示例1
• 2.思路
• 3.代码

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1.题目

DP35 【模板】二维前缀和

描述

给你一个 n 行 m 列的矩阵 A ，下标从1开始。

接下来有 q 次查询，每次查询输入 4 个参数 x1 , y1 , x2 , y2

请输出以 (x1, y1) 为左上角 , (x2,y2) 为右下角的子矩阵的和，

输入描述：

第一行包含三个整数n,m,q.

接下来n行，每行m个整数，代表矩阵的元素

接下来q行，每行4个整数x1, y1, x2, y2，分别代表这次查询的参数

输出描述：

输出q行，每行表示查询结果。

示例1

输入：

3 4 3
1 2 3 4
3 2 1 0
1 5 7 8
1 1 2 2
1 1 3 3
1 2 3 4

输出：

8
25
32

2.思路

暴力解法，时间复杂度为O(n* m *q),二维前缀和时间复杂度为O(m *n)+O(q)，

• 从 0, 0 位置到 i, j 位置这⽚区域是我们处理的范围
• 注意，下表边界从1开始，方便计数, 用arr表示而我矩阵，dp 数组一般第 0 行和 第 0 列 的数据是手动初始化，从 arr矩阵到 dp 表，横纵坐标加一
• dpi j 的含义：dpi j 表⽰，从 1, 1 位置到 i, j 位置这段区域内，所有元素的累加和

• dpi j = A + B + C + D

• 将该式子替换为 dpi j =(A+C)+(A+B)-A+D

• A+C 的面积就是 dp i j-1 的值

• A+B 的面积就是 dp i-1 j 的值

• A 的面积就是 dp i-1 j-1 的值

• D 的面积就是 arr i j 的值

  dp[ i ][ j ] = dp[ i ][ j-1 ] + dp[ i-1 ][ j ] - dp[ i-1 ][ j-1 ] + arr[ i ][ j ]

• 获取（x1，y1）~（x2，y2）这个区间内的数据总和 x，计算 x = s - A - B - C 的值

• 修改为x = s - (A+B) - (A+C) + A

• s 的面就是 dp x2 y2

• A+B 的面积就是 dp x2 y1-1

• A+C 的面积就是 dp x1-1 y2

• A 的面积就是 dp x1-1 y1-1

  x = dp[ x2 ][ y2 ] - dp[ x2 ][ y1-1 ] - dp[ x1-1 ][ y2 ] + dp[ x1-1 ][ y1-1 ]

3.代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    //1.读取数据
    int n = 0, m = 0, q = 0, x1 = 0, y1 = 0, x2 = 0,
        y2 = 0; //赋初值，养成好习惯
    cin >> n >> m >> q;
    vector<vector<int>> arr(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
        for (int j = 1; j < m + 1; j++) {
            cin >> arr[i][j];
        }
    }

    //2.预处理前缀和矩阵
    vector<vector<long long>> dp(n + 1, vector<long long>(m + 1, 0)); //防止溢出
    for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
        for (int j = 1; j < m + 1; j++) {
            dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j] - dp[i - 1][j - 1]+ arr[i][j];
        }
    }

    //3.使用前缀和矩阵
    while (q--) {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << dp[ x2 ][ y2 ] - dp[ x2 ][ y1-1 ] - dp[ x1-1 ][ y2 ] + dp[ x1-1 ][ y1-1 ] <<
             endl;
    }
    return 0;

}

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