目录
[1. "紧致(compact)"这个术语的来源](#1. “紧致(compact)”这个术语的来源)
[2. 集合紧致性的定义](#2. 集合紧致性的定义)
[2.1 紧致性描述性定义](#2.1 紧致性描述性定义)
[2.2 紧致性的正式定义](#2.2 紧致性的正式定义)
[3. 紧致性集合的例子](#3. 紧致性集合的例子)
[4. 紧致性集合的直观理解](#4. 紧致性集合的直观理解)
[4.1 度量空间设置中的紧致性与顺序紧致性的联系](#4.1 度量空间设置中的紧致性与顺序紧致性的联系)
[4.2 用有限的事物来近似甚至替代无限的事物](#4.2 用有限的事物来近似甚至替代无限的事物)
[4.3 紧致集合意味着"小的(small)"集合](#4.3 紧致集合意味着“小的(small)”集合)
1. "紧致(compact)"这个术语的来源
"compact"这个术语由Maurice René Fréchet (1878-1973)(法国数学家)引入，在期刊<< Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo>>(是一本发表纯数学和应用数学原创研究论文的国际期刊)的第22卷第6页中，他写道(用德语)：
"Nous dirons qu'un ensemble est compact lorsqu'il ne comprend qu'un nombre fini d'éléments ou lorsque toute infinité de ses éléments donne lieu à au moins un élément limite."(我们的整体结构是紧致的，无法理解最终的元素，或者是无限的元素，但可以在有限的元素中加以理解。)
(以上这个引文由Mark Dunn 提供)。
在其1906年的假说(thesis)中，Fréchet写道：
"A set E is called compact if, when { } is a sequence of nomempty, closed subsets of E such that
is a subset of
for each n, there is at least one element that belongs to all of the
's."(对于一个集合E ，当 {
} 是 E 的一系列非空闭子集，且这些非空闭子集使得对于每一个n ，都有
是
的一个子集时，至少有一个元素属于整个非空闭子集序列
，则集合 E 为紧的。)
但在 Fréchet 生命的最后时刻，他却不记得为什么要选这个术语：
... jai voulu sans doute éviter quón puisse appeler compact un noyau solide dense qui nést agrémenté que dún fil allant jusqúà ĺinfini. Cést une supposition car j́ai complétement oubliè les raisons de mon choix!"
[Doubtless I wanted to avoid a solid dense core with a single thread going off to infinity being called compact. This is a hypothesis because I have completely forgotten the reasons for my choice!] (Pier, p.440)
(毫无疑问，我想避免将具有单线且延伸到无穷的坚固密集核称为紧致。这是一个假设，因为我已经完全忘记了我选择的原因！)
一些数学家不喜欢"紧( compact ) "这个词 。 Schönflies (即，德国数学家 Arthur Moritz Schoenflies)建议将 Fréchet 所谓的"紧致性"称为"lückenlos"(德语：无缝的)(without gaps------无间隙 )或"abschliessbar"(closable------可闭合的)(Taylor，第 266 页)。
Fréchet提出 的"紧致性"对应的是现代的"相对顺序紧致性 (relatively sequentially compact)"，他的"极值( extremal**)** "是今天的"顺序紧凑(sequentially compact)"（Kline，第 1078 页）。
紧致性也可见于 Paul Alexandroff 和 Paul Urysohn的"关于紧致拓扑空间的回忆录"(荷兰皇家科学院(Koninklijke Nederlandse Akademie van Vetenschappen te)数学科学部分的论文集 (1929))。
2. 集合紧致性的定义
2.1 紧致性描述性定义
我们可以将集合的紧致性视为数学分析中"最接近有限性的东西 "。它允许我们用有限(不一定脱离)片段来描述可能(通常是)不可数的集合。即， 对于一个集合 K ⊆ ℝ ，当且仅当其是闭的且有界时，我们称其是紧集。
2.2 紧致性的正式定义
令 K 为一个度量(或拓扑)空间的一个子集。若对于每一个开覆盖 和
，都存在一个子集 J ⊂ I ，则我们称集合 K 是紧致集 ( 以下简称紧集 ) 。即，存在 K 的有限子覆盖。
3. 紧致性集合的例子
在 ℝ 中，单位闭区间 [0 ,1] 是紧集，而单位开区间 (0 ,1)不是紧的。根据定义，考虑开覆盖(注：用集合开子集的并集表示覆盖) , 显然，这个开覆盖覆盖区间，但若我们仅取有限多项，则它不覆盖区间。
4. 紧致性集合的直观理解
从以下几个层面去理解紧集。
4.1 度量空间设置中的紧致性与顺序紧致性的联系
紧凑性描述了一种情况，即在这种情况下，你的集合中没有足够的"空间"来容纳无限多的点集，而这些点不会在至少一个地方累积。
4.2 用有限的事物来近似甚至替代无限的事物
以定义为例：紧致性意味着具有无限多个集合的开覆盖(注：由无限多个集合构成的开覆盖)是非常多余的，我们完全可以通过舍弃除有限多个集合之外的所有集合来构成开覆盖。
(注：这个图有个缺陷，其边界不应该超过被覆盖的集合，因为所有构成覆盖的集合都是该集合的子集。)
在度量空间的设置中，紧致性意味着总是有界。也就是说，有限多个点足以在一些很小的误差范围内近似整个空间。
-----------------整边界X :可通过有限多个N (X , ε )覆盖(对任意ε> 0)--------------
有限交集属性在本质上是开覆盖定义的反证，它告诉我们，如果你在一个紧集合中，并且闭集的某个无限集合不具有所有集合的公共点，那么实际上有限多个这些集合本身就造成了问题。