真空中的静电场
库仑定律
F = k q 1 q 2 r 2 = 1 4 π ϵ 0 q 1 q 2 r 2 F=\frac{kq_1q_2}{r^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2} F=r2kq1q2=4πϵ01r2q1q2
电场强度
E ⃗ = F ⃗ q 0 \vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0} E =q0F
点电荷的电场
E ⃗ = 1 4 π ϵ 0 q r 2 e r ⃗ \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\vec{e_{r}} E =4πϵ01r2qer
点电荷系的电场：由电场叠加原理， E ⃗ = ∑ E i ⃗ \vec{E}=\sum{\vec{{E_{i}}}} E =∑Ei ,对于连续带电体，
E ⃗ = ∫ 1 4 π ϵ 0 d q r 3 r ⃗ \vec{E}=\int\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r^3}\vec{{r}} E =∫4πϵ01r3dqr
典型结论：
无限长带电线 E ( r ) = λ 2 π ϵ 0 r E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r} E(r)=2πϵ0rλ
半无限大带电线 E ( x ) = − λ 4 π ϵ 0 r , E ( y ) = λ 4 π ϵ 0 r E(x)=-\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0r},E(y)=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0r} E(x)=−4πϵ0rλ,E(y)=4πϵ0rλ
均匀带电圆环 E ( x ) = 1 4 π ϵ 0 Q x ( x 2 + R 2 ) 3 / 2 E(x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qx}{(x^2+R^2)^{3/2}} E(x)=4πϵ01(x2+R2)3/2Qx
无限大平面 E ( r ) = σ 2 ϵ 0 E(r)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0} E(r)=2ϵ0σ
均匀带电球面 r < R , E ( r ) = 0 ; r > R , E ( r ) = Q 4 π ϵ 0 r 2 r<R,E(r)=0;r>R,E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2} r<R,E(r)=0;r>R,E(r)=4πϵ0r2Q
均匀带电球体 r < R , E ( r ) = ρ r 3 ϵ 0 ; r > R , E ( r ) = ρ R 3 3 ϵ 0 r 2 r<R,E(r)=\frac{\rho{r}}{3\epsilon_0};r>R,E(r)=\frac{\rho{R^3}}{3\epsilon_0r^2} r<R,E(r)=3ϵ0ρr;r>R,E(r)=3ϵ0r2ρR3
高斯定理：真空静电场中，通过任一闭合曲面的电通量，等于闭合曲面内包围的电量代数和除以 ϵ 0 ⇒ 静电场为有源场 \epsilon_0\Rightarrow{静电场为有源场} ϵ0⇒静电场为有源场
∬ S E ⋅ d S = Q in ϵ 0 ∬ S E ⋅ d S = 1 ϵ 0 ∭ V ρ d V \iint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{in}}}{\epsilon_0} \\\iint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\epsilon_0} \iiint_{V} \rho \, dV ∬SE⋅dS=ϵ0Qin∬SE⋅dS=ϵ01∭VρdV
专题一：计算电场分布
方法一：利用微元思想，将带电体视作点电荷、带电线、带点面的集合，表示出dq，然后通过积分求解
方法二：高斯定理
使用条件：电场具有一定的对称性
步骤：作闭合高斯面，由高斯定理，计算出电场分布
方法三：已知电势分布，利用电场和电势的微分关系求解电场
静电场中静电力做功只与始末状态有关->安培环流定理（静电场为无旋场）：
∮ L E ⋅ d l = 0 \oint_{L} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = 0 ∮LE⋅dl=0
静电力做功等于电势能改变量的负值，将电荷单位化，取电势零点（典型的有无穷远点、大地），得到电势定义：
V a , b = W q = ∫ a b E d l , V ( b ) = 0 V_{a,b}=\frac{W}{q}=\int_a^b\mathbf{E}d\mathbf{l},V(b)=0 Va,b=qW=∫abEdl,V(b)=0
点电荷电势
V = 1 4 π ϵ 0 q r V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r} V=4πϵ01rq
专题二：计算电势：
1、利用电势的定义，已知电场分布，选取电势零点，通过电场积分计算电势
2、已知电荷分布，利用电势叠加原理，电势积分计算总电势
典型结论：
均匀带电球面 r < R , V = Q 4 π ϵ 0 R ; r<R,V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R}; r<R,V=4πϵ0RQ; r > R , V = Q 4 π ϵ 0 r ; r>R,V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}; r>R,V=4πϵ0rQ;
等势面：
①电势处处相等 ②沿等势面电场力不做功 ③电场沿法线方向 ④电场沿电势降低方向
电势与电场强度的微分关系:
通过构造两个等势面V，V+dV推导得到E与dv的关系
E = − d V d n = − ∇ V E=-\frac{dV}{dn}=-\nabla{V} E=−dndV=−∇V
理解角度一：电场强度大小等于沿等势面法线方向的电势变化率，分析沿电势降低方向
理解角度二：电势沿等势面法线方向变化率最大
在直角坐标系中， E x = − V x , E y = − V y , E z = − V z E_{x}=-V_{x},E_{y}=-V_{y},E_{z}=-V_{z} Ex=−Vx,Ey=−Vy,Ez=−Vz
在极坐标中， E r = − V r , E θ = − 1 r V θ E_{r}=-V_{r},E_{\theta}=-\frac{1}{r}V_{\theta} Er=−Vr,Eθ=−r1Vθ