数学中的直觉、联想和抽象漫谈

数学中的直觉、联想和抽象漫谈

直觉、联想和抽象不是孤立存在的,而是相互交织、共同作用的。构成了我们认知理解世界的不可或缺的三种能力。我们应该重视并培养这些思维能力,以更好地适应不断变化的世界。

在数学的世界里,直觉、联想和抽象是数学思维中至关重要的三个要素,它们在数学的发现、理解和创新过程中发挥着独特而互补的作用。

直觉、联想和抽象能力是紧密相连的。它们共同构成了人类高级认知能力的重要部分,在思维和学习过程中相互促进、相互强化。培养这些能力时,采取整体性的方法,注重它们之间的联系和互动,可能会取得更好的效果。本文是对数学中的直觉、联想和抽象能力的培养的漫谈(可能挂一漏万),一己之言,观点也可能有待商榷,权作抛砖引玉。

直觉、联想和抽象概述

直觉

直觉是一种非逻辑、非分析性的思维方式,它依赖于个体的内在感知和经验积累,能够迅速而直接地把握事物的本质或趋势。直觉往往表现为一种"灵光一闪"的领悟,不需要经过复杂的推理过程。

然而,直觉并非总是可靠。它可能受到个人偏见、情绪状态或经验水平的影响。因此,在依赖直觉做出决策时,我们需要保持谨慎,并结合其他思维方式进行验证。

直觉是指人们在没有经过深入分析或逻辑推理的情况下,对问题或事物所产生的直接感知或理解。在数学中,直觉可以帮助我们:

  • 快速感知规律:通过观察和经验,直接感受到某些数学模式或关系。
  • 指导探索方向:在解决问题时,直觉可以指引我们尝试可能有效的方法。
  • 促进概念理解:通过直观的感受,帮助理解抽象的数学概念。

注意,直觉并非总是准确的,特别是在高等数学领域,直觉可能与实际情况不符。因此,利用直觉时,需要注意警惕反直觉情况,需要结合严谨的逻辑推理,对直觉的结论进行验证。

联想

联想是一种将不同事物或概念之间建立联系的能力。它依赖于个体的记忆和经验,通过寻找共同点或相似性,将看似无关的事物联系起来。

联想在创新思维和问题解决中发挥着重要作用。通过联想,我们可以将不同领域的知识和技能相互融合,产生新的想法和解决方案。

此外,联想还有助于我们记忆和理解信息。通过将新信息与已有的知识框架相联系,我们可以更容易地记住并理解这些信息。

联想是指由一个概念或事物引发对相关概念或事物的思考。在数学中,联想帮助我们:

  • 启发新思路:通过联想到类似的问题或方法,找到解决当前问题的新途径。
  • 建立知识网络:将不同的数学概念和领域联系起来,形成系统的知识结构。
  • 促进创新:在联想中迸发灵感,可能产生新的数学发现。

抽象

抽象是一种从具体事物中提炼出普遍规律或本质特征的能力。它允许我们超越个别现象,把握事物的共性和内在联系。

抽象思维使我们能够超越眼前的事物,看到更广阔的世界和更深远的意义。

抽象是指从具体事物中提炼出共同的、本质的特征,形成一般性的概念或理论。在数学中,抽象使得我们能够:

  • 统一不同问题:通过抽象,发现看似不同的问题实际上具有相同的结构。
  • 建立理论框架:抽象的概念是数学理论的基石,例如群论、拓扑学等。
  • 提高理解深度:通过抽象,深入把握数学对象的本质。

三者的相互关系

  • 直觉是联想和抽象的基础:直觉提供了最初的感性认识,启发我们进行联想和抽象。
  • 联想连接直觉和抽象:通过联想,我们将直觉的感性认识与抽象的理性思考联系起来。
  • 抽象深化直觉和联想的成果:抽象升华了直觉的感受和联想的启示,形成严谨的数学理论。

直觉、联想和抽象是数学思维中不可或缺的要素。它们相互作用,促使我们从感性认识到理性思考,从具体问题到一般理论。通过有意识地培养和运用直觉、联想和抽象,我们可以提升数学学习和研究的效率和成果,享受数学探索的美妙旅程。

直觉、联想和抽象能力的培养

数学直觉能力的培养

数学直觉是一种在数学思考和问题解决过程中快速、自然地把握核心概念或关键解决方向的能力。它通常不依赖于详细的逻辑推理过程,而是基于深厚的数学经验和理解。

数学直觉是数学能力的重要组成部分,它与逻辑推理能力相辅相成,共同构成了完整的数学思维。培养良好的数学直觉可以帮助学生更有效地学习和应用数学,提高解决问题的效率和创造性。

感性认识和直觉的关系

是相关但不完全相同的概念(并不完全是一回事)。

感性认识是指通过感官直接获取的知识,是对外界事物的直接体验和观察。它通常依赖于感觉、经验和具体事物的接触,强调的是对现实世界的具体理解。感性认识是获取外部信息的基础,是人们了解世界的起点。

直觉则是一种快速、无意识的认知过程,能够在复杂多变的环境中提供及时快速的反应机制,常常是在没有经过深思熟虑或逻辑推理的情况下,对某个问题或情况产生的一种即时判断或初步认识。直觉可能基于个人经验、潜意识的信息处理以及对环境的敏锐感知反馈。

共同点:两者都涉及到非理性的、直接快速的认知方式,不依赖于系统化的逻辑推理。

区别:感性认识更侧重于通过感觉获得的信息,而直觉则更多地涉及内心深处对某种情境或问题的迅速把握。或者说,感性认识更多地与直接的感官体验和情感反应相关,而直觉则可能涉及更复杂的认知处理,包括对过往经验的无意识整合。

感性认识与直觉之间存在一种互动关系。感性认识为我们的直觉提供了丰富的素材,而直觉则可以在不完全确定的情况下引导我们做出合理的选择。

在实际中,这两种认知方式常常是交织在一起的。例如,一个有经验的厨师通过多年的烹饪实践(感性认识),能够在没有精确测量的情况下凭直觉调配调料。又如,一个有经验的医生在诊断时,可能会结合对病人症状的直接观察(感性认识)和多年临床经验形成的"第六感"(直觉)来做出判断。

感性认识可能受个人偏见或环境限制的影响,从而影响直觉的准确性。感性认识的局限性

a) 主观性:

感性认识往往受个人经验和文化背景的影响,可能导致偏见或误解。

b) 尺度限制:

人类的感官知觉能力受限于特定的尺度范围。我们无法直接感知微观粒子或宇宙尺度的现象。

c) 复杂性:

某些系统(如气候或经济)过于复杂,仅凭直观感受难以全面把握。

直觉,尽管有时非常准确,但也可能导致判断错误,特别是在不熟悉的领域。

感性认识是通过感官获得的具体经验,可以为直觉提供基础。而直觉是一种快速的、往往基于经验的、直观的判断。直觉可以快速整合我们过去的经验和当前可获得的信息,帮助我们做出决策。理想的决策过程应该平衡感性认识、直觉和理性分析。

直觉是一种特殊的思维活动,它既不同于逻辑,又不同于经验,是一种介于逻辑与经验之间的,有一定色彩的创造性思维活动,数学直觉在解决数学问题过程中往往可以发挥思路引领的作用。

数学直觉与严谨性的关系

虽然数学直觉在数学学习和解决问题中发挥着重要作用,但它并不总是可靠的。因此,在数学中,直觉需要与严谨性相结合。个体在凭借直觉得出某个结论后,需要通过严格的证明来验证其正确性。同时,个体也需要通过学习和实践来不断提高自己的数学直觉能力,以便更准确地把握问题的本质和得出正确的结论。

直觉在数学学习和解决问题中发挥着重要作用,但也需要与严谨性相结合。直觉有时也会导致误导。例如,在比较两个分数的大小时,个体可能会直觉地认为分母小的分数更大,但实际上这是不正确的。正确的比较方法应该是将两个分数转化为具有相同分母的形式,然后比较它们的分子。

数学直觉示例,要计算一个由多个简单形状组合成的复杂图形的面积,可以将其分解为几个基本图形(如矩形、三角形、圆等),分别计算它们的面积,然后适当加减处理。

解题的基本思路是,通过直觉观察,采用分割、切拼、旋转、平移、翻折、缩放、等积替换等方法,把不规则图形转化为规则图形(或规则图形面积的和差),让隐蔽条件明朗化,再合理运用面积公式,巧求不规则图形面积。

例如,求下图中阴影部分的面积。(单位厘米)

从整体上看,上图是由一个直角三角形和两个以直角边为直径的半圆组合而成的,可以分别求出这3个规则图形的面积,再求出图形总面积。

阴影部分面积就是图形总面积与以斜边为半径的半圆的面积之差。

数学直觉能力的培养是一个复杂而长期的过程,需要多方面的努力和策略。以下是一些培养数学直觉的方法和建议:

1.深入理解基本概念

要培养良好的数学直觉,首先需要牢固掌握基本概念。这包括:

仔细学习每个新概念的定义和属性

探索概念之间的联系

尝试用自己的话重新表述概念

思考概念在实际问题中的应用

2.大量练习

通过大量练习,我们可以:

熟悉不同类型的问题

发现问题间的共同模式

培养快速识别问题关键信息的能力

提高解题速度和准确性

3.可视化

将抽象概念可视化可以帮助我们:

更直观地理解复杂概念

发现不同概念间的联系

激发创造性思维

可以尝试画图、使用图表或者借助数学软件来实现可视化。

4.探索多种解法

对于同一个问题,尝试寻找不同的解决方案可以:

加深对问题本质的理解

发现概念间的新联系

培养灵活思考的能力

5.关注模式和规律

在学习和解题过程中,要注意观察和总结:

数字间的规律

图形的变化模式

不同问题类型的共同特征

这有助于培养识别模式的能力,从而更快地理解新问题。

6.实际应用

将数学知识应用到实际问题中可以:

加深对概念的理解

培养将抽象概念具体化的能力

提高解决实际问题的能力

可以尝试在日常生活中寻找数学应用的例子,或者参与一些应用数学的项目。

7.跨学科学习

数学与其他学科有着密切的联系。通过跨学科学习,我们可以:

拓展数学思维的应用范围

发现数学在不同领域的应用

培养创新思维能力

8.讨论和交流

与他人讨论数学问题可以:

交流不同的解题思路

学习他人的思考方式

发现自己思维中的盲点

提高表达数学思想的能力

9.反思和总结

在学习和解题后进行反思和总结可以:

巩固所学知识

发现自己的优势和不足

制定有针对性的学习计划

10.保持好奇心和开放心态

对数学保持好奇心和开放心态可以:

激发学习兴趣

主动探索新概念

培养创新思维

11.阅读数学史和数学家传记

了解数学发展历史和数学家的思考过程可以:

理解数学概念的演变

学习伟大数学家的思维方式

激发对数学的热情

直觉的局限性

受经验限制:直觉基于个人经验,可能不适用于陌生的领域。

存在认知偏见:直觉判断可能受到刻板印象和偏见的影响,导致错误的结论。直觉可能导致对自然现象的误解,例如认为重物下落得更快。

难以处理复杂问题:对于复杂的、非线性的系统,直觉往往无能为力。

反直觉

反直觉,是指与直觉判断或常识相悖的观点、现象或结果。反直觉的事物通常会让人感到意外、困惑,甚至难以接受。

反直觉示例

例1、古印度国王奖励国际象棋的发明者

传说古印度有一位智者发明了国际象棋。他将这款充满智慧和策略的游戏呈献给国王。国王对这款新颖的游戏赞叹不已,深感其教育和娱乐价值,决定要重重奖励他,当国王问及他想要什么奖赏时,发明者谦逊地说道:"陛下,只请求您在棋盘的第一个格子放一粒米,第二个格子放两粒米,第三个格子放四粒米,每个格子上的米粒数量都比前一个格子翻一倍,直到64个格子都放满。"

国王听后,认为这是一个非常谦虚且简单的要求,欣然同意。然而,当国王的财务官真正开始计算所需的米粒总数时,却发现这是一个天文数字。

分析计算:

第一格放1粒米,每一格的米粒是前一格的2倍,象棋棋盘共64格,米粒总数= 1+2+4+8+⋯+ = −1 = 18,446,744,073,709,551,616 - 1 = 18,446,744,073,709,551,615 粒米

1蒲式尔(计量单位折合35.2升)麦子约有500000颗,把这个数折成蒲式尔,那就得给西萨·班拿来四万亿蒲式尔才行。这位宰相所要求的竟是全世界在两千年内所生产的全部小麦。

这件事告诉我们,在面对指数级增长时,直觉可能会产生很大偏差。

例2、蒙提霍尔问题(Monty Hall Problem)

问题描述:有三个门,其中一个门后有汽车,另外两个门后是山羊。你先选择一个门,然后主持人(知道门后的奖品)打开了另一个没有汽车的门,问你是否要换门。

直觉判断:

留在原来的选择与换门中奖概率应该是一样的,各为1/2。

反直觉的事实:

换门的中奖概率是2/3,不换门的中奖概率是1/3。

解析

直觉误以为:

剩下两扇门中汽车在任一门后的概率相等

所以改变与不改变的获奖概率都是1/2,换不换都一样

主要认知误区:

忽视了主持人的行为是有信息的

错误认为剩下两门等价

没有考虑条件概率

正确分析:

主持人行为提供的信息:

主持人知道所有门后的情况,他总是会打开一个没有大奖的门。

当他打开门,露出山羊时,他实际上提供了额外的信息。

额外的信息令概率重新分配(改变了概率分布):

如果大奖在你最初没有选择的两个门(概率2/3),主持人打开一个没有大奖的门后,这个2/3的概率全部集中到剩下的未打开的门上。

如果大奖在你最初选择的门(概率1/3),那么换门你就会输。

结论

不换门: 你赢的概率仍然是初始的1/3。

换门: 你赢的概率是2/3,因为你利用了主持人提供的信息,把原先在两个门上的2/3概率全部转移到了另一扇门上。【更详细介绍,可参见https://blog.csdn.net/cnds123/article/details/114950775

在依赖直觉时,需要注意可能存在反直觉的情况。直觉并非总是可靠的,特别是在面对复杂、陌生或高度抽象的问题时,直觉可能会与实际情况不符。

直觉受文化、环境和教育的影响,可能存在偏差。

人们倾向于寻找支持自己直觉的证据,忽略反例。

许多科学现象本质上是反直觉的,依赖直觉可能导致误解。复杂系统的行为可能与直觉预期大相径庭。

数学历史显示,在许多关键时刻,直觉被反直觉的思想挑战,而这些挑战往往是数学发展的重要转折点。

在数学的发展过程中,直觉起到了基础的作用,但随着数学领域的不断拓展和深化,直觉在一定程度上受到了反直觉概念的挑战。

需要注意的是认知突破有时需要反直觉。可以说,数学从被确定为一种精确科学的时刻起,就开始尝试研究并利用那些违背日常直觉的概念,而这些概念往往成为推进数学理论和应用的重要力量。反直觉的数学问题不仅挑战我们的理解极限,还不断地推动科学的前进和技术的发展。

数论领域

古代人难以接受"比零还小的数",现在人比较容易理解负数的意义。

虚数的引入(突破了"负数没有平方根"的直觉)

几何领域

非欧几何(突破了欧氏几何的直觉认知)

集合论

无穷集合的不同势(挑战了"大小"的直觉概念)

康托尔对角线法(证明了实数不可数)

今天的反直觉可能成为明天的直觉:

古代人难以接受地球围着太阳转,最初被认为是反直觉的。经过科学验证和教育普及,我们现在直觉地接受地球绕太阳转。

又如,古代人难以接受"比零还小的数",现在人比较容易理解负数的意义。

"今天的反直觉可能成为明天的直觉"的启示:

认知是不断发展的;

要以开放心态对待新事物;

通过学习和实践可以形成新的直觉认知;

这个过程推动了人类知识和技术的进步。

对反直觉的应有态度

保持开放心态:对于与直觉不符的现象,保持好奇心,积极探索其背后的原因。

寻求证据:通过实验、数据验证反直觉的观点,避免盲目拒绝或接受。

培养理性思维:加强逻辑推理和批判性思维的训练,提升对复杂问题的处理能力。

数学发展中直觉与反直觉的辩证关系:直觉为数学奠定了初始基础,而反直觉概念的引入则推动了数学的深化发展。这种发展模式不仅体现了数学的特殊魅力,也启示我们在学习和研究过程中要:

善用直觉但不过分依赖。

勇于接受反直觉但须严谨论证。

在两者的互动中推动认知提升和创新发展。

直觉的特点:

  • 基于经验和常识的快速判断
  • 依赖已有知识的自然推理
  • 往往是第一反应和本能思维

反直的特点觉:

  • 与常识和经验相悖的认知
  • 需要深入思考才能理解的结论
  • 往往带来新的认知突破

两者的基本关系:

  • 相互补充而非对立
  • 反直觉往往建立在对直觉的突破上
  • 今天的反直觉可能成为明天的直觉

利用直觉是人类快速决策的重要方式,但需要警惕直觉的局限性和可能的误导。通过结合理性分析和客观验证,我们可以在发挥直觉优势的同时,避免因为反直觉的存在而做出错误的判断。

数学联想能力的培养

数学联想是一种思维能力,指在数学学习和问题解决过程中,能够在不同的数学概念、方法、问题或领域之间建立联系的能力。这种能力对于深入理解数学概念和创新性解决问题至关重要。

数学联想能力的培养可以帮助学生:

  • 更深入、全面地理解数学概念
  • 灵活运用数学知识解决问题
  • 发展创造性思维
  • 提高学习效率,因为新知识可以与已有知识建立联系
  • 增强对数学的兴趣,看到数学内部的联系和与现实世界的关联

培养这种能力需要长期的练习和引导,可以通过提供多样化的问题、鼓励开放性思考、展示数学内部和跨学科的联系等方式来帮助学生发展数学联想能力。

联想形式或方法分类:

☆数形联想

在研究定理和证明时,通过数与形的结合来理解问题,比如利用几何直观来证明代数结论,

**例、**几何与代数的联系

任务: 理解(a + b)²的几何意义

过程:

画一个边长为(a + b)的正方形

将正方形分割成四部分: a²、b²、ab、ab

联想到代数展开式: (a + b)² = a² + 2ab + b²

培养效果: 学生学会在几何和代数之间建立联系,加深对公式的理解。

类似地,理解(a - b)²的几何意义

☆形象化联想

形象化联想:将抽象的数学对象形象化,有助于降低理解难度。通过具体的图形、模型或生活实例,使抽象概念变得更加具体可感。例如,理解负数

想象一个温度计:

零度是中间点

向上是正数(暖和的温度)

向下是负数(寒冷的温度)

这帮助理解:负数的概念;正负数的相对位置;数轴的结构。

☆逆向联想

逆向联想是指从结果出发,反推过程或原因的思维方式。如警察破案:

警察常常运用逆向联想来破案。他们会从犯罪现场的结果出发,逆向推导出犯罪嫌疑人的动机、行为过程等。这种方法有助于侦探们更快地找到真相。

在数学中,使用逆向联想可以帮助人们理解某些概念或解题步骤。

例1、几何证明,证明两个三角形全等时:

不是直接从已知条件出发

而是从"要证明两个三角形全等"这个目标出发

回想全等的判定定理(边角边/角边角等)

查看已知条件中是否具备这些要素

例2、函数图像

画函数 y = (x - 2)² + 3 的图像:

不是直接代点画图

而是从标准的二次函数 y = x² 出发

逆向思考变换过程:

向右平移2个单位

向上平移3个单位

通过逆向思考变换过程,从标准的二次函数 y =x ²出发,先向右平移2个单位得到 y =(x −2)²,再向上平移3个单位得到 y =(x−2)²+3,据此画出了函数的图像。

☆结构化联想

结构化联想是一种将数学概念组织成有序、系统的关系网络的思维方法。这种方法可以帮助更好地理解数学概念之间的联系,从而形成更全面、深入的理解。

将几何图形组织成一个层次结构:

这种结构有助于理解几何概念的层次性:

图形之间的关系和共性

特殊图形的性质

☆类比联想

通过将一个数学问题或概念与另一个已知的问题或概念进行比较,找出相似之处并加以利用。帮助理解新概念、推广已有知识、解决复杂问题。例如,将函数想象成一个神奇的机器:

输入一个数(x)

机器按照特定规则处理

输出另一个数(y)

例如,f(x) = 2x + 1:

输入 3

机器将其翻倍(6)然后加 1

输出 7

这有助于理解:

函数的输入输出关系

函数规则的应用

☆归纳联想:

通过观察特殊情况的规律,推断出一般性的结论或原理。例如,奇数的平方减一可以被 8 整除:

列出前几个奇数的平方:

1²=1,1−1=0,被 8 整除

3²=9,9−1=8,被 8 整除

5²=25,25−1=24,24 被 8 整除

7²=49,49−1=48,48 被 8 整除

发现规律:奇数的平方减一,总是 8 的倍数。

☆跨学科联想:

将数学与其他学科(如物理、计算机科学、生物学等)的知识联系起来,以获得更深入的理解或解决跨学科问题。例如,将指数函数应用到生物学,理解增长的快速性。

引入生物学中的细菌繁殖:

某种细菌每小时繁殖一倍,初始有 100 个细菌。

经过 n 小时后,细菌数量N=100×2ⁿ 。

需要注意的是,应提倡个体根据自身特点发展适合自己的思维方式,每个人的思考路径和联想方式可能有所不同,不同的人或文献对此的看法并不一致,这种多样性反映了数学思维的丰富性和复杂性。

解决实际问题时,联想的各种方法之间确实是相互联系的,需要综合运用。运用不同的联想方法,可以将抽象的数学概念与直观的图形、熟悉的事物或其他学科的知识联系起来。这不仅有助于加深理解,提高学习兴趣,也培养了创造性思维和问题解决能力。联想方法还可以与其他思维技巧和策略结合使用,以增强解决问题的能力和创造力。

数学抽象能力的培养

数学抽象是指在数学研究中,通过对具体对象和现象的分析,舍弃非本质的、偶然的属性,提炼出共同的、本质的特征,形成一般性的概念、定理和理论的过程。这种过程包括概念的形成、符号的引入、结构的定义,以及公理化的建立。

数学抽象是理解和研究数学的基础。数学抽象在接近世界本质的过程中具有独特的优势,能够突破感性认识的局限,提供更深刻和普遍的理解,特别是在处理超出人类直接感知范围的现象时。感性认识也是不可或缺的,它为抽象思维提供了基础。因此,最有效的途径是将二者结合,发挥各自的优势,用感性认识启发和验证数学模型,用数学抽象扩展和深化我们对世界的理解。这种结合不仅在科学研究中至关重要,在日常生活中也有广泛应用。

数学抽象的优势

a) 普适性:

数学抽象能够提取事物的共性,建立普遍适用的定理和理论。这种抽象能够超越个别现象,为理解复杂系统提供更为清晰的框架。数学抽象常常能揭示表面上看似无关的现象之间的深层联系。例如,牛顿的万有引力定律以数学形式表达了物体间的引力关系,具有普适性。

b) 超越感官限制:感性认识依赖于我们的感官和直接经验,可能受到主观和环境的限制。而数学抽象不受这些限制,能够探索无法直接感知的领域,如四维空间、量子力学等。

c)提供精确描述:

数学提供了一种精确的语言,这种精确性在科学研究和技术应用中尤为重要,能够准确描述复杂系统的行为和特性。复杂的现实问题可以被转化为数学模型,这有助于我们对世界进行定量分析和预测。例如,物理学中用微分方程描述运动规律,这种抽象化的过程帮助我们理解自然法则。

数学抽象的作用和意义

抽象的方法有助于将不同领域的数学统一起来,形成更深刻更广泛更高的的理论。

通过抽象,可以将复杂的问题转化为更为一般的形式,便于分析,揭示隐藏在具体现象背后的规律。

抽象化的研究有助于发现深层次的规律和联系。

抽象思维是一种将具体事物提取出共性、规则或结构,并进行概括和整理的思维方式。

如何培养抽象思维能力:

寻找模式:在具体例子中寻找共同点和规律。

去除具体细节:专注于本质特征,忽略不相关的细节。

使用符号和变量:用符号代替具体数字或对象。

思考一般化:尝试将特定情况推广到更广泛的情况。

建立联系:寻找不同概念之间的联系。

反思和元认知:思考你的思维过程,理解为什么某些抽象是有效的。

1.笛卡尔坐标系是数学抽象的一个优秀例子。

笛卡尔坐标系将平面几何(二维空间)中的点和图形用代数方法表示,实现了几何与代数的统一。这一抽象使得复杂的几何问题可以通过代数方程来解决。笛卡尔坐标系为解析几何、物理学等领域的发展奠定了基础。

抽象过程:

a) 起点:平面上的点和线

b) 引入参考点(原点)和参考线(坐标轴)

c) 用数对(x, y)表示点的位置

d) 将几何问题转化为代数方程

  1. 七桥问题

七桥问题是图论的起源,展示了如何通过抽象简化复杂问题。欧拉将柯尼斯堡七桥问题中的桥和陆地区域抽象为图中的节点和边,忽略了实际的地理距离和形状。

问题背景:18世纪的哥尼斯堡市有七座桥连接河中的两个岛屿和河岸。问题是能否不重复地走过所有的桥。

欧拉把每一块陆地考虑成一个点,连接两块陆地的桥以线表示。经过一年的研究之后,29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文,圆满解决了这一问题,他发现:如果有两个奇点,则必须从其中一个奇点出发,另一个奇点终止;如果奇点不存在,则可以在任意点出发,最终一定会回到该点(路径不能重复)。

用专业一点的语言说:如果一个图是连通(无向图)的,且最多只有两个奇点(奇点数目为0或者2),则一定存在欧拉回路。欧拉开创了数学新一分支------图论。

抽象过程:

a) 开始于具体的地理问题

b) 忽略无关的地理细节(如河流宽度、岸边距离等)

c) 将陆地抽象为点(顶点),桥抽象为线(边)

d) 形成图的概念:由顶点和边组成的结构

将陌生的抽象问题转化为熟悉的抽象问题是一项非常有价值的技能。如何将陌生的抽象问题转化为熟悉的抽象问题,下面举几个简单的例子。

将陌生的抽象问题转化为熟悉的抽象问题,转化应遵循的基本原则:

(1)类比原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

(2) 分解简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。

(3)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

(4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解。

类比法

技巧:将陌生的问题与熟悉的问题进行比较,找出相似之处,从而借鉴熟悉问题的解决方法。

1)函数与机器

将函数的概念类比为一个输入输出机器,这可以帮助学生理解函数的本质。

例1、f(x) = 2x + 1 可以想象成一个机器:

  • 输入:任何数字 x
  • 机器操作:将输入数字乘以 2,然后加 1
  • 输出:处理后的结果

这种类比使抽象的函数概念变得具体和可视化,更容易理解。

  1. 指数函数与细胞分裂

将指数增长类比为细胞分裂过程,可以帮助学生理解指数函数的快速增长特性。

例2、2ⁿ可以类比为细胞每次分裂都变成两个:

x = 0:1 个细胞(开始时)

x = 1:2 个细胞(1 次分裂后)

x = 2:4 个细胞(2 次分裂后)

x = 3:8 个细胞(3 次分裂后)

这种类比使抽象的指数增长变得具体和可视化。

分解问题

技巧:将复杂的抽象问题分解为几个简单的小问题,逐一解决。

例、一个长方形游泳池长12米,宽8米。如果要在池子周围铺设一圈宽度为1.5米的过道,问过道的面积是多少?

分解步骤:

  1. 计算包含过道的大长方形的长和宽

  2. 计算大长方形的面积

  3. 计算游泳池的面积

  4. 用大长方形面积减去游泳池面积得到过道面积

解决过程:

a) 大长方形:长 = 12 + 2 × 1.5 = 15 米,宽 = 8 + 2 × 1.5 = 11 米

b) 大长方形面积 = 15 × 11 = 165 平方米

c) 游泳池面积 = 12 × 8 = 96 平方米

d) 过道面积 = 165 - 96 = 69 平方米

借助实际生活经验直观化

技巧:将抽象问题与日常生活经验联系起来,将陌生的问题转化为熟悉的问题,增强理解。

例、百分数的应用:

在学习百分数时,可以联系打折购物的问题。例如,商品原价100元,打八折出售,实际价格为 100×80%=80100×80%=80 元。通过购物经验理解百分数的计算。

正难则反

技巧:当从问题的正面去思考问题,遇到阻力难以下手时,可通过逆向思维,从问题的反面出发,逆向地应用某些知识去解决问题。 "反证法"就是。

例子:证明在自然数集合中不存在最大的质数。

解答:

1.假设相反命题成立:假设存在最大的质数,记作pp。

2.构造新数:N=p!+1,其中p!表示从1到p的阶乘。

3.分析N的性质:对于任意小于或等于p的质数q,q都不能整除N,因为:

N÷q=(p!+1)÷q

由于p!能被q整除,p!÷q的余数为0,所以(p!+1)除以q的余数为1。

4.得出结论:因此,N要么是质数,要么有大于p的质因数。这与p为最大的质数的假设矛盾。

5.结论:假设错误,故自然数中不存在最大的质数。

需要注意的是,在实际问题解决中,思维活动是一个复杂的过程,直觉、联想和抽象这三种思维活动往往是交织在一起的。例如,在面对一个复杂的数学问题时:

直觉可能首先提供一个大致的解决方向。

抽象思维帮助我们将问题简化,提取核心要素。

联想思维可能将问题与之前解决过的类似问题联系起来。

这种联想又可能激发新的直觉。

利用直觉时,需要警惕直觉的局限性和可能的误导。

然后可能会再次运用抽象思维来精炼和形式化解决方案。

这三种思维能力,并非严格按顺序进行,而是常常交织在一起,根据问题的性质和解决过程的需要灵活运用。培养和平衡这三种思维能力,可以显著提高我们的问题解决效率和创新能力。

总之,人类的思维过程是高度复杂和整合的,很难将其清晰地分割成独立的部分。直觉、联想和抽象这三种思维活动的边界在实际思考过程中常常是模糊的,它们之间存在着复杂的交互和重叠。不同人可能以不同方式整合这些思维活动,导致边界更加模糊。在实际思维过程中,这三种思维活动相辅相成、互为影响(这些活动可能快速切换或同时进行),共同促进人类的理解和创造。

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