目录
树和森林的遍历
树的遍历
- 先根遍历：先访问树的根结点，然后依次先根遍历每颗子树
- 后根遍历：先依次后根遍历每颗子树，然后访问树的根结点
森林的遍历
- 先根遍历森林：
- 访问森林中第一棵树的根节点
- 先根遍历第一棵树中的诸子树
- 先根遍历其余的诸树（森林）
森林的先根遍历与其对应的二叉树先根遍历相同
- 后根遍历森林：
- 后根遍历第一棵树的诸子树
- 访问森林中第一棵树的根节点
- 后根遍历其余诸树（森林）
森林的后根遍历序列与其对应的二叉树的中根遍历序列一致
基本算法
递归先根遍历树
PreOrder(t)
{
if t == NULL return;
print(Data(t));
GFC(t,child); // 找到t的第一个子节点
while chile != NULL
{
PreOrder(child);
GNB(child,child);
}
}
迭代先根遍历树
思路
（1）若结点p不为空，访问结点p，将结点p压入栈，并将其大儿子结点设为结点p；反复执行(1)，直至结点p为空
（2）从栈中弹出一个结点，将其设为结点p，若它有大兄弟结点,则将其大兄弟结点压入栈，且将该兄弟结点设为结点p；否则，反复执行(2)，直
至弹出的结点有大兄弟结点或栈空以至无结点可弹出
（3）反复执行(1)和(2)，直至栈为空
伪代码
NPO(t)
{
create(s);
p = t;
bool flag = True;
while flag or S非空
{
flag = False;
while p != NULL;
{
print(Data(p));
Push(S,p);
p = FierstChlid(p)
}
while p != NULL and S 非空;
Pop(S,p);
p = NextBrother
}
}
树和森林的层次遍历
LevelOrder(t)
{
CREATE(Q);
Q = t; // 根节点入队列
while not IsEmpty(Q)
{
p = Q;
while p != NULL
{
print(Data(p));
if FirstChild(p) != NULL Q = FirstChild(p);
p = NextBrother(p);
}
}
}
压缩与哈夫曼树
文件编码
-
假设有一个文件仅包含7种字符：a、e、i、s、t、sp(空格)和nl(换行)，且文件中有10个a，15个e，12个i，3个s，4个t，13个sp，1个nl
-
因为「 log 2 7 \log_27 log27]=3，所以，每个字符都至少由一个3位的二进制串表示。于是文件的总位数至少应该是：10×3+15×3+12×3+3×3+4×3+13×3+1×3=174
-
在实际应用的一些大文件中，字符被使用的比率是非平均的，即有些字符出现的次数较多，而有些字符出现的次数却非常少。
如果所有字符都由等长的二进制码表示,将会造成空间浪费
-
如何才能减少不必要的空间浪费
-
文件压缩的通常策略:采用不等长的二进制码，令文件中出现频率高的字符的编码尽可能短
- 采用不等长编码又可能会产生多义性。例如：如果用01表示a，10表示b，1001表示c，那么对于编码1001，我们无法确定它表示字符c，还是表示字符串ba，其原因是b的编码与c的编码的开头(前缀)部分相同
- 为避免出现多义性,必须要求字符集中任何字符的编码都不是其它字符的编码的前缀,满足这个条件的编码被称为前缀码。显然,等长编码是前缀码
-
怎样的前缀码才能使文件的总编码长度最短
- 设组成文件的字符集A={a1,a2,...,an}，其中，a的编码长度为 I i I_i Ii；a出现的次数为 c i c_i ci。要使文件的总编码最短，就必须要确定 I i I_i Ii，使得取最小值
∑ i = 0 n c i I i \sum_{i=0}^nc_iI_i i=0∑nciIi
- 设组成文件的字符集A={a1,a2,...,an}，其中，a的编码长度为 I i I_i Ii；a出现的次数为 c i c_i ci。要使文件的总编码最短，就必须要确定 I i I_i Ii，使得取最小值
-
如何设计出总编码最短的前缀码
- 哈夫曼算法
扩充二叉树
定义
为了使问题的处理更为方便，每当原二叉树中出现空子树时，就增加特殊的结点------空树叶，由此生成的二叉树称为扩充二叉树
- 扩充二叉树中每个圆形结点都有两个子结点,每一个方形结点都没有子结点
- 规定空二叉树的扩充二叉树为只有一个方形结点。以下称圆形结点为内结点,方形结点为外结点0
- 扩充二叉数的外通路长度 定义为从根到每个外结点的路径长度之和，内通路长度定义为从根到每个结点的路径长度之和
-
给扩充二叉树的n个外结点分别赋上一个实数权。扩充二叉树的加权外通路长度 定义为:
W P L = ∑ i = 0 n w i L i WPL = \sum_{i=0}^nw_iL_i WPL=i=0∑nwiLi其中n表示外结点的个数， w i w_i wi和 L i L_i Li分别表示外结点 k i k_i ki的权值和根到 k i k_i ki的路径长度
-
在外结点权值分别为 w 0 , w 1 , . . . , w n − 1 w_0,w_1, ... ,w_{n-1} w0,w1,...,wn−1的所有扩充二叉树中，加权外通路长度最小的扩充二叉树称为最优二叉树'
哈夫曼树和哈夫曼编码
- 文件编码问题就变成构造最优二叉树问题,每个外结点代表一个字符，其权值代表该字符的频率,从根到外结点的路径长度就是该字符的编码长度
- 为求得最优二叉树,哈夫曼巧妙的设计了哈夫曼算法,通过哈夫曼算法可以建立一棵哈夫曼树,从而为压缩文本文件建立了哈夫曼编码
哈夫曼树的基本思路
- 根据给定的n个权值 w 1 w_1 w1, w 2 w_2 w2,..., w n w_n wn构成n棵二叉树的森林F={ T 1 , T 2 , ... , T n T_1,T_2,...,T_n T1,T2,...,Tn},其中每棵二叉树 T i T_i Ti中都只有一个权值为 w i w_i wi的根结点,其左、右子树均为空
- 在森林F中选出两棵根结点权值最小的树作为一棵新树的左、右子树，且置新树的根结点的权值为其左、右子树上根结点的权值之和
- 从F中删除构成新树的那两棵树,同时把新树加入F中
- 重复第2和第3步,直到F中只含有一棵树为止,此树便是哈夫曼树
例子
哈夫曼编码
将哈夫曼树每个分支结点的左分支标上0，右分支标上1，把从根结点到每个叶结点的路径上的标号连接起来，作为该叶结点所代表字符的编码，这样得到的编码称为哈夫曼编码
- 定理：在外结点权值分别为 w 0 , w 1 , ... , w n − 1 w_0,w_1,...,w_{n-1} w0,w1,...,wn−1的扩充二叉树中，由哈夫曼算法构造出的哈夫曼树的带权路径长度最小,因此哈夫曼为最优二叉树
- 根据该定理可知，对于所有的编码，哈夫曼编码使文件的总编码长度最短。实际上，哈夫曼算法的应用广，这里只是以哈夫曼编码为例来说明哈夫曼算法。由观察可知，字符集中的字符所在的结点均是哈夫曼树中的外结点
- 哈夫曼树中没有度为1的结点
示例
在构造哈夫曼树的过程中，没有一片树叶是其他树叶的祖先，所以每个叶结点对应的编码不可能是其他叶结点对应的编码前缀。由此可知哈夫曼编码是二进制的前缀码
哈夫曼树中每个结点的结构
其中，LLINK和RLINK为链接域，INFO为信息域，Weight为全值
伪代码
Huffman(H,m,t)
{
for (i = 1; i<=m;i++)
{
LLINK(H[i]) = RLINK(H[i]);
RLINK(H[i]) = NULL;
}
for (i = 1,i<m;i++)
{
t = new;
P1 = H[i];
P2 = H[i+1];
Weight(t) = Weight(P1) + Weight(P2);
LLINK(t) = P1;
RLINK(t) = P2;
}
j = i+2;
while (Weight(t)>Weight(H[j]))
{
H[j-1] = H[j];
j = j+1;
H[j-1] = t;
}
}