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第1关：什么是决策树
决策树的相关概念:
决策树是一种可以用于分类与回归的机器学习算法，但主要用于分类。用于分类的决策树是一种描述对实例进行分类的树形结构。决策树由结点和边组成，其中结点分为内部结点和叶子结点，内部结点表示一个特征或者属性，叶子结点表示标签（脑回路图中黄色的是内部结点，蓝色的是叶子结点）。
决策树的一个非常大的优势就是模型的可理解性非常高，甚至可以用来挖掘数据中比较重要的信息。
那么如何构造出一棵好的决策树呢？其实构造决策树时会遵循一个指标，有的是按照信息增益来构建，如ID3算法；有的是信息增益率来构建，如C4.5算法；有的是按照基尼系数来构建的，如CART算法。但不管是使用哪种构建算法，决策树的构建过程通常都是一个递归选择最优特征，并根据特征对训练集进行分割，使得对各个子数据集有一个最好的分类的过程。
这一过程对应着对特征空间的划分，也对应着决策树的构建。一开始，构建决策树的根结点，将所有训练数据都放在根结点。选择一个最优特征，并按照这一特征将训练数据集分割成子集，使得各个子集有一个在当前条件下最好的分类。如果这些子集已经能够被基本正确分类，那么构建叶子结点，并将这些子集分到所对应的叶结点中去；如果还有子集不能被基本正确分类，那么就对这些子集选择新的最优特征，继续对其进行分割，并构建相应的结点。如此递归进行下去，直至所有训练数据子集被基本正确分类，或者没有合适的特征为止。最后每个子集都被分到叶子结点上，即都有了明确的类别。这就构建出了一棵决策树。
第2关：信息熵与信息增益
信息熵
信息是个很抽象的概念。人们常常说信息很多，或者信息较少，但却很难说清楚信息到底有多少。比如一本五十万字的中文书到底有多少信息量。
直到1948年，香农提出了"信息熵"的概念，才解决了对信息的量化度量问题。信息熵这个词是香农从热力学中借用过来的。热力学中的热熵是表示分子状态混乱程度的物理量。香农用信息熵的概念来描述信源的不确定度。信源的不确定性越大，信息熵也越大。
信息增益
现在已经知道了什么是熵，什么是条件熵。接下来就可以看看什么是信息增益了。所谓的信息增益就是表示我已知条件X后能得到信息Y的不确定性的减少程度。
就好比，我在玩读心术。你心里想一件东西，我来猜。我一开始什么都没问你，我要猜的话，肯定是瞎猜。这个时候我的熵就非常高。然后我接下来我会去试着问你是非题，当我问了是非题之后，我就能减小猜测你心中想到的东西的范围，这样其实就是减小了我的熵。那么我熵的减小程度就是我的信息增益。
所以信息增益如果套上机器学习的话就是，如果把特征A对训练集D的信息增益记为g(D, A)的话，那么g(D, A)的计算公式就是：
例题
为了更好的解释熵，条件熵，信息增益的计算过程，下面通过示例来描述。假设我现在有这一个数据集，第一列是编号，第二列是性别，第三列是活跃度，第四列是客户是否流失的标签（0表示未流失，1表示流失）。
假如要算性别和活跃度这两个特征的信息增益的话，首先要先算总的熵和条件熵。总的熵其实非常好算，就是把标签作为随机变量X。上表中标签只有两种（0和1）因此随机变量X的取值只有0或者1。所以要计算熵就需要先分别计算标签为0的概率和标签为1的概率。从表中能看出标签为0的数据有10条，所以标签为0的概率等于2/3。标签为1的概率为1/3。所以熵为：
python
性别的信息增益=总的熵-(8/15)性别为男的熵-(7/15)性别为女的熵=0.0064
活跃度的信息增益=总的熵-(6/15)*活跃度为高的熵-(5/15)活跃度为中的熵-(4/15)活跃度为低的熵=0.6776那信息增益算出来之后有什么意义呢？回到读心术的问题，为了我能更加准确的猜出你心中所想，我肯定是问的问题越好就能猜得越准！换句话来说我肯定是要想出一个信息增益最大（减少不确定性程度最高）的问题来问你。其实ID3算法也是这么想的。ID3算法的思想是从训练集D中计算每个特征的信息增益，然后看哪个最大就选哪个作为当前结点。
代码
python
import numpy as np
def calcInfoGain(feature, label, index):
'''
计算信息增益
:param feature:测试用例中字典里的feature，类型为ndarray
:param label:测试用例中字典里的label，类型为ndarray
:param index:测试用例中字典里的index，即feature部分特征列的索引。该索引指的是feature中第几个特征，如index:0表示使用第一个特征来计算信息增益。
:return:信息增益，类型float
'''
#*********** Begin ***********#
# 计算熵
def calcInfoEntropy(feature, label):
'''
计算信息熵
:param feature:数据集中的特征，类型为ndarray
:param label:数据集中的标签，类型为ndarray
:return:信息熵，类型float
'''
label_set = set(label)
result = 0
for l in label_set:
count = 0
for j in range(len(label)):
if label[j] == l:
count += 1
# 计算标签在数据集中出现的概率
p = count / len(label)
# 计算熵
result -= p * np.log2(p)
return result
# 计算条件熵
def calcHDA(feature, label, index, value):
'''
计算信息熵
:param feature:数据集中的特征，类型为ndarray
:param label:数据集中的标签，类型为ndarray
:param index:需要使用的特征列索引，类型为int
:param value:index所表示的特征列中需要考察的特征值，类型为int
:return:信息熵，类型float
'''
count = 0
# sub_feature和sub_label表示根据特征列和特征值分割出的子数据集中的特征和标签
sub_feature = []
sub_label = []
for i in range(len(feature)):
if feature[i][index] == value:
count += 1
sub_feature.append(feature[i])
sub_label.append(label[i])
pHA = count / len(feature)
e = calcInfoEntropy(sub_feature, sub_label)
return pHA * e
base_e = calcInfoEntropy(feature, label)
f = np.array(feature)
# 得到指定特征列的值的集合
f_set = set(f[:, index])
sum_HDA = 0
# 计算条件熵
for value in f_set:
sum_HDA += calcHDA(feature, label, index, value)
# 计算信息增益
return base_e - sum_HDA
#*********** End *************#第3关：使用ID3算法构建决策树
ID3算法
ID3算法其实就是依据特征的信息增益来构建树的。其大致步骤就是从根结点开始，对结点计算所有可能的特征的信息增益，然后选择信息增益最大的特征作为结点的特征，由该特征的不同取值建立子结点，然后对子结点递归执行上述的步骤直到信息增益很小或者没有特征可以继续选择为止。
ID3算法伪代码如下：
python
#假设数据集为D，标签集为A，需要构造的决策树为tree
def ID3(D, A):
if D中所有的标签都相同:
return 标签
if 样本中只有一个特征或者所有样本的特征都一样:
对D中所有的标签进行计数
return 计数最高的标签
计算所有特征的信息增益
选出增益最大的特征作为最佳特征(best_feature)
将best_feature作为tree的根结点
得到best_feature在数据集中所有出现过的值的集合(value_set)
for value in value_set:
从D中筛选出best_feature=value的子数据集(sub_feature)
从A中筛选出best_feature=value的子标签集(sub_label)
#递归构造tree
tree[best_feature][value] = ID3(sub_feature, sub_label)
return tree代码
python
import numpy as np
class DecisionTree(object):
def __init__(self):
#决策树模型
self.tree = {}
def calcInfoGain(self, feature, label, index):
'''
计算信息增益
:param feature:测试用例中字典里的feature，类型为ndarray
:param label:测试用例中字典里的label，类型为ndarray
:param index:测试用例中字典里的index，即feature部分特征列的索引。该索引指的是feature中第几个特征，如index:0表示使用第一个特征来计算信息增益。
:return:信息增益，类型float
'''
# 计算熵
def calcInfoEntropy(label):
'''
计算信息熵
:param label:数据集中的标签，类型为ndarray
:return:信息熵，类型float
'''
label_set = set(label)
result = 0
for l in label_set:
count = 0
for j in range(len(label)):
if label[j] == l:
count += 1
# 计算标签在数据集中出现的概率
p = count / len(label)
# 计算熵
result -= p * np.log2(p)
return result
# 计算条件熵
def calcHDA(feature, label, index, value):
'''
计算信息熵
:param feature:数据集中的特征，类型为ndarray
:param label:数据集中的标签，类型为ndarray
:param index:需要使用的特征列索引，类型为int
:param value:index所表示的特征列中需要考察的特征值，类型为int
:return:信息熵，类型float
'''
count = 0
# sub_feature和sub_label表示根据特征列和特征值分割出的子数据集中的特征和标签
sub_feature = []
sub_label = []
for i in range(len(feature)):
if feature[i][index] == value:
count += 1
sub_feature.append(feature[i])
sub_label.append(label[i])
pHA = count / len(feature)
e = calcInfoEntropy(sub_label)
return pHA * e
base_e = calcInfoEntropy(label)
f = np.array(feature)
# 得到指定特征列的值的集合
f_set = set(f[:, index])
sum_HDA = 0
# 计算条件熵
for value in f_set:
sum_HDA += calcHDA(feature, label, index, value)
# 计算信息增益
return base_e - sum_HDA
# 获得信息增益最高的特征
def getBestFeature(self, feature, label):
max_infogain = 0
best_feature = 0
for i in range(len(feature[0])):
infogain = self.calcInfoGain(feature, label, i)
if infogain > max_infogain:
max_infogain = infogain
best_feature = i
return best_feature
def createTree(self, feature, label):
# 样本里都是同一个label没必要继续分叉了
if len(set(label)) == 1:
return label[0]
# 样本中只有一个特征或者所有样本的特征都一样的话就看哪个label的票数高
if len(feature[0]) == 1 or len(np.unique(feature, axis=0)) == 1:
vote = {}
for l in label:
if l in vote.keys():
vote[l] += 1
else:
vote[l] = 1
max_count = 0
vote_label = None
for k, v in vote.items():
if v > max_count:
max_count = v
vote_label = k
return vote_label
# 根据信息增益拿到特征的索引
best_feature = self.getBestFeature(feature, label)
tree = {best_feature: {}}
f = np.array(feature)
# 拿到bestfeature的所有特征值
f_set = set(f[:, best_feature])
# 构建对应特征值的子样本集sub_feature, sub_label
for v in f_set:
sub_feature = []
sub_label = []
for i in range(len(feature)):
if feature[i][best_feature] == v:
sub_feature.append(feature[i])
sub_label.append(label[i])
# 递归构建决策树
tree[best_feature][v] = self.createTree(sub_feature, sub_label)
return tree
def fit(self, feature, label):
'''
:param feature: 训练集数据，类型为ndarray
:param label:训练集标签，类型为ndarray
:return: None
'''
#************* Begin ************#
self.tree = self.createTree(feature, label)
#************* End **************#
def predict(self, feature):
'''
:param feature:测试集数据，类型为ndarray
:return:预测结果，如np.array([0, 1, 2, 2, 1, 0])
'''
#************* Begin ************#
result = []
def classify(tree, feature):
if not isinstance(tree, dict):
return tree
t_index, t_value = list(tree.items())[0]
f_value = feature[t_index]
if isinstance(t_value, dict):
classLabel = classify(tree[t_index][f_value], feature)
return classLabel
else:
return t_value
for f in feature:
result.append(classify(self.tree, f))
return np.array(result)
#************* End **************#第4关：信息增益率
信息增益率
由于在使用信息增益这一指标进行划分时，更喜欢可取值数量较多的特征。为了减少这种偏好可能带来的不利影响，Ross Quinlan使用了信息增益率这一指标来选择最优划分属性。
python
import numpy as np # 确保导入 numpy
def calcInfoGain(feature, label, index):
'''
计算信息增益
:param feature:测试用例中字典里的feature，类型为ndarray
:param label:测试用例中字典里的label，类型为ndarray
:param index:测试用例中字典里的index，即feature部分特征列的索引。该索引指的是feature中第几个特征，如index:0表示使用第一个特征来计算信息增益。
:return:信息增益，类型float
'''
# 计算熵
def calcInfoEntropy(label):
label_set = set(label)
result = 0
for l in label_set:
count = 0
for j in range(len(label)):
if label[j] == l:
count += 1
p = count / len(label)
result -= p * np.log2(p)
return result
# 计算条件熵
def calcHDA(feature, label, index, value):
count = 0
sub_label = []
for i in range(len(feature)):
if feature[i][index] == value:
count += 1
sub_label.append(label[i])
pHA = count / len(feature)
e = calcInfoEntropy(sub_label)
return pHA * e
base_e = calcInfoEntropy(label)
f = np.array(feature)
f_set = set(f[:, index])
sum_HDA = 0
for value in f_set:
sum_HDA += calcHDA(feature, label, index, value)
return base_e - sum_HDA
def calcInfoGainRatio(feature, label, index):
'''
计算信息增益率
:param feature:测试用例中字典里的feature，类型为ndarray
:param label:测试用例中字典里的label，类型为ndarray
:param index:测试用例中字典里的index，即feature部分特征列的索引。该索引指的是feature中第几个特征，如index:0表示使用第一个特征来计算信息增益。
:return:信息增益率，类型float
'''
f = np.array(feature)
# 计算特征熵
def calcFeatureEntropy(feature_column):
unique_values, counts = np.unique(feature_column, return_counts=True)
probabilities = counts / len(feature_column)
return -np.sum(probabilities * np.log2(probabilities))
feature_column = f[:, index]
info_gain = calcInfoGain(feature, label, index)
split_info = calcFeatureEntropy(feature_column)
if split_info == 0:
return 0.0
info_gain_ratio = info_gain / split_info
return info_gain_ratio